【一轮复习】三角函数问题的类型与解法（5分小题）（含答案）

三角函数5分小题问题的类型与解法
大家知道，三角函数问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考不是一个大题，就是两到三个小题，分值在十分至十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数为中档或低档，这里着重探导三角函数5分小题的问题。纵观近几年的高考试题，归结起来三角函数5分小题问题主要包括：①与任意角三角函数概念相关的问题；②同角三角函数基本关系及运用；③三角函数诱导公式及运用；④三角函数的图像，性质及运用；⑤三角函数和角，差角，二倍角公式及运用；⑥正弦定理，余弦定理及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答三角函数5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设角的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，若角的终边上一点P的坐标为（1，-），则cos的值为
（2017-2018成都市高一上期质量检测）
【解析】
【考点】①任意角三角函数的定义与性质；②已知角终边上一点的坐标，求角余弦值的基本方法。
【解题思路】运用任意角三角函数的性质和已知角终边上一点的坐标，求角余弦值的基本方法，结合问题条件通过计算就可得出结果。
【详细解答】角的终边上一点P的坐标为（1，-），|OP|==2，
cos
=
，
cos的值为。
2、半径为3，圆心角为的扇形的弧长为（
）（2018—2019成都市高一上调研考试）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①扇形弧长的定义与性质；②扇形弧长的计算公式与计算方法。
【解题思路】运用扇形弧长的计算公式与计算方法，结合问题条件通过计算就可得出选项。
【详细解答】半径为3，圆心角为，l=3=，C正确，选C。
3、已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是
（2018成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①扇形弧长的定义与性质；②扇形弧长的计算公式与计算方法。
【解题思路】运用扇形弧长的性质，结合问题条件求出圆的半径，根据扇形弧长的计算公式与计算方法通过计算就可求出这个圆心角所对的弧长。
【详细解答】设圆的半径为R，2弧度的圆心角所对的弦长为1，1=2-2cos2，
R=，弧长l=2R=。
4、角终边与直线y=3x重合，且sin＜0，又P（m，n）是终边上一点，且|OP|=，
则m-n=（
）
A
2
B
-2
C
4
D
-
4
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②任意角的定义与性质；③两点距离的定义与求法；④点在直线上的判断方法；⑤方程组的定义与解法。
【解题思路】运用任意角正弦三角函数的性质和任意角的性质，结合问题条件得到关于m，n的方程组，求解这个方程组得出m，n的值，通过运算就可得出选项。
【详细解答】角终边与直线y=3x重合，且sin＜0，又P（m，n）是终边上一点，且|OP|=，n=3m①，+=10②，m＜0③，联立①②③解得：m=-1，n=-3，即m-n
=-1-（-3）=2，A正确，选A。
5、在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（6，8），将向量绕O点按逆时针方向旋转后所得向量，则点Q的坐标是（
）
A
（-7，-）
B
（-7，）
C
（-4，-2）
D
（-4，2）
【解析】
【考点】①向量坐标的定义与性质；②向量旋转的定义与性质；③任意角三角函数的定义与性质。
【解题思路】运用向量坐标的性质和向量旋转的性质，结合问题条件得到向量在平面直角坐标系中的位置，利用向量坐标确定的基本方法求出向量的坐标就可得出选项。
【详细解答】如图，设向量与X轴正方向的
y
夹角为，向量与X轴正方向的夹角为，
8
P(6，8)
点Q的坐标为(x，y)，点O（0，0），P（6，8），
6
=（6，8），||==10，
4
sin=
=
，cos=
=
，将向量
2
绕O点按逆时针方向旋转后所得向量，
0
2
4
6
x
||=||==10，
sin=
Q(x，y)
，cos=
，=-，sin=sin(-）=sin
.cos-
cos
.sin，
cos=cos(-）=
cos.
