【一轮复习】数列问题的类型与解法（5分题）（含答案）

数列5分小题问题的类型与解法
大家知道，数列问题是近几年高考的热点问题之一，高考试卷中不是大题，就是两到三个小题，分值一般在十到十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数较低，一般为中档题或低档题，这里着重探导数列的5分小题问题。纵观近几年高考试题，归结起来，数列的5分小题问题主要包括：①数列的基本概念；②等差数列问题；③等比数列问题；④数列通项公式问题；⑤数列前n项和的问题等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、数列{}的前n项和为，+2=，数列{}满足=（3-）（n），则数列{}的前10项和为
（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列前n项和公式及运用；③数列通项与前n项和之间的关系；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式，前n项和公式及数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件，得到3-=2，从而得到=（3-）=2=，求出数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前10项和。
【详细解答】当n=1时，+2=3=3，=1，当n2时，+2=，
+2=，+2（-）-=3-=2，=（3-）=2=，
=n+1，数列{}的前10项和为2+3+4+-----+11=65。
2、（理）已知数列{
}的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则使＜成立的n的最大值为（
）（2021成都市高三二诊）
A
17
B
18
C
19
D
20
（文）已知数列{}的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则的值为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④裂
项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）根据数列通项公式与前n项和公式，求出数列{
}的通项公式，从而得到数列{}的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法求出，从而求出使＜成立的n的最大值就可得出选项。（文）根据数列通项公式与前n项和公式，求出数列{}的通项公式，从而得到数列{}的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）①当n=1时，==1，=1；②当n
2时，=-=
-=2n-1,
当n=1时，
=2-1=1成立，数列{
}的通项公式为=2n-1,
==（-），=（1-+-+-------+
-+-）=（1-）=，=＜，n＜20，即使＜成立的n的最大值为19，C正确，选C。（文）①当n=1时，==1，=1；②当n
2时，=-=-=2n-1,
当n=1时，=2-1=1成立，数列{}的通项公式为=2n-1,
=
=（-），=（1-+-+-------+-+-）=（1-）=，
C正确，选C。
3、（理）设数列｛｝的前n项和为，若=1，=35，且=+（n
2且n∈），则++------+
的值为
；
（文）设数列｛｝的前n项和为，若=5，=10，且{
}是等差数列，则||+||+||+------+||的值为
（2020成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④裂项相消法求数列前n项和的基本方法；⑤等差数列的定义余性质；⑥求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（理）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列前n项和的基本方法就可求出++------+的值；（文）运用等差数列的性质，结合问题条件求出数列｛｝的前n项和为，根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，从而求出||+||+||+------+||的值。
【详细解答】（理）=1，=35，且=+，==1，=1+①，=+②，=+7③，联立①②③解得：=5，=12，=22，=-
=5-1=4，=-=12-5=7，=-=22-12=10，=-=35-22=13，数列｛｝
是以1为首项，3为公差的等差数列，即=1+3（n-1）=3n-
2（n∈）,
=
=
(-),++------+
=
(1-+
-+-+--------+-+-)=
(1-)==;（文）设等差数列{
}的公差为d
，数列｛｝的前n项和为，=5，=10，且{
}是等差数列，
==5，==2，-=2-5==3=4d,
d=-，数列{
}是以5为首项，-为公差的等差数列，=5-（n-1），即=-+n，当n
2时，=-=-（-+2n-1）+（n-n+1）=-n+,
当n
=1时，=-+=5成立，=-n+（n∈），即||+||+||+------+||=5++2++1++4++7+=。
4、设数列｛｝满足+
=3n-1，前16项和为540，则=
（2020全国高考新课标I文）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列递推公式及运用。
【解答思路】当为奇数时，根据问题条件得到-=3n-1，从而得到++-----+含的式子；当n为偶数时，根据问题条件得到+
=3n-1，从而求出++----+的值，根据前16项和为540得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】当为奇数时，-=2，-=8，-=14，数列{-}是以2为首项，6为公差的等差数列，-=2+66=38，-=27+6=140，
=140+,++-----+=（2+10+24+44+70+102+140）+8=392+8；当n为偶
数时，+=5，+=11，+=17，数列{+}是以5为首项，6为公差的等
差数列，+=5+66=41，
++++，+++=5+17+29+41=92，
=+++-----++=392+92+8=484+8=540，=7。
5、数列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，则k=
（
）（2020全国高考新课标II理）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列递推公式及运用；③等比数列的定义与性质。
【解答思路】令m=1,根据问题条件得到=.=2，从而判断数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列｛｝的通项公式，由++-----+=-得到关于k的方程，求解方程求出k的值就可得出选项。
【详细解答】令m=1,
=2，=.，=.=2，数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，=2=，++-----+=++---
+=（1+2++----+）=（-1）=-，k=4，C正确，选C。
