(共13张PPT)
苏教版数学选修1《园锥曲线的统一定义》精品教学课件
一
创设情境
问题2：抛物线的定义是什么？
问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
问题1:圆锥曲线形成的方法：
圆锥曲线的统一定义：
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、
双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
一
创设情境
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们
下一个统一的定义吗？
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距
离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
其中，点F是它的焦点，定直线L是它相应的准线，常数e是它的离心率。
例1.动圆C与圆O1： 外切，且
与x轴相切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A
D
C
B
应用一 求轨迹
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1，
则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ，则点P的
轨迹为（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.相交直线
练习一
应用二 求最值
例2.已知双曲线 的右焦点F，点
A（9，2），试在此双曲线上求一点M，使
取得最小值，且求其最小值。
练习二
2.已知点A（1，2）和椭圆 的右焦点F，椭
圆上一动点P，则 的最小值为（ ）
1.已知点A（3，2），F为抛物线 的焦点，P为抛物线上任意一点，则 的最小值（ ）
A. 3 B. C. D.
3.（上题变式）点A（1，4） ，令点P到右准线的距离
为 ，则 的最小值为（ ）
应用三 有关的实际应用
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m D 6m
O
P
问题1 请建立适当的直角坐标系，并求抛物线的方程；
问题2 刘洋同学身高1.7 m,
若在这次跳投中，球在
头顶上方0.25 m处出手，
问：球出手时，他跳离
地面的高度是多少？
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
3.05 m
2.5m
3.5m
4 m
练习三
三
归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义
2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题
3、圆锥曲线在生活中的作用登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《圆锥曲线的统一定义及其应用》教学设计
广东省深圳市布吉高级中学 包文智
1、 教学分析
１．教学内容分析
本节课是在学习了圆锥曲线的定义及其基本几何性质之后的一节复习课。本节课的内容是利用几何画板演示曲线随着离心率的变化而变化，观察圆锥曲线之间的内在联系，归纳总结椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，并对利用统一定义求轨迹、求最值，并拓展到在实际生活中的应用。为下节课复习用圆锥曲线的定义和性质解决实际问题打下基础。在知识上是对已学知识的归纳拓展，在能力上是在学生已有能力基础上更高层次的提升。
本节课的内容是在探究圆锥曲线的内在联系的基础上，利用信息技术手段演练动态数学，探究其规律，进而使学生更深刻的感受数形结合思想反映的数学美。通过了解圆锥曲线与实际生活的联系，让学生体会生活中的数学，增强学习数学的积极性。
２．教学对象分析
本课的教学内容适合高二的学生学习掌握。这个时期的学生在个体身心两方面逐步走向成熟，个性化特征也日趋明显。这一时期的学生已经具有知识的迁移能力、联想与类比的学习策略，养成了探究与归纳的学习习惯。学生通过前面的学习，已经对圆锥曲线本身的内在性质和它们之间的相互联系有了一定的认识，已经掌握了解决一些与圆锥曲线有关的问题的方法和技巧。
深圳的学生受环境的影响，了解、掌握信息的能力很强，特别是深圳学校的信息技术的使用程度，使学生对信息技术有深刻的认识，甚至学生也能较熟练的使用信息技术手段解决实际问题。
３．教学环境分析
本节课内容需要借助几何画板演示圆锥曲线的动态变化情况，同时需要借助几何画板解决圆锥曲线有关的应用问题，以增强课堂教学的直观性和生动性，因此，本节课选择多媒体教室环境最佳。
1、 教学目标
知识与技能
理解、掌握圆锥曲线的统一定义，并能利用圆锥曲线的统一定义求轨迹、求最值和解决实际问题等。
过程与方法
①通过归纳得出圆锥曲线的统一定义的过程，提高类比转化的能力；
②通过圆锥曲线随着离心率的变化而变化规律的探究，理解掌握椭圆、双曲线、抛物线的内在联系；
③通过圆锥曲线统一定义的应用，并利用几何画板等信息技术手段，直观刻画动态圆锥曲线的过程，体会数形结合的思想与方法。
情感态度与价值观