cos+
sin.sin
，=.（-）-.=-（x+y），=.（-）+.=-（x-y），x=-7，y=-，点Q的坐标为(-7，-)，A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与任意角三角函数的概念相关的问题，解答这类问题需要理解任意角三角函数的定义，掌握求任意角三角函数值的基本方法；
（2）求任意角三角函数值的前提条件是已知任意角终边上一点的坐标，在实际解答问题时，首先需要根据问题条件确定任意角终边上一点的坐标，然后根据任意角三角函数的定义就可求出相应的三角函数值。
〔练习1〕解答下列问题：
1、若角=2rad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是（
）（2015—2016上期期末成都高一质量监测）（答案D）
A
为第二象限的角
B
=
C
sin＞0
D
sin＜cos
2、点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动到达Q点，则Q点的坐标为（
）
A
（-，）
B
（-，-）
C
（，）
D
（-，）（答案A）
3、已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是
。（答案2）
【典例2】解答下列问题：
1、已知A是锐角，lg（1+cosA）=m，lg=n，则lgsinA=（
）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A
m+
B
m-n
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法；③对数的定义与性质。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系和对数的性质，结合问题条件通过计算就可得出选项。
【详细解答】
lg（1+cosA）=m，lg=n，A是锐角，
lg（1+cosA）-lg=lg（1+cosA）.（1-cosA）=lg（1-cos
A）=lgsin
A=2lgsinA=m-n，
lgsinA=
，C正确，选C。
2、已知tan=3，则的值是（
）（2018—2019成都市高一上调研考试）
A
B
1
C
-1
D
-
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过计算就可得出选项。
【详细解答】
tan=3，===-1，C正确，选C。
3、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（
）
A
-
B
C
-
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过计算就可得出选项。
【详细解答】＜＜，
cos>sin，cos-sin>0，
sin.cos=，cos-sin=|cos-sin|=
===，B正确，选B。
4、已知sin=，则sin-cos的值为（
）
A
-
B
-
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过计算就可得出选项。
【详细解答】
sin=，
sin-cos=（+
）（-）=-=2-1=2-1=-1=-，B正确，选B。
『思考问题,2』
（1）【典例2】是同角三角函数的基本关系及运用问题，解答这类问题需要理解并掌握同角三角函数的基本关系，掌握运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法；
（2）同角三角函数的基本关系主要包括：①平方关系，+
=1；②商除关系，tan=
，运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题时，注意灵活运用这两个基本关系式，既可以从左边用到右边，也可以从右边用到左边。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若sin=，则cos2=（
）（2018全国高考新课标III卷）（答案B）
A
B
C
-
D
-
2、当（，）时，若sin（-）-cos（+）=，则sin-
cos的值为（
）（2018成都市高三三诊）（答案C）
A
B
-
C
D
-
3、已知sin-cos=，则sin2=（
）（答案A）
A
-
B
-
C
D
4、已知为第二象限角，且sin2=-，则cos-sin的值为（
）（答案B）
A
B
-
C
D
-
5、已知为第三象限的角，且tan=，则sin=
；（答案-）
6、已知tan=2，则的值为
。（答案）
【典例3】解答下列问题：
1、tan
=（
）（2019全国高考新课标I（文））
A
-2-
B
-2+
C
2-
D
2+
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③三角函数和角公式及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】
tan
=
tan
（+
）=
tan
=
tan（+
）=
=2+，D正确，选D。
2、与sin相等的是（
）
A
sin
B
-cos
C
cos
D
-sin
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】
sin
=
sin（
-）=-
cos，B正确，选B。
3、已知A=+（kZ），则A的值构成的集合是（
）
A
{1，-1，2，-2}
B
{-1，1}
C
{-2，2}
D
{1，-1，0，2，-2}
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】①当k为偶数时，
A=+=
+
=1+1
=2，
A=2；②当k为奇数时，
A=+=
+
=
-1-1=-2，
A=-2，A={-2，2}，C正确，选C。
4、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同角三角函数的基本关系及运用；④方程组的定义与解法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于tan，sin的方程组，求解方程组得到tan的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，
-2tan+
3sin=-5，tan-6sin=1，
tan=3，
tan=
=3，+
=1，
sin=
，为锐角，
sin=
，C正确，选C。
