高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021·重庆模拟）若曲线 （ ）在 处的切线与直线 平行，则 （　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又曲线在 处的切线与直线 平行，且直线 的斜率为2，
则 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意对函数求导，再由待定系数法设出平行直线的方程，然后把数值代入计算出a的值即可。
2．（2021高二上·桂林开学考）函数 在区间 上的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ， ，
则 ，令 得 ，所以 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
所以，当 时， 有最大值 .
故答案为：D.
【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可.
3．（2021·西安模拟）函数 在区间（0，1）内的零点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ，在 范围内 ，函数为单调递增函数．又 ， ， ，故 在区间 存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只有一个。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而结合函数的单调性，进而求出函数 在区间（0，1）内的零点个数 。
4．已知函数则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】∵y=lnx，∴，设切点为，∴切线方程为，
∴，与y=ax相同，∴，，∴，∴.
当直线与平行时，直线为，
当x=1时，，
当x=e时，，
当x=e3时，，所以与在(1，e)，(e，e3)上有2个交点，所以直线在和之间时与函数f(x)有2个交点，所以，故选B.
5．（2021高二下·天河期末）函数 的定义域为 ，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（　　）
A．函数 在 上为减函数
B．函数 在 上为增函数
C．函数 在 上有极大值
D． 是函数 在区间 上的极小值点
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 的图象可知，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
又 ，
所以当 时， 取得极大值。
故答案为：C．
【分析】 利用函数 的定义域为 ，再利用函数的导函数 的部分图象，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值，从而选出结论正确的选项。
6．（2021高二下·阳江期末）若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 ，得 ，又关于 的不等式 在 上有解，
所以 在 上有解，即 ，
令 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
即 在 上单调递增，则 ，
于是有 ，从而得 在 上单调递增，
因此， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：D
【分析】 根据题意，有 在 上有解，进一步可令 ， ，则 ，从而利用导数与最值的关系探究出g(x)max即可求出m的取值范围.
7．（2021·河北模拟）已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，原不等式可变形为 ，即 ，
设 ，则当 时， 恒成立，
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， 所以 ， ，
因为 在 上单调递增，所以要使 ，只需 ，
两边取对数，得 ，因为 ，所以 ；
令 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，故正实数 的最小值为 。
故答案为：B.
【分析】由题意，原不等式可变形为 ，即 ，设 ，则当 时， 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数 在 上单调递减，在 上单调递增，再利用 ， ，所以 ， ，再利用函数 在 上单调递增，所以要使 ，只需 ，再利用 ，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，所以 ，进而求出正实数 的最小值。
8．（2021高三上·信阳开学考）已知定义域为R的函数 的导函数为 ，若 ，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，所以 在R上单调递增，又 0，所以当 时， ，即 ，所以 ，所以 当 时，由 得， 当 时， ，即 ，所以 ，所以 综上， .
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性解不等式可得答案。
二、多选题
9．（2021高二下·济南期末）已知函数 ， 为常数，若函数 有两个零点 、 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】由 可得 ，可知直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，则 ，
且当 时， ，如下图所示：
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得 ，消去 可得 ，A对；
对于B选项，设 ，取 ，则 ，所以， ，故 ，B不符合题意；
对于C选项，设 ，因为 ，则 ，
所以， ， ，
则 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，故 ，C对；
对于D选项， ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 ，D对.
故答案为：ACD.
【分析】 函数 有两个零点 、 ，所以当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，依次判断各个选项即可得出答案.
10．（2021高二下·茂名期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若 ，且 ，则使不等式 成立的x的值不可能为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 .
，
，
，即函数 在定义域 上单调递减.
，
，
不等式 等价于 ，即 ，解得 .故不等式的解集为 .
故答案为：AB.
【分析】设 ， 求导分析单调性，得函数F (x)在定义域R上单调递减，由f(0)=5，则F(0)= 3，不等式 等价于，即F(x)≤F(0)，即可得出答案.
