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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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高中数学人教A版（2019）
选修三
第六章
计数原理
一、单选题
1.（2021高三上·信阳开学考）.将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（???
）
A.?14种???????????????????????????B.?15种???????????????????????????C.?16种???????????????????????????D.?18种
2.（2021·北京月考）.在
的展开式中，
的系数为（???
）
A.?-5????????????????????????????????B.?5????????????????????????????????C.?-10????????????????????????????????D.?10
3.（2021·蚌埠模拟）.某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲?乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到
和
两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲?乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（???
）
A.?4?????????????????????????????????B.?8?????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????D.?12
4.（2021·邵阳模拟）从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(??
)
A.?48????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????C.?90????????????????????????????????D.?96
5.（2021高一下·金华期末）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
6.（2021高三上·长沙开学考）.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（???
）
A.?60种??????????????????????????B.?78种??????????????????????????C.?84种??????????????????????????D.?144种
7.（2021高二下·深圳期末）
名同学参加
个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.（2021·武汉模拟）.在
的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?28
二、多选题
9.（2021高三上·重庆月考）A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的有（??
）
A.?若A，B两人相邻，则有120种不同的排法????
B.?若A，B不相邻，则共有480种不同的排法????
C.?若A在B左边（可以不相邻），则有360种不同的排法??
D.?若A不站在最左边，B不站最右边，则有504种不同的排法
10.（2021高二下·顺德期末）.对于式子
，下列说法正确的有（???
）
A.?它的展开式中第4项的系数等于135???????B.?它的展开式中第3项的二项式系数为20
C.?它的展开式中所有项系数之和为64????????D.?它的展开式中第一项的系数为
11.（2021高二下·济南期末）在
的展开式中，下列说法正确的是（???
）
A.?常数项是20
B.?第4项的二项式系数最大
C.?第3项是
D.?所有项的系数的和为0
12.（2021高二下·普宁期末）已知
，则下列结论错误的是（???
）
A.????????????????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????????D.?
三、填空题
13.（2021高二下·荔湾期末）新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有________种不同安排方法．（用数字作答）
14.（2021·河北模拟）
的展开式中
的系数为________．
15.（2021·广东模拟）已知
的展开式的二项式系数之和为16，则各项系数之和为________．（用数字作答）
16.（2021·上海模拟）已知
，则
________.
四、解答题
17.（2021高二下·中山期末）已知
.
（1）求
的值；
（2）求
展开式中的常数项.
18.（2021高二下·张家港期中）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
19.（2021高二下·太仓期中）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;
（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．
20.（2021高二下·梅州期末）在
的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．
（1）求
的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．
21.（2021高二下·长春期末）已知
．
（1）求?
；
（2）求
…
；
（3）求
…
．
22.（2021高二下·荔湾期末）.已知二项式
，若选条件???????
（填写序号），
（1）.求展开式中含
的项；
（2）.设
，求展开式中奇次项的系数和．
请在：①只有第4项的二项式系数最大；②第2项与第6项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为64
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先将黑球和白球排列好，再插入红球.
情况1：黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑")，
此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2x7=14种;
情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起
(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白")，
此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.
综上所述，共有14+4=18种.
故答案为：D
【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合分类讨论思想求解即可.
2.【答案】
A
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
展开式的通项为
，取
，
，系数为-5.
故答案为：A.
【分析】
写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求.
3.【答案】
B
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】【解答】解：分情况讨论，①若A和B两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则
只需让甲或乙单独去一个社区即可，共2x2=4种情况;
②若A和B两个社区分别有两个志愿者，则共有=4种情况;
因此共:4+4=8种不同的分配方案
故答案为：B
【分析】根据分类加法计数原理与分步加法计数原理直接求解即可.
4.【答案】
D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，排列与组合的综合
【解析】【解答】解：因为甲不参加生物竞赛,所以可安排甲参加另外3科比赛或甲不参加任何比赛,
①当甲参加另外3科比赛时,共有种参赛方案;
②当甲不参加任何比赛时,共有种参赛方案.