5、当∈（，）时，若sin（-）-cos（+）=，则sin-cos的值为（
）
A
B
-
C
D
-
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同角三角函数基本关系及运用；④完全平方公式及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得出sin+cos的值，利用同角三角函数的基本关系和完全平方式求出sin-cos的值就可得出选项。
【详细解答】
sin（-）-cos（+）=，
sin+cos=，2
sin.cos=-
，（sin-cos）=（sin+cos）-4
sin.cos=
-2（-
）=
，∈（，），
sin-cos=|
sin-cos|=，C正确，选C。
6、cos的值是
（2018—2019成都市高一上调研考试）
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可求出cos的值。
【详细解答】cos=cos（-）=-cos=-，
cos的值是-。
7、已知tan=2，则的值为
。
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到，利用同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出的值就可得出结果。
【详细解答】
tan=2，===
=。
『思考问题,3』
（1）【典例3】是三角函数的诱导公式及运用问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数的诱导公式，掌握运用三角函数诱导公式解答相应数学问题的基本方法；
（2）理解和掌握三角函数的诱导公式，关键是吃透“奇变偶不变，符号看象限”这句话的真正含义；
（3）运用诱导公式把任意角的三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题的奇变方法是：①确定诱导后三角函数的名称是否改变，基本法则是“奇变偶不变”
②确定诱导后三角函数的符号，基本法则是“符号看象限”。
〔练习3〕解答下列问题：
1、tan
=（
）（答案D）
A
-2-
B
-2+
C
2-
D
2+
2、已知为锐角，且sin=，则cos（+）=（
）（答案A）
A
-
B
C
-
D
3、已知
sin-cos=
，∈（0，），则sin2=(
)
（答案A）
A
-
1
B
-
C
D
1
4、已知sin-cos=，则sin2=（
）（答案A）
A
-
B
-
C
D
5、已知为第三象限的角，且tan=，则sin=
。（答案-）
【典例4】解答下列问题：
1、已知锐角满足sin-cos=1，若要得到函数f(x)=
-sin（x+）的图像，则可以将函数y=sin2x的图像（
）（2021成都市高三一诊）
A
向左平移个单位长度
B
向左平移个单位长度
C
向右平移个单位长度
D
向右平移个单位长度
【解析】
【考点】①三角函数辅助角公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用；
③三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】根据三角函数辅助角公式，得到2sin(
-)=1,从而求出
=，运用三角函数二倍角
公式得到-sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，由y=sin2x=cos(2x-)，利用三角函数图像平移变换的性质确定出由y=cos(2x-)得到函数f(x)=
-sin（x+）=cos(2x+)的图像需要平移变换的长度单位与方向就可得出选项。
【详细解答】锐角满足sin
-cos
=2sin(
-)=1，
sin(
-)=，
=，函数f(x)=
-sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，y=sin2x=cos(2x-)，
=cos［2（x+）
-］=cos（2x+2
-）=cos(2x+)，2
-=2k+，
=
k+（kZ），当k=0时，
=
，A正确，选A。
2、已知P是曲线y=sinx+cosx(x[0，])上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（
）（2021成都市高三二诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤函数求导公式，法则和基本方法；⑥
运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据y=sinx+cosx=sin(x+)，正弦函数的图像和处理正弦型函数的基本方法，结合问题条件，运用点到直线的公式得到|PQ|关于x的函数解析式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出|PQ|取最小值时x的取值就可得出选项。
【详细解答】
y=sinx+cosx=sin(x+)，设P（x，sin(x+)）是曲线y=sinx+cosx，
直线PQ垂直直线x+y-6=0时，
|PQ|=，设f(x)=x+sin(x+)，显然当仅当函数f(x)取得最大值时，|PQ|的值最小，（x）=1+cos(x+)，令（x）=0，解得：x+=，即x=，当x[0，)时，（x）>0，x[，]时，（x）<0，函数f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，当x=时，函数f(x)取得最大值，当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为，C正确，选C。
3、（理）已知函数f(x)=sin(x+
)(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=-
f()，有下列结论：①f()=0；②若f(-x)=
f(x)，则函数f(x)的最小正周期为；③关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有4个不相等的实数解；④若函数f(x)在区间[，]上恰有5个零点，则的取值范围为（，3]，其中所有正确结论的编号为
。
（文）已知函数f(x)=sin(x+
)(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=-
f()，有下列结论：①f()=0；②若f()=1，则函数f(x)的最小正周期为；③的取值范围为（0，4]；④函数f(x)在区间[0，2）上最多有6个零点，其中所有正确结论的序号为