11．（2021高二下·顺德期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A．函数 存在极大值和极小值
B．函数 不存在最小值与最大值
C．当 时，函数 最大值为
D．当 时，函数 最小值为
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
当x∈（1，2）时， ，f（x）在（1，2）上单调递减，
当x∈（-∞，1）∪（2，+∞）时， ，f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，f（x）取到极小值，当x=1时f（x）取到极大值，A符合题意；
又当x→-∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞，
故函数f（x）不存在最小值与最大值，B符合题意；
∵f（1）=e， ，∴f（1）-f（3）= ，
又f（x）在[0，1]，[2，3]上单调递增，在（1，2）单调递减，
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）最大值为 ，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AB．
【分析】根据题意首先对f(x)求导，从而判断出函数f(x)的单调性，然后分别判断出各选项，由此得出答案。
12．（2021高二下·烟台期末）若函数 在区间 上有定义，且对 ， ， ， 均可作为一个三角形的三边长，则称 在区间 上为“ 函数”．已知函数 在区间 为“ 函数”，则实数 的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，
当 时， ，当 ， 时， ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
（1） ，
又 ， （e） ，
，
为 函数，
，即 ，
，
， ， ， ，
所以A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】 利用导数可求得f (x)的单调性，进而得到最大值和最小值，根据M函数定义可得k的取值范围，从而可以选出正确选项.
三、填空题
13．（2021·渭南模拟）函数 =2lnx+ 在x=1处的切线方程是　 　
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，
，当 时， ，得切线的斜率为 ，
所以曲线在点 处的切线方程为：
，即 。
故答案为： 。
【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线的方程。
14．（2021高二下·天河期末）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 ，则 ，
因为函数 有两个极值点，
则 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实数根，
令 ，
所以函数 与 的图像有两个不同的交点，
因为 ，
则当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
作出函数 的图像如图所示，
由图像可知， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再利用函数 有两个极值点，则 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实数根，令 ，再利用函数与直线的交点的横坐标与方程的根的等价关系，得出函数 与 的图像有两个不同的交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而作出函数 的图像，再利用函数的图像，从而求出实数a的取值范围。
15．（2021高三上·重庆月考）已知函数 ， ，若函数 与 ， 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】 ，
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数 与 ， 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，等价于 在 ， 有零点，令 ，则 ，所以在 ， 上， ， 单调递减，所以 （4） ①， （1） ②，解得 ．
【分析】 由题意可得 在 ， 有零点，令利用导数求出h (x)的最大值及最小值，结合题意即可求解m的取值范围.
16．（2021·安徽模拟）已知函数 ，设 ，且函数 的图像经过四个象限，则实数 的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：如图，画出函数f(x)的图像，
当x>0时，f(x)=2x3-6x+3，则f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，
则可知f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，且f(1)=-1<0；
当x<0时，f(x)=|x+3|，
又 恒过定点，
若要使y=f(r)-g(x)经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上分别有交点即可(交点不可为(-3，0)和切点，
(1)当k>0时，在(0，+∞)上必有交点，在(-∞，0)区间内，需满足；
(2)当k<0时，在(-∞，0)上必有交点，在(0，+∞内，只需求过定点与函数f(x)=2x3-6x+3(x>0)图像的切线即可，设切点为(xo，2x03-6x0+3)，由解得，
则切线斜率，
所以
(3)当k=0时也符合题意
综上可得实数 的取值范围为
故答案为：
【分析】利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的几何意义，运用数形结合思想求解即可.
四、解答题
17．（2021·河北模拟）已知函数 .
（1）求过点 与曲线 相切的切线方程.
（2）若 ，函数 有且只有一个零点 ，证明： .
【答案】（1）设切点 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入，得 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，所以切点为 ，k=0，故所求切线方程为 .
（2）因为 ，所以 .
设 ， .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 ，即 ……（※），
所以 .
因为 在 上单调递增，且 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值，且 .
由（※）可知， ，x=1时取“=”，则 ，所以 ，由（※）可知， ，
所以 ，则 ，
于是要使 有唯一的零点，则 ，即 ，
所以 .
设 ，则 在 上单调递减.