6、0—1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列，，------，，----满足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整数m，使得=（i=1,2,----）成立,则称其为0—1周期
序列，并称满足=（i=1,2,----）的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指标，下列周期为5的0—1序列中，满足C（k）
（k=1，2，3，4）的序
列是（
）（2020全国高考新课标II理）
A
11010
B
11011
C
10001
D
11001
【解析】
【考点】①0—1周期序列的定义与性质；②0—1周期序列周期的定义与性质。
【解答思路】根据0—1周期序列和0—1周期序列周期的性质，运用公式C（k）=（k=1，2，----，m-1）对各选项通过计算就可得出选项。
【详细解答】对A,
C（k）==
（11+10+11+10+10+11+10
+01+00+10）=＞，排除A；对B,
C（k）==
（11+10+1
1+11+10+11+11+01+01+11）=＞，排除B；对C,
C（k）=
=
（10+10+10+11+00+00+01+00+01+01）=，C正确，选C。
7、将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列｛｝，则｛｝的前n项和为
（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④等差数列的定义与性质。
【解答思路】根据数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，从而得到数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝是以1为首项，6为公差的等差数列，利用等差数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝，数列｛｝是以1为首项，6为公差的等差数列，=n+6=3-2n。
8、设为数列｛｝的前n项和，且=4，=，n，则=
（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④已知数列通项公式求数列某一项的基本方法；
【解答思路】当n2时，根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到与
的等式，由=4，求出的值，判断数列｛｝是,以4为首项，2为公比的等比数列，
从而求出数列｛｝的通项公式，验证当n=1时，数列｛｝的通项公式是否成立，求出数列｛｝的通项公式就可求出的值。
【详细解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，当n2时，数列｛｝是,以4为首项，2为公比的等比数列，
=4=（n2），当n=1时，=24，数列｛｝的通项公式是：当n=1时，=4，当n2时，=，==32。
9、数列｛｝满足：=，=2，则=
（2018全国高考新课标II卷（文））
【解析】
【考点】①数列递推公式的定义与性质；②运用数列递推公式求数列某一项的基本求法。
【解答思路】根据数列｛｝的递推公式，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】数列｛｝满足：=，=2，=1-，=1-=。
10、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x=
，n}，将A
B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列｛｝，记为数列｛｝的前n项和，则使得＞12成立的n的最小值为
（2018全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合的运算；③数列通项公式的定义与性质；④数列前n项和公式的定义与性质。
【解答思路】根据集合表示的基本方法，把集合A，B用列举法表示成集合A={1，3，5，7，-------，2n-1，-------}，集合B={2，4，8，16，------，，------}，得到数列｛｝=A
B的所有元素从小到大依次排列构成的数列可表示为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，-------
，分别求出
，12，，=45，12的值，从而求出使得>12成立的n的最小值。
【详细解答】集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x=
，n}，集合A={1，3，5，7，-------，2n-1，-------}，集合B={2，4，8，16，------，，------}，数列｛｝=A
B的所有元素从小到大依次排列构成的数列可表示为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，-------
，=+=441+62=503，=43，12=1243=516，=+=484+62=546，=45，12=1245=540，<12，>12，使得>12成立的n的最小值是27。
11、已知数列｛｝共16项，且=1，=4，记关于x的函数（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函数（x）的极值点，且曲线y=（x）在点（，（））处的切线的斜率为15，则满足条件的数列｛｝的个数为
（2018成都市高三二诊理）
【解析】
【考点】①导数的定义与性质；②导数的基本求法；③函数极值点的定义与性质；④数列递推公式的定义与性质；⑤排列，组合的定义与排列数，组合数的基本求法。
【解答思路】根据导数的基本求法求出（x），由（1n15）是函数（x）的极值点得到
=+1或=-1，从而得到|
-|=1，结合问题条件得到关于x的方程，运用导数的几何意义得到关于的方程，求解方程求出的值，当=0时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3得到
-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15
，i）有6个为-1，2个为1，
数列｛｝的个数为.=588；当=8时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15
，i）有2个为-1，6个为1，
数列｛｝的个数为.=588；综上所述，数列｛｝的个数为.+.=588+588=1176。
【详细解答】（x）=-2x+(
-1)=[x-（+1）]
[x-（-1）]，（1n15）是函数（x）的极值点，
=+1或=-1|
-|=1，=-8x+15=15，-8+15=15，=0或=8，
当=0时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15
，i）有6个为-1，2个为1，
数列｛｝的个数为.=588；当=8时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15
，i）有2个为-1，6个为1，
数列｛｝的个数为.=588；综上所述，数列｛｝的个数为.