（2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②正弦型三角函数的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件得到关于，的不等式组，求解不等式组求出，的取值范围；从而对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】（理）函数f(x)=sin(x+
)(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=-
f()，2k-+，+2k+或2k++，+2k+①，+=--②，联立①②解得：=-，12k+3(k0)或-24k
+6(k>0)或12k+3(k1)或12k+9(k0)，
f(x)=sin(x-
)，
f()=sin(-
)
=sin0=0，①正确；当=2时，
f(-x)=
sin(-2x
-
)=
sin(-2x
)，
f(x)=sin(2x-
)=
sin[-（-2x)]=
sin(-2x
)，f(-x)=
f(x)
，此时函数f(x)的最小正周期为，②正确；>0，的最小值为9，函数f(x)
=sin(x+
)=
sin(9x-6
)=-
sin9x，函数f(x)的最小正周期的最大值为，此时关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有9个不相等的实数解，③错误；函数f(x)
=sin(x-
)在[，]上恰有5个零点，4<-=<5<<，即<3，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。（文）函数f(x)=sin(x+
)(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=-
f()，2k-+，+2k+或2k++，+2k+①，+=--②，联立①②解得：=-，-24k-6(k0)或-24k
+6(k<0)或12k+3(k1)或12k+9(k0)，
f(x)=sin(x-
)，
f()=sin(-
)
=sin0=0，①正确；
f()==sin(-
)=1，-=-=2k+，=-8k
+2，>0，=2，函数f(x)的最小正周期为=，②正确；函数f(x)
=sin(x-
)
在区间（，）上单调，2k--，且2k+，
或2k+-，且2k+，12k
+3
(k0)或-24k+6
(k>0)
或-24k-6(k>0)或12k+9(k0)，>0，0<3，
③错误；x[0，2），x-[-，），当=3时，[-，），[-2，4），此时函数f(x)
=sin(x-
)在[0，2）上有6个零点，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。
4、（理）已知函数f(x)=2cos(x+
)的部分图像如图所示，则满足条件[f(x)-
f(-)][f(x)-
f()]>0的最小正整数x为
。
（文）已知函数f(x)=2cos(x+
)的部分图像如图所示，则f()=
（2021全国高考甲卷）。
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②余弦型三角函数的定义与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】（理）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可求出最小正整数x的值。（文）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法就可求出f()的值。
【详细解答】由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+
)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+
)=2cos(+
)，+
=k+，=k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)，
f(-)
=2cos(-2-)=2cos(--)=2cos=1，f()=2cos(2-)=2cos(-)
=2cos=0，[f(x)-
f(-)][f(x)-
f()]>0
[f(x)-
1)]f(x)>0
f(x)-
1>0且f(x)>0或
f(x)-
1<0且f(x)<0，
cos(2x-)>且cos(2x-)>0或cos(2x-)<且cos(2x-)<0，
cos(2x-)>或cos(2x-)<0，
2k-<2x-
<2k+或2k+<2x-<2k
+，k-f(-)][f(x)-
f()]>0的最小正整数x为2。（文）
由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+
)=2cos(+
)，+=k+，
=k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)，
f()=2cos(2
-)=2cos(-)=-2cos=-2=-。
5、（理）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（
）
A
sin(-)
B
sin
(+)
C
sin(2x-)
D
sin(2x+)
（文）函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是（
）（2021全国高考乙卷）
A
3和
B
3和2
C
6和
D
6和2
【解析】
【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质；③三角函数辅助角公式及运用；④处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】（理）运用三角函数图像伸缩变换和平移变换的性质，确定函数f(x)的解析式就可得出选项。（文）根据三角函数辅助角公式，把函数f(x)化为正弦型三角函数，运用处理正弦型三角函数的基本方法求出函数f(x)的最小正周期和最大值就可得出选项。
【详细解答】（理）设f(x)=sin
(x+
)，
f(2x)=sin
(2x+
)，f(2（x-)）=sin
[2（x-)+
)=
sin
(2x-+
)=
sin(x-)，2=1①，-+
=-②，联立①②解得：=，=，
f(x)=
sin
(+)，B正确，选B。（文）
f(x)=sin
+cos=sin（+），函数f(x)的最小正周期T==