因为 ， ，
所以 ，即 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 设切点 ， 利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式设出曲线在切点处的切线方程，再结合代入法求出切点的横坐标，进而求出过点 与曲线 相切的切线方程 。
（2） 利用 结合求导的方法求出其导函数，所以 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即 ，进而判断出函数h(x)的单调性，从而得出当 时， 取得最小值，且 ，再利用零点存在性定理得出，要使 有唯一的零点，则 ，即 ，所以 ，设 ，再利用减函数的定义得出函数 在 上单调递减，再利用 ， ，所以 ，从而证出 。
18．（2021·河北模拟）已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）判断函数 的单调性.
【答案】（1）由 求导得： ，令 ，得 ，
显然当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值 ，无极大值；
（2）因为 ， ，
由 解得 ，由 解 ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数 的单调性。
19．（2021·重庆模拟）已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线 相切，求a的取值范围.
【答案】（1） ， ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单减，在 上单增；
（2）设切点横坐标为 ，则切线方程为 ，代入 得 ，即 ，由题知此关于 的方程 在 内恰有两个解，
令 ，则 ，∴ 在 上单增，在 上单减，
又 ，当 时， ，且 ，故当 时，方程 有两个解，所以 ，A的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)由(1)的导函数把点的坐标代入计算出切线的线路，结合点斜式求出直线的方程，构造函数
，结合导函数的性质得出函数的单调性，由已知条件当 时，方程 有两个解 ，从而得出a的取值范围。
20．（2021高三上·大庆开学考）已知函数 ， ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ，则 的定义域为 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，则切点为 ，
曲线 在 处的切线方程是： ．
（2）∵对任意 ， 恒成立，
对任意 ， 恒成立，
即 恒成立，
令 ，
则 ，
①当 时，当 时，
，∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
②当 时，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
当 时， ，
∴ 在 单调递增，
∴ ，
∴ ，
综上，实数a的取值范围是 ．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可；
（2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数 在(0，a]上的最小值问题，运用分类讨论思想，利用导数研究函数的单调性和最值求解即可.
21．（2021高三上·长沙开学考）已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）.
（1）若函数 在 上有零点，求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，设 ， .
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减.
所以 的最大值即 的极大值为 ，
所以 在 上递减，即在 上递减，
若函数 在 上有零点，则 ，则 .
（2） ，即 ，
化简 ，设 ，
， ， ，
（ⅰ） ，即 时，令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 在区间 上单调递增， 恒成立，
即 恒成立；
（ⅱ） ，即 时，当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
所以 恒成立，即 不成立；
当 时， ， ，
，所以 ，又 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上存在唯一的零点，设为 ，
当 时 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 在区间 上不成立.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)根据导数和函数最值的关系，以及函数零点存在性定理即可求出a的取值范围；
(2)将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值.
22．（2021·渭南模拟）已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求 的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数 ，当 存在最小值时，求其最小值 的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 ，证明：当 时， .
【答案】（Ⅰ） = ， = (x>0)，
由已知得 解得a= ，x=e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e) 切线的斜率为k=f’(e2)=
∴切线的方程为 y－e= (x－e2)
(II)由条件知h(x)= –aln x(x＞0)，
（i）当a>0时，令 解得 ，
∴当0 < < 时， ， 在（0， ）上递减；
当x> 时， ， 在 上递增.
∴ 是 在 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 的最小值点.
∴最小值
（ii）当 时， 在（0，+∞）上递增，无最小值．
故 的最小值 的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则 ，令 解得 .
当 时， ，∴ 在 上递增；
当 时， ，∴ 在 上递减.
∴ 在 处取得最大值
∵ 在 上有且只有一个极值点，所以 也是 的最大值.
