第一章 §1 1.1 第1课时
集合的概念
A 组自测
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C．
D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数
B．等于2的数
C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“∈”或“?”)．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__
__P(填“∈”或“?”)．
三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
10．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2
020＋b2
020的值．
B 组提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A
B．－11?A
C．3k2－1∈A
D．－34?A
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( )
A．3∈A，－1?A
B．3∈A，－1∈A
C．3?A，－1∈A
D．3?A，－1?A
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17____A；－5____A；17____B．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为___．
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
第一章 §1 1.1 第1课时
集合的概念
A 组·素养自测
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( D )
A．3.14
B．－5
C．
D．
[解析] 由题意知元素a为无理数，故选D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是( C )
A．所有的正数
B．等于2的数
C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
[解析] 由集合元素的特性知C不能组成集合，故选C．
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( C )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0，它们分别是x，－x，－x，－x，x．最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
[解析] ∵－1?N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__?__A，广州__∈__A(填“∈”或“?”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__∈__P(填“∈”或“?”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P．
三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2．解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2．故M含有两个元素－1,2．
10．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2
020＋b2
020的值．
[解析] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋0＝1．
B 组·素养提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( D )
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( BC )
A．－2∈A
B．－11?A
C．3k2－1∈A
D．－34?A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－，－?Z，
∴－2?A；
令3k－1＝－11，
解得k＝－，－?Z，∴－11?A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．故选BC．
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1?A
B．3∈A，－1∈A
C．3?A，－1∈A
D．3?A，－1?A
[解析] 当x＞0，y＞0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x＞0，y＜0时，z＝1－1－1＝－1；
当x＜0，y＞0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x＜0，y＜0时，z＝－1－1＋1＝－1．
所以3∈A，－1∈A．故选ACD．
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__?__A；17__∈__B．
[解析] 令3k＋2＝17，得k＝5,5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－?Z，所以－5?A；令6m－1＝17，得m＝3,3∈Z，所以17∈B．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__．
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0．
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0．
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1．
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－．
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5．
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
[解析] (1)x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；
x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，但?Z，所以x2?A；
x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，
所以x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．(共30张PPT)
§1 集 合
1.1 集合的概念与表示
第一课时集合的概念
【素养目标】
1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)
2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理)
3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)
4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)
5．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象)
【学法解读】
在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．
1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母__________________表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母__________________表示．
3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是________的、________的、顺序任意的．
A，B，C，…
知识点1
元素与集合的概念
基础知识
a，b，c，…
确定
互异
思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
知识点2
元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a______A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
__________
a_________集合A
∈
a?A
不属于
思考2：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
(2)符合“∈”“?”的左边可以是集合吗？
提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．如：{1}∈{{1}，{2}}
知识点3
常用数集及其记法
数集
意义
符号
自然数集
全体自然数组成的集合
N
正整数集
全体正整数组成的集合
N＋或N
整数集
全体整数组成的集合
Z
有理数集
全体有理数组成的集合
Q
实数集
全体实数组成的集合
R
正实数集
全体正实数组成的集合
R＋
思考3：N，N
，N＋有什么区别？
提示：(1)N为非负整数集(或自然数集)，而N
或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N
(N＋)不包括0．
(2)N
和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N
或N＋，为避免出错，对于N
和N＋，可形象地记为“星星(
)在天上，十字(＋)在地下”．
基础自测
1．下列各组对象中不能组成集合的是
( )
A．清华大学2020年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1＞0的实数解
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
C
A
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有_____个元素．
[解析] 方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2．
①④
2
题型探究
题型一
元素与集合的相关概念?
例
1
②③
[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③．
[归纳提升] 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【对点练习】? 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2019年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3．∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
题型二
元素与集合的关系?
[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2．
例
2
[归纳提升] 1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N
表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
C
2,1,0
题型三
集合中元素的特性的应用?
例
3
【对点练习】? 已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是
( )
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
[解析] 因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a．
所以a(a－3)≠0．所以a≠0且a≠3．
D
1．下列语句能确定一个集合的是
( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析] 由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．
D
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是
( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．
D
[解析] 因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1．
即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1．
∈
?
?
?
∈
∈
0,1
5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．
[解析] (1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．
(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．