6，=1=，
C正确，选C。
6、下列区间中，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是（
）（2021全国高考新高考I）
A
(0，)
B
(，)
C
(，)
D
(，2)
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的定义与性质；②处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦型三角函数性质和处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数f(x)
=7sin（x-）单调递增的区间就可得出选项。
【详细解答】由2k-x-2k+解得，2k-x2k+（kZ），当k=0时，
-x，(0，)[-，]，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是
(0，)，A正确，选A。
7、将函数y=sin(4x-)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图像，则函数f(x)的解析式为（
）（2020成都市高三一诊）
A
f(x)=sin(2x+)
B
f(x)=sin(2x-)
C
f(x)=sin(8x+)
D
f(x)=sin(8x-)
【解析】
【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】运用三角函数图像伸缩变换和平移变换的性质，确定函数f(x)的解析式就可得出选项。
【详细解答】
=sin[(4x)-
]=sin(2x-)，f(x)=
sin[2
(x+)-
]=sin(2x+)，A正确，选A。
8、已知函数f(x)=sin(
x+)(0<
<)，f()=0，则函数f(x)的对称轴方程为（
）（2020成都市高三二诊）
A
x=k-，kZ
B
x=k+，kZ
C
x=k，kZ
D
x=k+，kZ
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据f()=0，结合问题条件求出的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出函数f(x)图像对称轴的方程就可得出选项。
【详细解答】
f()=sin(
+)=0，
+=k，
=4k-2(kZ)，0<
<，
=2，即函数f(x)=sin(2x+)，由2x+=
k+得：x=k(kZ
)，函数f(x)的对称轴方程为x=k(kZ
)，C正确，选C。
9、（理）已知函数f(x)=Asin(
x+)-1(A>0，0<
<1)，f()=
f()，且f(x)在区间（0，）上的最大值为，若对任意的，[0，t]，都有2
f()f()成立，则实数t的最大值是（
）
A
B
C
D
（文）已知函数f(x)=Asin(
x+)-1(A>0，0<
<1)的图像经过点（0，），且将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，若对任意的，[0，t]，都有2
f()f()
成立，则实数t的最大值是（
）（2020成都市高三三诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④三角函数图像平移的定义与性质；⑤求三角函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】(理)根据f()=
f()，结合问题条件求出,A的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出参数t的最大值就可得出选项；（文）根据函数f(x)=Asin(
x+)(A>0，0<
<1)的图像经过点（0，），且将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，求出,A的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出参数t的最大值就可得出选项。
【详细解答】（理）
f()=Asin(
+)
-1=f()=Asin(
+)-1，0<
<1，
+=-
-，
=，
f(x)=Asin(x+)-1，
f(x)在区间（0，）上的最大值为，=A-1=,A=1+，函数f(x)=（1+）sin(x+)-1，x[0，t]，x+[，t+]，=1+-1=，对任意的，[0，t]，都有2
f()f()成立，2
f()，
f()，t+，即t，t的最大值为，A正确，选A;（文）函数f(x)=Asin(
x+)-1(A>0，0<
<1)的图像经过点（0，），
f(0)=Asin-1=A-1=，A=1+，将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，
f(x+3)=Asin[（x+3）+]-1=
Asin(
x+3
+)-1=
Asin(
x+)-1，
x+3
+=
2k+
x+，
=k(kZ)，0<
<1，
=，即函数f(x)=（1+）sin(x+)-1，x[0，t]，x+[，t+]，=1+-1=，对任意的，[0，t]，都有2
f()f()成立，2
f()，
f()，t+，即t，t的最大值为，A正确，选A。
10、设函数f(x)=cos（
x+）在[-，]上的图像大致如图所示，则f(x)的最小正周期为（
）（2020全国高考新课标I）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①余弦三角函数的图像与性质；②余弦型三角函数的图像与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法；④三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】根据图像得到f(-)=
0，从而求出的值，得到函数f(x)的解析式，运用三角函数最小正周期的基本求法求出函数f(x)的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】
f(-)=cos（-
+）=0，-
+=
k+，
=-k-,1<
<2，
=,即函数f(x)=cos（x+），T==，C正确，选C。
11、（理）关于函数f(x)=sinx+
有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
；
（文）已知函数f(x)=sinx+
，则（
）（2020全国高考新课标III）
A
f(x)的最小值为2.