综上所述,所有的参赛方案有72
+24
=96(种).
故答案为：D
【分析】根据分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，结合排列与组合求解即可.
5.【答案】
D
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数
，
取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
，
则取出的鞋都是左脚的概率是
。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出取出的鞋都是左脚的概率。
6.【答案】
B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2，若是1，1，2，则先将4门学科分成三组，共
种不同方式.再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共
种不同方式，再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是0，2，2，则先将4门学科分成三组共
种不同方式，再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，所以每位同学的不同选修方式有
种，
故答案为：B.
【分析】
根据题意，分2步进行分析:①将4四门选修课程为3组；②将分好的三组安排在三年内选修，由分步计数原理计算可得答案.
7.【答案】
A
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，每位同学均有3中不同的选择方案，
所以
名同学选择的方案共有
种不同的方案.
故答案为：A
【分析】
根据题意,分析可得每个同学有3种选法，由分步计数原理计算可得答案.
8.【答案】
B
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以
，展开式的通项为：
，若为常数项，则
，所以，
，得常数项为：
。
故答案为：B
【分析】在展开式中只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以
，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
二、多选题
9.【答案】
B,C,D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：对于
，若A、B两人相邻，需要将A、B看成一个整体，与其他四人全排列，有
种不同的排法，
错误；对于
，若A、B不相邻，先将其他4人排成一排，排好后，有5个空位，将A、B安排在空位中，有
种不同的排法，
正确；对于
，不考虑限制条件，6人有
种不同的排法，其中A在B左边和A在B右边的情况一样，则A在B左边的排法有
种，
正确；对于
，不考虑限制条件，6人有
种不同的排法，
站在最左边的排法有
种，
站在最右边的排法有
种，
站在最左边且
站在最右边的排法
种，则有
种不同的排法，
正确；
故答案为：BCD．
【分析】根据题意，依次判断各选项，可得答案。
10.【答案】
C,D
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】
的展开式的通项公式是
，
A.
，所以第4项的系数等于-540，故错误；
B.
，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误；
C.
令
，得
，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确；
D.
，所以它的展开式中第一项的系数为
，故正确；
故答案为：CD
【分析】
由题意利用二项式定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
11.【答案】
B,D
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：
的展开式的通项公式为
，
所以对于A选项，当
，即
时，常数项为
，A选项错误；
对于B选项，由于
，故最大的二项式系数为
，是第四项的二项式系数，B选项正确；
对于C选项，第3项是
，C选项错误；
对于D选项，令
，则
，故所有项的系数的和为0，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】
利用二项式展开式的通项公式，对四个选项逐一分析判断即可.
12.【答案】
B,D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】
，
令
，可得
，A正确，不符合题意；
令
，可得
，
故
，B错误，符合题意；
，C正确，不符合题意；
令
，可得
，
，D错误，符合题意.
故答案为：BD．
【分析】
注意根据题意,分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案.
三、填空题
13.【答案】
36
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】：将4位志愿者分成3组，有
种不同的方法，
将3组志愿者分配到3个不同的路口，有
种不同的方法，
所以，共有6×6＝36种不同的安排方法．
故答案为：36．
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理结合已知条件计算出结果即可。
14.【答案】
-56
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
的展开式通项为
，
令
，可得
，因此，展开式中
的系数为
.
故答案为：-56.
【分析】
由二项式展开式的通项即可求解.
15.【答案】
81
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】依题意得
，即
，
在
中令
可得各项系数和为
．
故答案为：81
【分析】
利用二项展开式的二项式系数和为2n?,列出方程求出n，再令x?=?1可得结论.
16.【答案】
28
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为
的第
项为
（
且
），
所以
不存在，所以
，
因为
的系数为
，所以
，
所以
.
故答案为：28
【分析】由已知条件求出二项式的通项公式结合已知条件即可得出
，
结合组合公式计算出
，
从而得出答案。
四、解答题
17.【答案】
（1）
等价于
，
整理得到
，
因
，故
，故
整理得到：
即
.
（2）
，令
，故
，从而展开式中的常数项为
.