+.=588+588=1176。
12、下列四个结论：①数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列的通项公式是唯一的。其中正确的是（
）
A
①②
B
①②③
C
②③
D
①②③④
【解析】
【知识点】①数列的定义与性质；②函数的定义与性质。
【解答思路】根据数列，函数的定义能够判断①，②是正确的，可以排除C；由数列的分类能够判断③是错误的，可以排除B，D，从而得出选项。
【详细解答】根据数列，函数的定义能够判断①，②是正确的，可以排除C；由数列的分类能够判断③是错误的，可以排除B，D；A正确，选A。
13、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（
）
A
1,
，，，-----
B
sin，sin
，sin
，-----
C
-1,
-，-，-，-----
D
1，，，-------，
【解析】
【考点】①数列分类的基本方法；②数列单调性的定义与单调性判断的基本方法。
【解答思路】根据数列的分类的基本方法能够判断A，B，C，D都是正确的；根据数列的单调性判断的基本方法能够判断A，B，C是错误的，可以排除A，B，C，从而得出选项。
【详细解答】根据数列的单调性判断的基本方法能够判断A，B，C是错误的，可以排除A，B，C，D正确，选D。
14、数列｛｝中，=-+11n，则此数列最大项的值是
。
【解析】
【考点】①数列通项公式的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质。
【解答思路】根据数列通项公式=-+11n，可以视为关于n的一元二次函数，运用一元二次函数的性质就能够求出结果。
【详细解答】数列通项公式=-+11n是关于n的一元二次函数，-1<0，当n=-=，n，即当取n=6时，=-+116=30为最大值，数列最大项的值是30。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与数列概念相关的问题，解答这类问题需要理解数列的定义，注意数列的通项公式、递推公式的意义，同时掌握数列分类和数列表示的基本方法；
（2）数列是一个特殊的函数，它的表示与函数一样有：①解析法；②列表法；③图像法；但需要注意数列的特殊性是它的定义域为正整数。
〔练习1〕解答下列问题：
1、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，-------，其中第一项是，接下来两项是，，再接下来的三项是，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100，且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（
）（2017全国高考新课标I卷）（答案A）
A
440
B
330
C
220
D
110
2、（理）在数列｛｝中，=1，=（n2，n∈），则数列｛｝的前n项和=
；（答案）
（文）在数列｛｝中，=1，+++------+=（n∈），则数列｛｝的通项公式=
（2017成都市高三二诊）（答案）
3、下列说法中，正确的是（
）（答案C）
A数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列
C数列{}的第k项为1+
D数列0，2，4，6，8------可记为{2n}
4、已知数列，，，----，，----下列各数中是此数列中的项的是（
）
A
B
C
D
（答案B）
5、在数列｛｝中，=1，=1+（n2），则等于（
）（答案D）
A
B
C
D
6、已知数列｛｝的通项公式是=，那么这个数列是（
）（答案A）
A
递增数列
B
递减数列
C
常数数列
D
摆动数列
7、数列｛｝满足：=，=2，则=
。（答案）
【典例2】解答下列问题：
1、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（
）（2020成都市高三一诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1),
==,C正确，选C。
2、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则=
（2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
3、（理）北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环也依次增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（
）
A
3699块
B
3474块
C
3402块
D
3339块
（文）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1
i12，若k-j=3且j-i=4，则称，，为原位大三和弦，若k-j=4且j-i=3，则称，，为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（
）（2020全国高考新课标II）
A
5
B
8
C
10
D
15
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设国丘坛每层的环数为m，结合问题条件分别得到中层，下层扇面形石板数关于m的式子，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，利用数列前n项和公式求出三层共有扇面形石板数就可得出选项；（文）根据原位大三和弦的定义，运用k-j=3且j-i=4，求出，，的所有可能取值就可得出原位大三和弦的个数，根据原位小三和弦的定义，运用k-j=4且j-i=3，求出，，的所有可能取值就可得出原位小三和弦的个数，从而求出原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和就可得出选项。
【详细解答】设国丘坛每层的环数为m，上层的第m环扇面形石板数为9+9（m-1）=9m，
中层的第m环扇面形石板数为（9m+9）+9（m-1）=18m，中层的扇面形石板数为（9m
+
9）m+9=+m，下层的扇面形石板数为m（18m+9）+
9=
+m，(+m)-(
+m)=9=729，m=9，上层的扇面形石板数为
99+9=405，中层的扇面形石板数为81+9=1134，下层的扇面形石板数为
81+9=1863，三层共有扇面形石板数为405+1134+1863=3402，C正确，选C；（文）当i=1时，
k-j=3且j-i=4，j=5，k=8；当i=2时，
k-j=3且j-i=4，j=6，k=9；当i=3时，
k-j=3且j-i=4，j=7，k=10；当i=4时，
k-j=3且j-i=4，j=8，k=11；
当i=5时，
k-j=3且j-i=4，j=9，k=12；所有原位大三和弦有：，，；，，；，，；，，；，，共5个；原位小三和弦满足：k-j=4且j-i=3，k-i=7，k=8，9，10，11，12也是5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10，C正确，选C。
4、（理）记为等差数列{
}的前n项和，0，=3，则=
；（文）记为等差数列{
}的前n项和，若=5，=13，则=