B
f(x)的图像关于y轴对称
C
f(x)的图像关于直线x=对称
D
f(x)的图像关于直线x=对称
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】(理)根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到①错误，②正确，③正确；设t=
sinx，t［-1，1］，由f(t)
=t+知函数f(t)无最值，从而得到④错误就可得出结果；(文)根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到B，D错误；设t=
sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+
知函数f(t)无最值，从而得到A错误，C正确。
【详细解答】(理)
函数f(x)=sinx+
的定义域为{x|x
k,
kZ},
f(-x)=sin(-x)+
=
-sinx-=-
f(x),
函数f(x)是奇函数，①错误，②正确，③正确；设t=
sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+
知函数f(t)无最值，④错误,即：其中所有真命题的序号是②③；(文)
函数f(x)=sinx+
的定义域为{x|x
k,
kZ},
f(-x)=sin(-x)+
=
-sinx-=-
f(x),
函数f(x)是奇函数，B，C错误，设t=
sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+
知函数f(t)无最值，A错误,
C正确，选C。
12、如图，是函数y=sin(x+)的部分图像，则sin(x+)=（
）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A
sin(x+)
B
sin(-2x)
C
cos(2x+)
D
cos(-2x)
（6题图）
（12题图）
（14题图）
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②处理正弦型三角函数的基本方法；③正弦型三角函数最小正周期的定义与基本求法；④已知正弦型三角函数的部分图像，求正弦型三角函数解析式的基本方法；⑤三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用正弦型三角函数最小正周期的基本求法，结合图像求出函数y的最小正周
期，从而求出的值，根据点（，0）在函数y的图像上，得到关于的等式，求出的值，得出函数y的解析式就可得出选项。
【详细解答】由图像可知，=-=，T=，||==2，=2，①当=2时，点（，0）在函数y的图像上，
sin(2
+)=sin(+)=0，+=
k,
=
k-
(kZ)，即函数
y=sin(2x+)=
sin［
-（-2x)］=sin（-2x)；②当=-2时，点（，0）在函数y的图像上，
sin(-2
+)=sin(-+)=0，-+=
k,
=
k+
(kZ)，即函数
y=sin(-2x+)=
sin［
-（+2x)］=cos（2x+),B，C正确，选B，C。
13、函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为（
）（2019成都市高三三诊（文））
A
B
C
2
D
4
【解析】
【考点】①辅助角公式及运用；②正弦型三角函数的图像与性质；③最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用辅助角公式，结合问题条件把函数f(x)=sinx+cosx化为正弦型三角函数，根据公式T=求出函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=sinx+cosx=sin（x+
），
T==2，C正确，选C。
14、（理）设函数f(x)=sin(x+
)(
＞0)，已知f(x)在［0,2］有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在［0,2］有且仅有3个极大值点；②f(x)在［0,2］有且仅有2个极小值点；③f(x)在（0,
）单调递增；④的取值范围是［,］。其中所有正确结论的编号是（
）
A
①④
B
②③
C
①②③
D
①③④
（文）函数f(x)=2sinx-sin2x在［0,2］的零点个数为（
）（2019全国高考新课标III）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②函数零点的定义与性质；③求函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）运用正弦型三角函数和函数零点的性质，结合问题条件对给定的四个结论的正确（或错误）进行判断就可得出选项；（文）运用求函数零点的基本方法求出函数f(x)=2sinx-sin2x在［0,2］的零点个数就可得出选项。
【详细解答】（理）根据题意作出函数
y
f(x)=sin(x+
)的大致图像如图所
示，函数
f(x)在［0,2］有且仅有
0
2
5个零点，2所对应的位置应该在X轴上第5与第6个零点之间，
函数
f(x)在［0,2］有且仅有3个极大值点，有2个（或3个）极小值点，①正确，②