【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式，二项式定理
【解析】【分析】
(1)结合排列组合数公式展开即可求解；
(2)结合二项展开式的通项即可求解.
?
?
18.【答案】
（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位?十位，有
种情况，
则有
个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2?3?4?5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位?十位?个位，有
种情况，
则有
个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有
种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有
种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有
种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有
个符合题意的五位数.
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而求出在组成的三位数中，所有偶数的个数。
（2）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而在组成的四位数中，大于2000的自然数个数。
（3）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，从而在组成的五位数中，恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
?
?
19.【答案】
（1）
种；
（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由
种方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有2种方法，所以有
种；
（3）先从四个盒子中选出一个空盒子有
种方法，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中有
种，所以有
种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，从而求出每个盒子放一个小球共有的种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式，从而结合分步乘法计数原理，进而求出恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数。
（3）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，从而结合分步乘法计数原理，进而求出恰有一个空盒子的放法种数。
20.【答案】
（1）依题意得：
，
即
，得
或
．
，
．
展开式中二项式系数最大的项为第四项，即
．
（2）展开式的通项公式为：
，
，
依题：
，且
，解得
或
，
展开式中的有理项为
和240．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【分析】
(1?)由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项；
(2)在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项.
?
?
21.【答案】
（1）二项展开式的通项公式
，令
，则
（2）令
得，
再令
得，
…
∴
…
（3）令
得，
…
①
再令
得，
…
②
由
得：
…
．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；
（2）利用赋值法求解即可；
（3）利用赋值法求解即可.
22.【答案】
（1）选①只有第4项的二项式系数最大，则展开式中有7项，
；
选②第2项与第6项的二项式系数相等，
，所以
③所有二项式系数的和为64，
，
，
，
，
；
（2）令
得
令
得
，
相减得
，所以
．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【分析】
选①时，由只有第4项的二项式系数最大，可知；选②时，可知
，
求出n=6；选③时，所有二项式系数的和为64，可知2”=64，可得n=6，
(1)知道n值，借助于通项公式，求解即可；（2）由特殊值法令x=1和x=-1代入即可求解.
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选修三
第六章
计数原理
一、单选题
1.（2021高三上·信阳开学考）.将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（???
）
A.?14种???????????????????????????B.?15种???????????????????????????C.?16种???????????????????????????D.?18种
【答案】
D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：首先将黑球和白球排列好，再插入红球.
情况1：黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑")，
此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2x7=14种;
情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起
(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白")，
此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.
综上所述，共有14+4=18种.
故答案为：D
【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合分类讨论思想求解即可.
2.（2021·北京月考）.在
的展开式中，
的系数为（???
）
A.?-5????????????????????????????????B.?5????????????????????????????????C.?-10????????????????????????????????D.?10
【答案】
A
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
展开式的通项为
，取
，
，系数为-5.
故答案为：A.
【分析】
写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求.
3.（2021·蚌埠模拟）.某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲?乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到
和
两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲?乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（???
）
A.?4?????????????????????????????????B.?8?????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????D.?12
【答案】
B
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】【解答】解：分情况讨论，①若A和B两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则
只需让甲或乙单独去一个社区即可，共2x2=4种情况;
②若A和B两个社区分别有两个志愿者，则共有=4种情况;
因此共:4+4=8种不同的分配方案
故答案为：B
【分析】根据分类加法计数原理与分步加法计数原理直接求解即可.
4.（2021·邵阳模拟）从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(??
)
A.?48????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????C.?90????????????????????????????????D.?96
【答案】
D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，排列与组合的综合
【解析】【解答】解：因为甲不参加生物竞赛,所以可安排甲参加另外3科比赛或甲不参加任何比赛,
①当甲参加另外3科比赛时,共有种参赛方案;
②当甲不参加任何比赛时,共有种参赛方案.
综上所述,所有的参赛方案有72
+24
=96(种).
故答案为：D
【分析】根据分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，结合排列与组合求解即可.
5.（2021高一下·金华期末）现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数
，
取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
，
则取出的鞋都是左脚的概率是
。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出取出的鞋都是左脚的概率。
6.（2021高三上·长沙开学考）.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（???