（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（理）设等差数列｛｝的公差为d，根据等差数列｛｝通项公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得出公差d关于首项的表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法把表示成关于n的函数，得出，关于公差d的表示式，从而求出的值；（文）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的方程组，求解方程组求出，d的值，利用等差数列前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（理）设等差数列｛｝的公差为d，0，=3，+d=3，=，=+（n-1）d=（n-）d，=（10-）d=d，=（5-）d=d，=；（文）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+2d=5①，=+6d=13②，联立①②解得：=1，d=2，=1+（10-1）2=19。
5、记为等差数列{
}的前n项和，已知=0，=5，则（
）（2019全国高考新课标I（理））
A
=2n-5
B
=3n-10
C
=2-8n
D
=-2n
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项（或前n项和）的基本方法把（或）表示成关于n的函数就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=4+6d=0①，
=+4d=5②，联立①②解得：=-3，d=2，=-3+（n-1）2=2n-5，=-3n+2=-4n，A正确，选A。
6、设等差数列{
}的前n项和为，若=-3，=-10，则=
，的最小值为
（2019全国高考北京（理））
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式（或前n项和）的基本方法求出的值，并把表示成关于n的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+d=-3①，=5+10d=-10②，联立①②解得：=-4，d=1，=-4+（5-1）1=0，=-4n+
1=-n，n∈，当且仅当n=-=5时，=25-5=-10。
7、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=，=15，则=（
）（2019成都市高三零诊）
A
B
1
C
D
2
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，
=+3d=①，
=10+45d=15②，联立①②解得：=，d=-，=+（7-1）（-）
=，A正确，选A。
8、设为等差数列｛｝的前n项和，且2+=+，则=（
）（2019成都市高三一诊）
A
28
B
14
C
7
D
2
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，
2+=+，
+4d+2=2+7d，+3d=2，=7+21d=7（+3d）=72=14，B正确，选B。
9、已知公差大于零的等差数列｛｝中，，，依次成等比数列，则的值是
（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等比中项的定义与性质。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和等比中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列通项公式的基本方法表示出，关于公差d的式子就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，
，，，=（+d）(+11d)，5-4d=d(5d-4)=0,
公差d＞0，=d，
=d+11d=d，=d+d=d，=。
10、设等差数列｛｝满足3=5，且>0，则前n项和中最大的是（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列前n项和的基本方法。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，根据等差数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得出公差d关于首项的表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法把表示成关于n的函数，利用函数求最值的基本方法求出的最大值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=+7d，=+12d，3=5，3+21d=5+60d,
d=-，=n+(-)=（-+40n），当n=-=20时，取的最大值，C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等差数列相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列的定义和性质，掌握求等差数列通项公式与前n项和的基本方法；
（2）解答等差数列问题的关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差的方程（或方程组）；②求解方程（或方程组）；③运用求得的结果求问题的结果。
〔练习2〕解答下列问题：
1、记为等差数列｛｝的前n项和，若3=+，=2，=（
）（2018全国高考新课标I卷（理））（答案C）
A
-12
B
-10
C
10
D
12
2、等差数列｛｝的公差为2，若，，成等比数列，则｛｝的前n项和为=（
）（2018全国高考新课标II卷（文））（答案A）
A
n(n+1)
B
n(n-1)
C
D
3、设｛｝是等差数列，且=3，+=36，则｛｝的通项公式为
（2018全国高考北京卷）（答案=6n-3）
4、设等差数列｛｝的前n项和为，若=20，=10，则=（
）（2018成都市高三二诊）（答案D）
A
-32
B
12
C
16
D
32
5、记为等差数列{
}的前n项和，已知=0，=5，则（
）（答案C）
A
=2n-5
B
=3n-10
C
=2-8n
D
=-2n
6、设等差数列｛｝的公差为1，且，，成等比数列，则｛｝的前20项和为（
）
A
230
B
-230
C
210
D
-210（答案A）
7、设等差数列{
}的前n项和为，若=-3，=-10，则=
，的最小值为
。（答案=0，的最小值为-10）
【典例3】解答下列问题：
1、若等比数列{
}满足+=2，-=6，则=（
）（2021成都市高三一诊）
A
-32
B
-8
C
8
D
64
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正确，选A。
2、等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则（
）A
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C
甲是乙的充分必要条件
D
甲既不是乙的充分条件也表示乙的必要条件
记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（
）（2021全国高考甲卷）
A
7
B
8
C