∴当 时，总有
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用两曲线相交，联立二者方程求出交点的坐标，进而求出切点的坐标，再结合曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，从而求出a的值，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）由条件知h(x)= –aln x(x＞0)，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出函数的最小值，从而求出函数的最小值 的解析式。
（3）由（2）知 再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而证出当 时， 。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021·重庆模拟）若曲线 （ ）在 处的切线与直线 平行，则 （　　）
A． B． C． D．2
2．（2021高二上·桂林开学考）函数 在区间 上的最大值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·西安模拟）函数 在区间（0，1）内的零点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·天河期末）函数 的定义域为 ，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（　　）
A．函数 在 上为减函数
B．函数 在 上为增函数
C．函数 在 上有极大值
D． 是函数 在区间 上的极小值点
6．（2021高二下·阳江期末）若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021·河北模拟）已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2021高三上·信阳开学考）已知定义域为R的函数 的导函数为 ，若 ，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二下·济南期末）已知函数 ， 为常数，若函数 有两个零点 、 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021高二下·茂名期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若 ，且 ，则使不等式 成立的x的值不可能为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
11．（2021高二下·顺德期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A．函数 存在极大值和极小值
B．函数 不存在最小值与最大值
C．当 时，函数 最大值为
D．当 时，函数 最小值为
12．（2021高二下·烟台期末）若函数 在区间 上有定义，且对 ， ， ， 均可作为一个三角形的三边长，则称 在区间 上为“ 函数”．已知函数 在区间 为“ 函数”，则实数 的值可能为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021·渭南模拟）函数 =2lnx+ 在x=1处的切线方程是　 　
14．（2021高二下·天河期末）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是　 　．
15．（2021高三上·重庆月考）已知函数 ， ，若函数 与 ， 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是　 　．
16．（2021·安徽模拟）已知函数 ，设 ，且函数 的图像经过四个象限，则实数 的取值范围为　 　．
四、解答题
17．（2021·河北模拟）已知函数 .
（1）求过点 与曲线 相切的切线方程.
（2）若 ，函数 有且只有一个零点 ，证明： .
18．（2021·河北模拟）已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）判断函数 的单调性.
19．（2021·重庆模拟）已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线 相切，求a的取值范围.
20．（2021高三上·大庆开学考）已知函数 ， ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2021高三上·长沙开学考）已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）.
（1）若函数 在 上有零点，求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2021·渭南模拟）已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求 的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数 ，当 存在最小值时，求其最小值 的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 ，证明：当 时， .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又曲线在 处的切线与直线 平行，且直线 的斜率为2，
则 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意对函数求导，再由待定系数法设出平行直线的方程，然后把数值代入计算出a的值即可。
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ， ，
则 ，令 得 ，所以 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
所以，当 时， 有最大值 .
故答案为：D.
【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ，在 范围内 ，函数为单调递增函数．又 ， ， ，故 在区间 存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只有一个。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而结合函数的单调性，进而求出函数 在区间（0，1）内的零点个数 。
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】∵y=lnx，∴，设切点为，∴切线方程为，
∴，与y=ax相同，∴，，∴，∴.
当直线与平行时，直线为，
当x=1时，，
当x=e时，，
当x=e3时，，所以与在(1，e)，(e，e3)上有2个交点，所以直线在和之间时与函数f(x)有2个交点，所以，故选B.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 的图象可知，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
又 ，
所以当 时， 取得极大值。
故答案为：C．
【分析】 利用函数 的定义域为 ，再利用函数的导函数 的部分图象，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值，从而选出结论正确的选项。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 ，得 ，又关于 的不等式 在 上有解，
所以 在 上有解，即 ，
令 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
即 在 上单调递增，则 ，
于是有 ，从而得 在 上单调递增，
因此， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：D
【分析】 根据题意，有 在 上有解，进一步可令 ， ，则 ，从而利用导数与最值的关系探究出g(x)max即可求出m的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，原不等式可变形为 ，即 ，
设 ，则当 时， 恒成立，
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， 所以 ， ，
因为 在 上单调递增，所以要使 ，只需 ，
两边取对数，得 ，因为 ，所以 ；
令 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，故正实数 的最小值为 。
故答案为：B.