）
A.?60种??????????????????????????B.?78种??????????????????????????C.?84种??????????????????????????D.?144种
【答案】
B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2，若是1，1，2，则先将4门学科分成三组，共
种不同方式.再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共
种不同方式，再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，若是0，2，2，则先将4门学科分成三组共
种不同方式，再分配到三个学年共有
种不同分配方式，由乘法原理可得共有
种，所以每位同学的不同选修方式有
种，
故答案为：B.
【分析】
根据题意，分2步进行分析:①将4四门选修课程为3组；②将分好的三组安排在三年内选修，由分步计数原理计算可得答案.
7.（2021高二下·深圳期末）
名同学参加
个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，每位同学均有3中不同的选择方案，
所以
名同学选择的方案共有
种不同的方案.
故答案为：A
【分析】
根据题意,分析可得每个同学有3种选法，由分步计数原理计算可得答案.
8.（2021·武汉模拟）.在
的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?28
【答案】
B
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以
，展开式的通项为：
，若为常数项，则
，所以，
，得常数项为：
。
故答案为：B
【分析】在展开式中只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以
，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
二、多选题
9.（2021高三上·重庆月考）A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的有（??
）
A.?若A，B两人相邻，则有120种不同的排法????
B.?若A，B不相邻，则共有480种不同的排法????
C.?若A在B左边（可以不相邻），则有360种不同的排法??
D.?若A不站在最左边，B不站最右边，则有504种不同的排法
【答案】
B,C,D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：对于
，若A、B两人相邻，需要将A、B看成一个整体，与其他四人全排列，有
种不同的排法，
错误；对于
，若A、B不相邻，先将其他4人排成一排，排好后，有5个空位，将A、B安排在空位中，有
种不同的排法，
正确；对于
，不考虑限制条件，6人有
种不同的排法，其中A在B左边和A在B右边的情况一样，则A在B左边的排法有
种，
正确；对于
，不考虑限制条件，6人有
种不同的排法，
站在最左边的排法有
种，
站在最右边的排法有
种，
站在最左边且
站在最右边的排法
种，则有
种不同的排法，
正确；
故答案为：BCD．
【分析】根据题意，依次判断各选项，可得答案。
10.（2021高二下·顺德期末）.对于式子
，下列说法正确的有（???
）
A.?它的展开式中第4项的系数等于135???????B.?它的展开式中第3项的二项式系数为20
C.?它的展开式中所有项系数之和为64????????D.?它的展开式中第一项的系数为
【答案】
C,D
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】
的展开式的通项公式是
，
A.
，所以第4项的系数等于-540，故错误；
B.
，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误；
C.
令
，得
，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确；
D.
，所以它的展开式中第一项的系数为
，故正确；
故答案为：CD
【分析】
由题意利用二项式定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
11.（2021高二下·济南期末）在
的展开式中，下列说法正确的是（???
）
A.?常数项是20
B.?第4项的二项式系数最大
C.?第3项是
D.?所有项的系数的和为0
【答案】
B,D
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：
的展开式的通项公式为
，
所以对于A选项，当
，即
时，常数项为
，A选项错误；
对于B选项，由于
，故最大的二项式系数为
，是第四项的二项式系数，B选项正确；
对于C选项，第3项是
，C选项错误；
对于D选项，令
，则
，故所有项的系数的和为0，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】
利用二项式展开式的通项公式，对四个选项逐一分析判断即可.
12.（2021高二下·普宁期末）已知
，则下列结论错误的是（???
）
A.????????????????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B,D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】
，
令
，可得
，A正确，不符合题意；
令
，可得
，
故
，B错误，符合题意；
，C正确，不符合题意；
令
，可得
，
，D错误，符合题意.
故答案为：BD．
【分析】
注意根据题意,分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案.