9
D
10
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质，④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，运用充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法对甲与乙之间的关系给出正确判断就可得出选项。（文）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）由q>0，不能判断等比数列{}是递增数列，也不能判断数列{}是递增数列，但由数列{}是递增数列，能够判断等比数列{}是递增数列，从而推出q>0，甲是乙的必要条件但不是充分条件，B正确，选B。（文）设等比数列{}的首项为，公比为q，
=（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
3、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（
）（2020成都市高三零诊）
A
1
B
3
C
6
D
9
【解析】
【考点】①等比数列通项公式的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，求出首项关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法把表示成关于，q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正确，选D。
4、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则=
（2020成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比，再根据求等比数列通项公的基本方法求出结果。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，==84+=q+
=36，
4-9q-9=0，q=3或q=-，等比数列{}为正项等比数列，
q=3，=3，=3=。
5、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A
-3
B
3
C
3
D
9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列的首项和公比的等式，求出等比数列的公比就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，=.=
==，=，当且仅当=时，q=3，B正确，选B。
6、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（
）（2020全国高考新课标I文）
A
12
B
24
C
30
D
32
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①,
q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正确，选D。
7、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（
）（2020全国高考新课标II文）
A
-1
B
2-
C
2-
D
-1
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（
-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
8、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（
）（2020全国高考北京卷）
A
1
B
3
C
6
D
9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和对数的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，把首项表示成关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法将表示成关于公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++-----+
===12，=，=9，==9，D正确，选D。
9、已知各项均为正数的等比数列{
}的前4项和为15，且=3+4，则=（
）（2019全国高考新课标III）
A
16
B
8
C
4
D
2
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和前n项公式，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，，
（1+q++）=15①，==3+4②，联立①②解得：q=2，=1或q=-2，=-3，数列{
}各项均为正数，q=2，=1，==4，C正确，选C。
10、（理）记为等比数列{
}的前n项和，若=
，=，则=
；（文）记为等比数列{
}的前n项和，若=1，=，则=
（2019全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值；（文）设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值.
【详细解答】（理）设等比数列｛｝的公比为q，
=
，===，=
，q=3，
==，（文）设等比数列｛｝的公比为q，，
=1，=1+q+=，=1，q=-，==。
11、设1------，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是
（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差数列的定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④等差数列通项公式及运用。
【解答思路】根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到1+23，=3，从而得到关于q的不等式，求解不等式求出公比q的取值范围就可求出q的最小值。
【详细解答】1------，，，成公差为1的等差数列，1+23，，，，成公比为q的等比数列，=，
3，q，即q的最小值是。
12、设数列｛｝是首项为m，公比为q（q
1）的等比数列，它的前n项和为，对任意的n∈，点（，）（
）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A在直线mx+qy-q=0上
B在直线qx-my+m=0上C在直线qx+my-q=0上D不一定在一条直线上
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④等比数列前n项和公式及运用；⑤直线与点的位置关系。
【解答思路】根据等比数列｛｝通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到，，从而得出点（，）的坐标，运用判断点与直线位置关系的基本方法就可得出选项。
【详细解答】数列｛｝是首项为m，公比为q（q
1）的等比数列，=m，==1+，点（，）为（m，1+），
qx-my+m=q.