①通过数形结合的思想方法的应用，感受和体会数学的魅力；
②通过用数学方法解决应用问题和解释生活现象，激发“学数学”、“用数学”的热情。
1、 教学重点、难点
教学重点：圆锥曲线的统一定义及其应用，数形结合思想方法的渗透。
教学难点：利用圆锥曲线统一定义实现动点到焦点的距离和动点到相应准线的距离相互转化，利用圆锥曲线的光学性质解释生活中的现象。
教学关键：几何画板等多媒体的合理使用，数形结合思想和方法的有效渗透和培养
1、 教学过程
（一）教学流程
（二）教学环节说明
环节一 创设情境、引入课题
引入
1．圆锥曲线的形成：
[设计意图：利用flash动画的方式展示圆锥曲线的形成，为说明椭圆、双曲线、抛物线之间存在一定的内在联系，为我们的课题引入打下伏笔]
回顾
2．抛物线的定义 ： 平面内到一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线。
探究
3．当距离不相等，即到定点的距离与到定直线的距离之比不是1的时候是什么轨迹呢？再现课本，P47例6，点M（x,y）到定点F（4，0）的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹。
P59例5，点M（x,y）到定点F（5，0）的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹。
[设计意图：类比抛物线的定义，通过对课本例题的再现，对比值不是1的动点轨迹的推导计算，让学生们体会比值不同时所对应的圆锥曲线是不同的。课本例题的再现，目的是回归课本，组织学生进行探究也体现了学生的主体地位]
探究
３．根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、双曲线、抛物线跟这个常数有什么关系吗？
[学生归纳，提高学生发现问题、总结归纳的能力]
几何画板展示
当比值等于1时是抛物线；当比值大于0小于1时是椭圆；当比值大于1时是双曲线
[设计意图：这一环节的设计，一方面让学生直观感受圆锥曲线随着离心率e的变化而改变的过程，另一方面让学生感受数学是动态的数学，是有生命的数学。]
环节二 自主探究、建构数学
[由学生归纳总结得出]
圆锥曲线的统一定义：平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。其中点F是它的焦点，定直线L是它的相应准线，常数e是它的离心率。
环节三 数学运用、拓展思维
应用一 用统一定义求轨迹
例1．动圆C与圆O1：外切，且与x轴相切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题组练习一：[小组学习、合作交流]
1．动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线的一支
2．动点P（x，y）到点F（8，0）的距离与到直线的距离之比为常数 时，点P的轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆。
3．动点P（x,y）满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．相交直线
分析：
练习1图 练习3图
[设计意图：求轨迹的方法很多，本组习题的设计，是圆锥曲线统一定义的应用，在一定程度上简化了解题过程，缩减了计算量，本组习题的设计体现了代数问题几何化的思想，同时也体现了数形结合的方法。题组练习设计为小组学习、小组交流，让一个小组的学生上讲台讲解分析思路，学生的合作学习，体现学生的主体性]
应用二 与统一定义有关的最值问题
例２．已知双曲线的右焦点为F，点A（9，2），试在此双曲线上求一点M，使取得最小值，且求最小值。
例2图
题组练习二：[小组学习、合作交流]
1．已知点A（3，2），F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． 3 B． C． D．
2．已知点A（1，2）和椭圆的右焦点F，椭圆上一动点P，则的最小值为
3．（上题变式）A（1，4），令点P到右准线的距离为，则的最小值为
练习2图 练习3图
[设计意图：本组习题是关于通过到焦点的距离与到准线的距离的转化，从而得到代数式的最小值的问题，通过几何画板的演示，让学生通过移动曲线上的点直观的观察距离之和为最小时点的位置。题组练习设计为小组学习、小组交流，让一个小组的学生上讲台讲解分析思路，学生的合作学习，体现学生的主体性]
应用三 圆锥曲线与实际应用问题
1 如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m D 6m
2 如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
问题1 请建立适当的直角坐标系，并求抛物线的方程；
问题2 刘洋同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，
问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
环节四 小结作业、情感升华
归纳小结： （1）在内容上的收获？
（2）在方法上的收获？
（3）在情感上的收获？
布置作业：
作业1