【分析】由题意，原不等式可变形为 ，即 ，设 ，则当 时， 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数 在 上单调递减，在 上单调递增，再利用 ， ，所以 ， ，再利用函数 在 上单调递增，所以要使 ，只需 ，再利用 ，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，所以 ，进而求出正实数 的最小值。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，所以 在R上单调递增，又 0，所以当 时， ，即 ，所以 ，所以 当 时，由 得， 当 时， ，即 ，所以 ，所以 综上， .
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性解不等式可得答案。
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】由 可得 ，可知直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，则 ，
且当 时， ，如下图所示：
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得 ，消去 可得 ，A对；
对于B选项，设 ，取 ，则 ，所以， ，故 ，B不符合题意；
对于C选项，设 ，因为 ，则 ，
所以， ， ，
则 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，故 ，C对；
对于D选项， ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 ，D对.
故答案为：ACD.
【分析】 函数 有两个零点 、 ，所以当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，依次判断各个选项即可得出答案.
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 .
，
，
，即函数 在定义域 上单调递减.
，
，
不等式 等价于 ，即 ，解得 .故不等式的解集为 .
故答案为：AB.
【分析】设 ， 求导分析单调性，得函数F (x)在定义域R上单调递减，由f(0)=5，则F(0)= 3，不等式 等价于，即F(x)≤F(0)，即可得出答案.
11．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
当x∈（1，2）时， ，f（x）在（1，2）上单调递减，
当x∈（-∞，1）∪（2，+∞）时， ，f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，f（x）取到极小值，当x=1时f（x）取到极大值，A符合题意；
又当x→-∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞，
故函数f（x）不存在最小值与最大值，B符合题意；
∵f（1）=e， ，∴f（1）-f（3）= ，
又f（x）在[0，1]，[2，3]上单调递增，在（1，2）单调递减，
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）最大值为 ，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AB．
【分析】根据题意首先对f(x)求导，从而判断出函数f(x)的单调性，然后分别判断出各选项，由此得出答案。
12．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，
当 时， ，当 ， 时， ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
（1） ，
又 ， （e） ，
，
为 函数，
，即 ，
，
， ， ， ，
所以A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】 利用导数可求得f (x)的单调性，进而得到最大值和最小值，根据M函数定义可得k的取值范围，从而可以选出正确选项.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，
，当 时， ，得切线的斜率为 ，
所以曲线在点 处的切线方程为：
，即 。
故答案为： 。
【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线的方程。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 ，则 ，
因为函数 有两个极值点，
则 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实数根，
令 ，
所以函数 与 的图像有两个不同的交点，
因为 ，
则当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
作出函数 的图像如图所示，
由图像可知， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再利用函数 有两个极值点，则 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实数根，令 ，再利用函数与直线的交点的横坐标与方程的根的等价关系，得出函数 与 的图像有两个不同的交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而作出函数 的图像，再利用函数的图像，从而求出实数a的取值范围。
15．【答案】 ，
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数 与 ， 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，等价于 在 ， 有零点，令 ，则 ，所以在 ， 上， ， 单调递减，所以 （4） ①， （1） ②，解得 ．
【分析】 由题意可得 在 ， 有零点，令利用导数求出h (x)的最大值及最小值，结合题意即可求解m的取值范围.
16．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：如图，画出函数f(x)的图像，
当x>0时，f(x)=2x3-6x+3，则f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，
则可知f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，且f(1)=-1<0；
当x<0时，f(x)=|x+3|，
又 恒过定点，
若要使y=f(r)-g(x)经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上分别有交点即可(交点不可为(-3，0)和切点，
(1)当k>0时，在(0，+∞)上必有交点，在(-∞，0)区间内，需满足；
(2)当k<0时，在(-∞，0)上必有交点，在(0，+∞内，只需求过定点与函数f(x)=2x3-6x+3(x>0)图像的切线即可，设切点为(xo，2x03-6x0+3)，由解得，
则切线斜率，
所以
(3)当k=0时也符合题意
综上可得实数 的取值范围为
故答案为：
【分析】利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的几何意义，运用数形结合思想求解即可.
17．【答案】（1）设切点 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入，得 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，所以切点为 ，k=0，故所求切线方程为 .