m-m（1+）+m=m-m-m+m=0，点（m，1+）在直线qx-my+m=0上，B正确，选B。
13、已知数列｛｝，｛｝均为等比数列，其前n项和分别为，，若对任意的n∈，都有=
，则=（
）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A
81
B
9
C
729
D
730
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝，｛｝的首项分别为，，公比分别为，，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件求出，，，的值，从而得出，，运用等比数列通项公式的性质求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝，｛｝的首项分别为，，公比分别为，，前n项和，，对任意的n∈，都有=
，===1，===，===7，=，2=3+5，+=6+7+7，=，=4，=1或=，=9，=4，当n=4，===与题意不符合，=，=9，=4，
=9，=，=729，C正确，选C。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等比数列相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列的定义和性质，掌握求等比数列通项公式与前n项和的基本方法；
（2）解答等比数列问题的关键是由条件求出：①等比数列的首项；②等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公比的方程（或方程组）；②求解方程（或方程组）；③运用求得的结果求问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、“十二平均算”是通用的普算体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半普比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均算将一个纯八度普程分成十二份，依次得到十三个单普，从第二个单普起，每一个单普的频率与它的前一个单普的频率的比都等于，若第一个单普的频率为f，则第八个单普的频率为（
）（2018全国高考北京卷）（答案D）
f
A
f
B
f
C
f
D
f
2、设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（
）（2018全国高考北京卷（文））（答案B）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
3、已知数列｛｝是首项为2018，公比为2018的等比数列，设数列｛｝的前n项和为，则...------.=
（2018成都市高三零诊（理））（答案）
4、在等比数列｛｝中，＞0，若.=81，=1，则=（
）（成都市2017—2018下期高一数学质检（文））（答案B）
A
16
B
81
C
3
D
27
5、（理）已知等比数列{}为递增数列，且=，2（+）=5，则数列{}的通项公式=（
）（答案A）
A
B
C
D
（文）在正项数列{}中，若=1，且对所有n满足n-（n+1）=0，则=（
）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）（答案D）
A
1013
B
1014
C
2016
D
2017
6、设1------，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是
。（答案q的最小值是）
【典例4】解答下列问题：
1、设为数列｛｝的前n项和，且=4，=，n，则=
（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式的定义与性质；②数列通项公式的定义与性质；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④由数列通项公式求数列某一项的基本方法。
【解答思路】根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而判断数列数列｛｝为等比数列，求出数列｛｝的通项公式就可求出的值。
【详细解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，当n2时，数列｛｝是以4为首项，2为公比的等比数列，
=4=（n2），当n=1时，=24，数列｛｝的通项公式是：当n=1时，=4，当n2时，=，==32。
2、已知数列｛｝的通项公式=，那么是它的（
）
A
第4项
B
第5项
C
第6项
D
第7项
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②根据数列某一项的值确定数列所在项数的基本方法。
【解答思路】根据数列通项公式，结合问题条件得到关于项数n的方程，求解这个方程就可得出选项。
【详细解答】数列｛｝的通项公式==，=，
===，n=4，
A正确，选A。
3、数列｛｝满足=1，=2-1（n∈），则=（
）
A
1
B
1999
C
1000
D
-
1
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②数列通项公式及运用；③运用数列递推公式求数列通项公式的基本求法；④根据数列通项公式求数列某一项的值的基本方法。
【解答思路】根据数列｛｝递推公式的性质，结合问题条件，得到
=2（n∈，且n2），从而求出数列｛-｝的通项公式，利用数列｛-｝的通项公式的性质得到-=0=0，得出==-----==1，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】数列｛｝满足：
=2+1（n∈），=2-1，-=2（-），=2（n∈，且n2），=1，==2-1，-=1-1=0，-=0=0，==-----==1，=1，A正确，选A。
4、数列，-，，-，------的一个通项公式是（
）
A
=
B
=
C
=
D
=