（1）椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到椭圆右准线的距离为_________，点P到左右准线的距离比为_________。
（2）已知是椭圆的右焦点，点M是该椭圆上的动点，点A(2,1)为椭圆内一点，的最小值为___________, 对应的点M的坐标为__________，
（3）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线的焦点，点M是该抛物线的动点，则的最小值为___________,对应的点M的坐标为__________
作业2 请同学们复习圆锥曲线的其它性质，并利用网络资源了解在我们的实际生活中还有哪些地方用到了圆锥曲线的定义与性质。
[设计意图：两个方面的作业，一是为了巩固本节课利用圆锥曲线的统一定义求轨迹和最值，另一方面，让学生们利用网络手段了解更多的生活中的数学，提高学生“学数学、用数学”的积极性。]
环节五 学习效果反馈
主要通过教学过程中学生的参与程度与学习积极性对学习效果进行检验，同时根据学生在同步练习中反映出的问题给与及时点评和反馈。
附：学生阅读材料
生活中的数学
巧用圆锥曲线
在高中教材第四册第一章介绍的圆锥曲线是所有曲线最常见的，它有着广泛的用途与我们的生活息息相关，因其具独特的光学特性，发展出不少特殊用途的产品。以下就各类举例介绍：
1、 拋物线
凹面镜
利用拋物线面制做的凹面镜具拋物线的光学特性：
(1)平行主轴的光线经凹面镜反射后会相交于焦点。
(2)由焦点发出或通过焦点的光线经凹面镜反射，则会成平行光射出。
(3)照射于镜顶的光线，反射后对称于主轴。
凹面镜的应用：
太阳炉、太阳伞、汽车车前灯、手电筒、对空探照灯
天文望远镜
望远镜由物镜和目镜组成，远景物的光源视作平行光，根据光学原埋，平行光经过凹形反射镜便会聚焦在一点上，这就是焦点。焦点与物镜距离就是焦距。再利用一块比物镜焦距短的凸透镜或目镜就可以把成像放大，这时观察者觉得远处景物被拉近，看得特别清楚。
马克斯威尔通话器
俗称『大耳朵』的碟型天线，两面平行相对，不论多远都可相互交谈。这是利用声音在空气传递下，碰到抛物面体后反射汇聚在焦点上，所以只要对着焦点说话，不论多小声，对方都能清楚听到。
抛物面天线
抛物面天线由旋转抛物面和辐射源（馈源）两部分组成，其结构类似于探照灯，利用放置在抛物面焦点处的辐射源发射出的球面波，经抛物面反射产生一个高方向性的波束，具有天线方向性好、增益高、损耗低的特点。
薄壳建筑
这是一种拋物线双曲面原理在建筑上的运用。这种曲面系由无数的水平线沿着一条拋物线在一条直线上移动的轨迹，因同时具向内凹及向外凸的特性，使曲面内部的应力，皆沿此曲面的方向，传到此曲面四边的边际梁柱，再传到基础上，以致曲面内部无弯折力产生，曲面的厚度因此而可以大大的减少，形成所谓的「薄壳建筑」。这个道理与蛋壳虽薄而仍能抗压的性质类似。
1、 椭圆
飞碟屋
若将光源置于椭圆一焦点处，则经椭圆镜面反射后所有光会汇集通过另一焦点F，利用此原理于建筑上，只要两人各站在椭圆建筑的两焦点，即使室内吵杂两人依然可以清晰对话。世界各地有许多音越厅，如飞碟屋便是利用椭圆形两个焦点聚焦的原理，让您可以体会到环绕音响的真实感。
体外震波碎石机
台湾人口中有9.3%于一生中曾受过尿路结石的折磨，传统的开刀取石术是属于侵犯性治疗术，须将内视镜或治疗仪器放入体内，对身体多少有些影响。不同于上的体外震波碎石术是利用震波仪器发出强烈的震波，透过一个椭圆型的反射器，再利用ｘ光或超音波来定位，震波准确地反射到结石，因表面大，震波不会对皮肤造成伤害或疼痛；这类震波对硬的东西会有反应，所以会击碎石头，但对软的组织，如肌肉、皮肤或肠子等则比较没有影响。
三、双曲线
卡塞格伦天线
由主反射器、副反射器和辐射源组成。其中主反射器为旋转抛物面，副反射面为旋转双曲面，双曲面的一个焦点与抛物面的焦点重合，而辐射源位于双曲面的另一焦点上。由副反射器对辐射源发出的电磁波进行一次反射，将电磁波反射到主反射器上，后再经主反射器反射后获的平面波波束，以实现定向发射。
当辐射器位于旋转双曲面的实焦点F1处时，由F1发出的射线经过双曲面反射后的射线，就相当于由双曲面的虚焦点F2直接发射出的射线。因此只要是双曲面的虚焦点与抛物面的焦点相重合，就可使副反射面反射到主反射面上的射线被抛物面反射成平面波辐射出去。可
见，卡塞格伦天线是采用馈源加副反射面来代替原抛物面天线的馈源，而性能则与抛物面天线一样。
此天线的结构较为紧凑，制作起来也比较方便。另可等效为具有长焦距的抛物面天线，而这种长焦距可以使天线从焦点至口面各点的距离接近于常数，因而空间衰耗对馈电器辐射的影响要小，使得此天线的效率比标准抛物面天线要高。
求轨迹
创设情境
引入课题
自主探究
建构数学
数学运用
拓展思维
求最值
实际应用
小结作业
情感升华
O
x
y
x
F
H
M
O
y
M
H
F
x
y
O
y
x
y
x
O
O
巴塞隆那的加泰隆尼亚音乐宫 飞碟屋 太阳系行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆形
巴塞隆那的加泰隆尼亞音樂宮 飛碟屋
太阳炉
东海大学的「路思易教堂」是采薄壳建筑结构
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卡塞格伦天线工作原理 双曲线的光学原里 篮子外包络的就是「双曲线」。
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