错误；T=
，由三角函数零点坐标公式求得第5个，第6个零点的横坐标分别为，，
2＜，
＜，④正确；函数
f(x)的第一个极值点的横坐标为x=
,
＜，
＜
，即③正确，D正确，选D;(文)
函数f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（1-cosx）=0,
sinx=0或1-cosx=0，
sinx=0或cosx=1，x［0,2］，x=0或x=或x=2，即函数f(x)=2sinx-sin2x在［0,2］的零点个数为3，B正确，选B.。
15、（理）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间（，）单调递增；③f(x)在［-，］有四个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（
）
A
①②④
B
②④
C
①④
D
①③
（文）函数f(x)=sin（2x+）-3cosx的最小值为
（2019全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②偶函数的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本求法；⑥求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）运用正弦三角函数和函数零点的性质，判断函数单调性和奇偶性的基本方法，求三角函数零点和最值的基本方法，结合问题条件对给定的四个结论的正确（或错误）进行判断就可得出选项；（文）运用求三角函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=
sin（2x+）-3cosx的最小值。
【详细解答】（理）
f(-x)
=sin|-x|+|sin（-x）|=
sin|x|+|sinx|=
f(x)，函数f(x)是偶函数，①正确；当＜x＜时，f(x)=2sinx在（，）单调递减，②错误；当0
x
时，函数f(x)=2sinx有两个零点，x=0或x=，当-
x＜0时，f(x)=-2sinx有一个零点x=-，函数f(x)在［-，］上有三个零点；x=0或x=或x=-，③错误；当x［2k,2k+］（k）时，函数f(x)=2sinx，当［2k+,2k+2］（k）时，函数f(x)=sinx-
sinx-0，函数f(x)为偶函数，函数f(x)的最大值为2，④正确，综上所述，①④正确，C正确，选C。（文）函数f(x)=sin（2x+）-3cosx=-cos2x-3cosx=--2cosx-3cosx+1,
cosx［-1,1］,
当且仅当cosx=1时，函数f(x)
=--2cosx-3cosx+1=-21-31+1=-4为最小值，即函数f(x)=sin（2x+）-3cosx的最小值为-4。
16、（理）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（
）
A
f(x)=|cos2x|
B
f(x)=|sin2x|
C
f(x)=cos|x|
D
f(x)=sin|x|
（文）若=
，=
是函数f(x)=sinx（>0）两个相邻的极值点，则=（
）（2019全国高考新课标II）
A
2
B
C
1
D
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②余弦型三角函数的图像与性质；③正弦函数的图像与性质；④余弦函数的图像与性质；⑤三角函数最小正周期的定义与基本求法；⑥判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（理）运用正弦型（或余弦型）三角函数和正弦（或余弦）函数的性质，判断函数单调性和求三角函数最小正周期的基本方法，求出各选项三角函数的最小正周期并判断函数的单调性就可得出选项；（文）运用正弦型三角函数的图像与性质得到函数f(x)的最小正周期，根据三角函数最小正周期的计算公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）函数以为周期，函数f(x)=cos|x|和f(x)=sin|x|的周期为2，排除C，D；由0＜2x＜解得0＜x＜，函数f(x)=|sin2x|
在区间（0，）上单调递增，即排除B，A正确，选A。(文)
=
，=
是函数f(x)=sinx（>0）两个相邻的极值点，=-=，T=,==2，A正确，选A。
17、函数f(x)=sin2x的最小正周期是
（2019全国高考北京（理））
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②余弦型三角函数的图像与性质；③三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用三角函数二倍角公式得到余弦型三角函数，根据余弦型三角函数的性质和求三角函数最小正周期的基本方法就可求出函数f(x)的最小正周期。
【详细解答】函数f(x)=sin2x==-+，T==，即函数f(x)
=sin2x的最小正周期是。
18、函数f(x)=2sin(x+)(＞0,-
＜＜）的部分图像如图所示，则、的
值分别是（
）
A
2，-
B
2，
-
C
4
，
-
D
4，
