第一章 §1 1.2
集合的基本关系
A 组·自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A．则上列式子表示正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3
D．b＝2，c＝－3
3．满足{3,4}?M?{0,1,2,3,4}的所有集合M的个数是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≥2}
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若??A，则A≠?．
其中正确的是___．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为
__．
8．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B?A，则实数m＝____．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
B 组·提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为( )
A．P?Q
B．Q?P
C．P＝Q
D．不确定
2．已知集合A＝{x|1＜x＜2
021}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2
021}
B．{a|a＞2
021}
C．{a|a≥1}
D．{a|a＞1}
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( )
A．1∈A
B．B?A
C．(1,1)∈B
D．?∈A
4．(多选题)(2021·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为____．
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
第一章 §1 1.2
A 组·自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A．则上列式子表示正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ∵集合A＝{－2,2}，故③④正确．
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( A )
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3
D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴
3．满足{3,4}?M?{0,1,2,3,4}的所有集合M的个数是( C )
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析] 由题意知M中必须有3,4这两个元素，则M的个数就是集合{0,1,2}的子集的个数，即23＝8(个)．
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( B )
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
[解析] 由题意，得N＝{0,1}，故N?M．
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则a的取值范围是( D )
A．{a|a≤2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≥2}
[解析] ∵A?B，∴a≥2，故选D．
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若??A，则A≠?．
其中正确的是__④__．
[解析] ?不是其自身的真子集，所以④正确．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为__M＝P__．
[解析] ∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P．
8．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B?A，则实数m＝__3__．
[解析] ∵B?A，∴m2＝6m－9，∴m＝3．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B?A，∴当B＝?时，m＝0符合题意；
当B≠?时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－．
综上可知，m的值为0或或－．
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析] E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2．
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F．
②当a≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F．
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F．
B 组·提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为( A )
A．P?Q
B．Q?P
C．P＝Q
D．不确定
[解析] ∵Q＝{x|x－5＜0}＝{x|x＜5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，P?Q．
2．已知集合A＝{x|1＜x＜2
021}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是( A )
A．{a|a≥2
021}
B．{a|a＞2
021}
C．{a|a≥1}
D．{a|a＞1}
[解析] ∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2
021，故选A．
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( BC )
A．1∈A
B．B?A
C．(1,1)∈B
D．?∈A
[解析] B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC．
4．(多选题)(2021·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( AB )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集
[解析] A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S．同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}?T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__．
[解析] 集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为__{a|a＜－8或a≥3}__．
[解析] 利用数轴法表示B?A，如图所示，
则a＋3＜－5或a＋1≥4，解得a＜－8或a≥3．
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，则
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析] (1)当P＝?时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m＜0，所以m＞．
(2)当P≠?时，易得Q＝{－1，－4,1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是．(共47张PPT)
第一章 预备知识
§1 集 合
1.2 集合的基本关系
【素养目标】
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
基础知识
Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
思考1：Venn图的优点是什么？
提示：形象直观．
知识点1
两个集合之间的关系
1．子集
知识点2
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________元素都属于集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A为集合B的子集
记法与
读法
记作__________(或__________)，
读作“A包含于B”(或“B包含A”)
任何一个
A?B
B?A
A?B
A≠B
思考2：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“?”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N．
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
集合相等
知识点3
思考3：怎样证明或判断两个集合相等？
提示：(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
基础自测
[解析] ∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D．
D
2．下列四个集合中，是空集的为
( )
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
[解析] x＞8，且x＜5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
B
3．用适当的符号填空：
(1)a______{a，b，c}；
(2)0______{x|x2＝0}；
(3)?______{x∈R|x2＋1＝0}；
(4){0,1}______N；
(5){0}______{x|x2＝x}；
(6){2,1}______{x|x2－3x＋2＝0}．
∈
∈
＝
＝
4．写出集合{a，b，c}的所有子集．
[解析] ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
5．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜1}；
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
题型探究
题型一
集合间关系的判断?
例
1
[分析] (1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断．
方法二 集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B．
[归纳提升] 判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A?B；②若由q(x)可推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
【对点练习】? (2021·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是
( )
①?＝{0}；②??{0}；③?∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}?{1,2,3}；⑧{a，b}?{b，a}．
A．1
B．2
C．3
D．4
D
[解析] ?表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则?≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；?和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}?{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．
题型二
确定集合的子集、真子集?
设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
例
2
[解析] 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4．
故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：?．
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
[归纳提升] (1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……一一写出，保证不重不漏．
[解析] 由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
B
题型三
由集合间的关系求参数范围问题?
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A．求实数m的取值范围．
[分析] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
例
3
[归纳提升] (1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
此类问题要注意对空集的讨论．
【对点练习】? (1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝_____；
(2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为B?A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1．当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B?A，故m＝1．
1
忽视“空集”的存在
已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为
( )
A．{－1}
B．{1}
C．{－1,1}
D．{－1,0,1}
误区警示
例
4
D
[方法点拨] 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
分类讨论思想的应用
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
学科素养
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[分析] 根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．
例
5
[归纳提升] 1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有
( )
A．M?N
B．M∈N
C．N?M
D．M＝N
[解析] ∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M．
C
2．下列四个集合中是空集的是
( )
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x2＋2x＋1＝0}
[解析] 方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
B
3．集合A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}的真子集个数是
( )
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析] A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
C
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是______．
②