三、填空题
13.（2021高二下·荔湾期末）新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有________种不同安排方法．（用数字作答）
【答案】
36
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】：将4位志愿者分成3组，有
种不同的方法，
将3组志愿者分配到3个不同的路口，有
种不同的方法，
所以，共有6×6＝36种不同的安排方法．
故答案为：36．
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理结合已知条件计算出结果即可。
14.（2021·河北模拟）
的展开式中
的系数为________．
【答案】
-56
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
的展开式通项为
，
令
，可得
，因此，展开式中
的系数为
.
故答案为：-56.
【分析】
由二项式展开式的通项即可求解.
15.（2021·广东模拟）已知
的展开式的二项式系数之和为16，则各项系数之和为________．（用数字作答）
【答案】
81
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】依题意得
，即
，
在
中令
可得各项系数和为
．
故答案为：81
【分析】
利用二项展开式的二项式系数和为2n?,列出方程求出n，再令x?=?1可得结论.
16.（2021·上海模拟）已知
，则
________.
【答案】
28
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为
的第
项为
（
且
），
所以
不存在，所以
，
因为
的系数为
，所以
，
所以
.
故答案为：28
【分析】由已知条件求出二项式的通项公式结合已知条件即可得出
，
结合组合公式计算出
，
从而得出答案。
四、解答题
17.（2021高二下·中山期末）已知
.
（1）求
的值；
（2）求
展开式中的常数项.
【答案】
（1）
等价于
，
整理得到
，
因
，故
，故
整理得到：
即
.
（2）
，令
，故
，从而展开式中的常数项为
.
【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式，二项式定理
【解析】【分析】
(1)结合排列组合数公式展开即可求解；
(2)结合二项展开式的通项即可求解.
?
?
18.（2021高二下·张家港期中）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
【答案】
（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位?十位，有
种情况，
则有
个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2?3?4?5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位?十位?个位，有
种情况，
则有
个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有
种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有
种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有
种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有
个符合题意的五位数.
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而求出在组成的三位数中，所有偶数的个数。
（2）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，从而在组成的四位数中，大于2000的自然数个数。
（3）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，从而在组成的五位数中，恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
?
?
19.（2021高二下·太仓期中）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;
（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．
【答案】
（1）
种；
（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由
种方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有2种方法，所以有
种；
（3）先从四个盒子中选出一个空盒子有
种方法，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中有
种，所以有
种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，从而求出每个盒子放一个小球共有的种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式，从而结合分步乘法计数原理，进而求出恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数。
（3）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，从而结合分步乘法计数原理，进而求出恰有一个空盒子的放法种数。
20.（2021高二下·梅州期末）在
的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．
（1）求
的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．
【答案】
（1）依题意得：
，
即
，得
或
．
，
．
展开式中二项式系数最大的项为第四项，即
．
（2）展开式的通项公式为：
，
，
依题：
，且
，解得
或
，
展开式中的有理项为
和240．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【分析】
(1?)由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项；
(2)在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项.
?
?
21.（2021高二下·长春期末）已知
．
（1）求?
；
（2）求
…
；
（3）求
…
．
【答案】
（1）二项展开式的通项公式
，令
，则
（2）令
得，
再令
得，
…
∴
…
（3）令
得，
…
①
再令
得，
…
②
由
得：
…
．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；
（2）利用赋值法求解即可；
（3）利用赋值法求解即可.
22.（2021高二下·荔湾期末）.已知二项式
，若选条件???????
（填写序号），
（1）.求展开式中含
的项；
（2）.设
，求展开式中奇次项的系数和．
请在：①只有第4项的二项式系数最大；②第2项与第6项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为64
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）选①只有第4项的二项式系数最大，则展开式中有7项，
；
选②第2项与第6项的二项式系数相等，
，所以
③所有二项式系数的和为64，
，
，
，
，
；
（2）令
得
令
得
，
相减得
，所以
．
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【分析】
选①时，由只有第4项的二项式系数最大，可知；选②时，可知
，
求出n=6；选③时，所有二项式系数的和为64，可知2”=64，可得n=6，
(1)知道n值，借助于通项公式，求解即可；（2）由特殊值法令x=1和x=-1代入即可求解.
?
?
1
/
1