（2）因为 ，所以 .
设 ， .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 ，即 ……（※），
所以 .
因为 在 上单调递增，且 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值，且 .
由（※）可知， ，x=1时取“=”，则 ，所以 ，由（※）可知， ，
所以 ，则 ，
于是要使 有唯一的零点，则 ，即 ，
所以 .
设 ，则 在 上单调递减.
因为 ， ，
所以 ，即 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 设切点 ， 利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式设出曲线在切点处的切线方程，再结合代入法求出切点的横坐标，进而求出过点 与曲线 相切的切线方程 。
（2） 利用 结合求导的方法求出其导函数，所以 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即 ，进而判断出函数h(x)的单调性，从而得出当 时， 取得最小值，且 ，再利用零点存在性定理得出，要使 有唯一的零点，则 ，即 ，所以 ，设 ，再利用减函数的定义得出函数 在 上单调递减，再利用 ， ，所以 ，从而证出 。
18．【答案】（1）由 求导得： ，令 ，得 ，
显然当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值 ，无极大值；
（2）因为 ， ，
由 解得 ，由 解 ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数 的单调性。
19．【答案】（1） ， ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单减，在 上单增；
（2）设切点横坐标为 ，则切线方程为 ，代入 得 ，即 ，由题知此关于 的方程 在 内恰有两个解，
令 ，则 ，∴ 在 上单增，在 上单减，
又 ，当 时， ，且 ，故当 时，方程 有两个解，所以 ，A的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)由(1)的导函数把点的坐标代入计算出切线的线路，结合点斜式求出直线的方程，构造函数
，结合导函数的性质得出函数的单调性，由已知条件当 时，方程 有两个解 ，从而得出a的取值范围。
20．【答案】（1）解：∵ ，则 的定义域为 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，则切点为 ，
曲线 在 处的切线方程是： ．
（2）∵对任意 ， 恒成立，
对任意 ， 恒成立，
即 恒成立，
令 ，
则 ，
①当 时，当 时，
，∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
②当 时，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
当 时， ，
∴ 在 单调递增，
∴ ，
∴ ，
综上，实数a的取值范围是 ．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可；
（2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数 在(0，a]上的最小值问题，运用分类讨论思想，利用导数研究函数的单调性和最值求解即可.
21．【答案】（1） ，设 ， .
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减.
所以 的最大值即 的极大值为 ，
所以 在 上递减，即在 上递减，
若函数 在 上有零点，则 ，则 .
（2） ，即 ，
化简 ，设 ，
， ， ，
（ⅰ） ，即 时，令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 在区间 上单调递增， 恒成立，
即 恒成立；
（ⅱ） ，即 时，当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
所以 恒成立，即 不成立；
当 时， ， ，
，所以 ，又 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上存在唯一的零点，设为 ，
当 时 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 在区间 上不成立.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)根据导数和函数最值的关系，以及函数零点存在性定理即可求出a的取值范围；
(2)将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值.
22．【答案】（Ⅰ） = ， = (x>0)，
由已知得 解得a= ，x=e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e) 切线的斜率为k=f’(e2)=
∴切线的方程为 y－e= (x－e2)
(II)由条件知h(x)= –aln x(x＞0)，
（i）当a>0时，令 解得 ，
∴当0 < < 时， ， 在（0， ）上递减；
当x> 时， ， 在 上递增.
∴ 是 在 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 的最小值点.
∴最小值
（ii）当 时， 在（0，+∞）上递增，无最小值．
故 的最小值 的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则 ，令 解得 .
当 时， ，∴ 在 上递增；
当 时， ，∴ 在 上递减.
∴ 在 处取得最大值
∵ 在 上有且只有一个极值点，所以 也是 的最大值.
∴当 时，总有
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用两曲线相交，联立二者方程求出交点的坐标，进而求出切点的坐标，再结合曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，从而求出a的值，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）由条件知h(x)= –aln x(x＞0)，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出函数的最小值，从而求出函数的最小值 的解析式。
（3）由（2）知 再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而证出当 时， 。
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