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③由特殊到一般的数学思想及运用。
【解答思路】根据已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法，结合问题条件，求出数列｛｝的通项公式，就可得出选项。
【详细解答】数列的前几项为：，-，，-，----，①从各项的符号来看，奇数项为正，偶数项为负；②注意各项的绝对值，，，，都是分数，分母分别是2=，4=，8=，16=，------分子分别是1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------=，C正确，选C。
5、已知数列｛｝的前n项和为，满足+
=
，且=1，那么等于（
）
A
1
B
9
C
10
D
55
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列前n和公式及运用。
【解题思路】运用数列前n项和公式，结合问题条件求出数列的通项公式，从而求出的值。
【详细解答】当n=m=1时，+
=
，+=，+=+，=，当n=1，m=2时，+
=
，+=，++=++，=，当n=1，m=3时，+
=
，+=，+++=+++，=，------，当n=1，m=9时，+
=
，+
=
，++++------+=+++-------+，=，A正确，选A。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与数列通项公式相关的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式的定义，掌握求数列通项公式的基本方法；
（2）求数列通项公式问题涉及到几种不同的类型，各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在实际解答问题时，应该注意抓住问题的结构特征，采用恰当的方法快捷，准确地解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知递增的等差数列｛｝满足：=1，=-4，则=
；（答案=2n-1）
2、已知数列，，，----，，----下列各数中是此数列中的项的是（
）
A
B
C
D
（答案B）
3、在数列｛｝中，=1，=1+（n2），则等于（
）（答案D）
A
B
C
D
4、数列，-，，-，-----的第10项是（
）（答案C）
A
-
B
-
C
-
D
-
5、已知数列｛｝满足=1，=
2，（n为正奇数），则其前6项之和为（
）
+1，（n为正偶数），（答案C）
A
16
B
20
C
33
D
120
6、若数列｛｝满足=2，=3，=（n≥3且n），则等于（
）
A
3
B
2
C
D
（答案C）
7、数列｛｝满足=
2，0，=，则数列的第2015项为
；
2-1，＜＜1，（答案）
8、数列1，，，，------的一个通项公式是（
）（答案D）
A
=
B
=
C
=
D
=
【典例5】解答下列问题：
1、（理）“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋《大篇扎》中，
8
1
6
“n阶幻方（n3，n∈）”是由前n个正整数组成的一个n阶方
3
5
7
阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，
4
9
2
例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示），则“5阶幻方”的幻和为（
）
A
75
B
65
C
55
D
45
（文）设数列｛｝的前n项和为，则=（
）（2019成都市高三三诊）
A
B
C
D
解析】
【考点】①“n阶幻方”的定义与性质；②幻和的定义与性质；③求幻和的基本方法；④平方差公式及运用；⑤数列前n项和公式及运用；⑥裂项求和的基本方法。
【解题思路】（理）运用“n阶幻方”的定义与性质可知“5阶幻方”是由前25个正整数组成的一个5阶方阵，根据“n阶幻方”排列的规律得到“5阶幻方”，利用求幻和的基本方法求出“5阶幻方”的幻和就可得出选项；（文）
运用平方差公式，结合问题条件得到==（-），利用裂项求和法的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）“5阶幻方”
是由前25个正整数组成的一个5阶方阵，由3阶方阵可知，第二列的中间一个正整数是9个正整数的中位数，且该列数是以3+1=4为公差的等差数列，在这个5阶方阵中，第三列的数依次为1，7，13，19，25，即
“5阶幻方”的幻和为1+7+13
+19+25=65，B正确，选B；（文）
==（-），=（1-+-+-+-------+-+-）=（1-）=，
A正确，选A。
2、记为数列｛｝的前n项和，若=2+1，则=
（2018全国高考新课标I卷（理））
【解析】
【考点】①数列前n项和公式的定义与性质；②数列通项公式的定义与性质；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④前n项和的求法。
【解答思路】根据根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而判断数列｛-1｝为等比数列，求出数列｛-1｝的通项公式就可求出的值。
【详细解答】为数列｛｝的前n项和，且=2+1，=2（-）+1，=2-1，
-1=2（-1），=2，由=2+1，当n=1时，得：
==2+1，=-1，当n2时，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3，
-1=-3-1=-4，当n2时，数列｛-1｝是以-4为首项，2为公比的等比数列，
-1=-4=-，=-+1（n2），当n=1时，=-2+1=-1成立，数列｛｝
的通项公式是=-+1=-+1=-63。
3、已知等差数列｛｝的前n项和为，=5，=15，则数列{}的前100项和为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②等差数列前n项和公式及运用；③等差数列通项公式及运用。
【解题思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，运用等差数列前n项和公式与通项公式，结合问题条件得到关于首项为，公差为d的方程组，求解方程组得出首项为，公差为d的值，根据等差数列通项公式求出，代入进行裂项，运用数列前n项和公式就可得出结果。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，
=+4d=5，=5+10d
=15，+4d=5①，+2d
=3②，联立①②解得=1，d=1，=1+n-1=n，==-，=+++------++=1-+-+-
+-------+-+-=1-=，=，A正确，选A。
4、数列｛｝中，=，若｛｝的前n项和=，则n等于（
）
A
2016
B
2017
C
2018
D
2019
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件求出数列的前n项和公式，根据前n项和的值得到关于n的方程，求解方程就可得出结果。
【详细解答】=，=-，=+++------++=1-+-
+-+-------+-+-=1-==，n=2017，B正确，选B。
5、数列7，77，777，7777，------77----7，----的前n项的和为（
）
A
（-1）B
（-1）C
［（-1）-1］
D
［
（-1）-n］
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的通项公式：=77-----7=7
11-----1=7（1+10++------+）=7=-，将每一项分成两项，可知数列｛｝由两个基本数列组合而成，利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】数列｛｝的通项公式：=77-----7=7
11-----1=7（1+10++------+）=7=-，=（10+++------+）-n=-n=[（-1）-n]，D正确，选D。
6、若数列｛｝的通项公式=（3n-2），则++-------+等于（
）
A
15
B
12
C
-12
D
-15
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝前n项和的表示式，注
意相邻两项的符号，把它们相加，从而得到一个项数是原数列项数一半的新数列，这个新数列是基本数列，利用基本数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（3n-2），=-1+4-7+10+--------
-25+28=(-1+4)+(-7+10)
+(-13
+16)+(-19+22)+(-25+28)=3+3+3+3+3=15,
A正确，选A。
7、若数列｛｝的通项公式=（3n-2）.，则数列｛｝的前n项和=
；
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的前n项和关于n的式子，根据=（3n-2）.的结构特征，把数列前n项和关于n的式子两边同乘以2得到又一个数列前n项和关于n的式子，两个式子相减得出c(c为常数)关于n的式子，这个式子中的一部分是等差数列（或等比数列），利用等差数列（或等比数列）的前n和公式求出这部分的和，从而可以求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（3n-2）.，=+++------++=2+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）①，2=2（+++------++）=+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）②，①-②得：-=2+3+3+3+--------+3-（3n-2）=2+3（+++-------+）-3n-2）=2+3（）-（3n-2）=2+3-4-（3n-2）=-2-（3n-5），=（3n-5）+2。
8、记为数列｛｝的前n项和，若=2+1，则=
；
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】根据数列｛｝的前n项和的性质，结合问题条件得到=2，判定数列｛-1｝是等比数列，求出数列｛-1｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式，就可求出的值。
【详细解答】=2+1，=2（-）+1，=2-1，
-1=2（-1），=2，当n=1时，==2+1，=-1；当n2时，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3，-1=-3-1=-4，当n2时，数列｛-1｝是,以-4为首项，2为公比的等比数列，-1=-4=-，=-+1（n2），当n=1时，=-2+1=-1成立，数列｛｝
的通项公式是=-+1=-+1=-63。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与数列前n项和公式相关的问题，解答这类问题需要理解数列前n项和的定义，掌握求数列前n项和的基本方法；
（2）求数列前n项和问题涉及到几种不同的类型，各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在实际解答问题时，应该注意抓住问题的结构特征，采用恰当的方法快捷，准确地解答问题。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝满足：当n2且n时，有+=3。则数列｛｝的前200项的和为（
）（2018成都市高三二诊文）（答案A）
A
300
B
200
C
100
D
0
2、数列｛｝满足+=（n)，=2，是数列｛｝前n项和，则为（
）
A
5
B
C
D
（答案B）
3、数列｛｝的通项公式为=
，若前n项和为10，则项数为（
）
A
11
B
99
C
120
D
121（答案C）
4、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，则++等于（
）（答案C）
A
-10
B
-2
C
0
D
12