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③运用三角函数的图像确定三角函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，结合问题条件得到A，T的值，根据公式T=求出的值，把A，的值代入函数f(x)的解析式，由点（，2）在函数f(x)的图像上，得到含的等式，利用正弦三角函数的图像和性质求出的值，就可得出选项。
【详细解答】如图，A=2，=-=，T=，==2，
f(x)=2sin(2x+)，点（，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin(2+)，
sin(+)=1，+=2k+，=2k-（kZ），-
＜＜，=-，A正确，选A。
19、将函数y=sin(2x+)的图像经过怎样的平移后所得图像关于点（-，0）中心对称（
）
A
向右平移个长度单位
B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位
D向左平移个长度单位
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】运用三角函数的图像平移变换的性质，结合问题条件得到含的等式，利用正弦三角函数的图像和性质求出的值，就可得出选项。
【详细解答】函数=
sin[2（x+）+]=
sin（2x+2+）的图像关于点（-，0）中心对称，2（-）+2+=
k，=-（kZ），A正确，选A。
20、将函数f(x)的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若函数g（x）=A
sin(x+)(A＞0，＞0,-
＜＜）的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为（
）
A
f(x)=sin(x+)
B
f（x）=-cos(2x+)
C
f(x)=cos（2x
+）
D
f(x)=sin(2x+)
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③运用三角函数的图像确定三角函数解析式的基本方法；④三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，结合问题条件得到A，T的值，根据公式T=求出的值，把A，的值代入函数g(x)的解析式，由点（，0）在函数g(x)的图像上，得到含的等式，根据正弦三角函数的图像和性质求出的值，从而求出函数g(x)的解析式，利用三角函数图像平移变换的性质求出函数f(x)的解析式就可得出选项。
【详细解答】如图，A=1，=-（-）=，T=，==2，g(x)=sin(2x+)，点（，0）在函数g(x)的图像上，0=sin(2+)，sin(+)=0，+=k，=k-（kZ），-
＜＜，=，g(x)=sin(2x+)，
f(x)=
sin[2（x+）+]=
sin(2x++)=
cos（2x
+），C正确，选C。
21、在区间（0，）上，下列函数是增函数的是（
）
A
y=
B
y=-
C
y=-sinx
D
y=-cosx
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②余弦三角函数的图像与性质；③函数单调性的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正弦三角函数的图像与性质，余弦三角函数的图像与性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=sinx在区间（0，）上是增函数，函数y=在区间（0，）上是减函数，A错误；对B，函数y=cosx在区间（0，）上是减函数，函数y=-在区间（0，）上是减函数，B错误；对C，函数y=sinx在区间（0，）上是增函数，函数y=-sinx在区间（0，）上是减函数，C错误；对D，函数y=cosx在区间（0，）上是减函数，函数y=-cosx在区间（0，）上是增函数，D正确，
选D。
22、已知＞0，||＜，在函数f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x+)的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当x（-，）时，函数f(x)的图像恒在X轴的上方，则的取值范围是（
）
A
（，）
B
［，］
C
（，）
D
［，］
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②余弦型三角函数的图像与性质；③正弦函数的图像与性质；④余弦函数的图像与性质。
【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，余弦型三角函数的图像与性质，结合问题条件得到=，从而求出的值，把的值代入函数f(x)的解析式，利用x（-，）时，函数f(x)的图像恒在X轴的上方的条件，得到关于的不等式，求解不等式就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x+)的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，=，
T=，==2，
f(x)=sin(2x+)，当x（-，），即(2x+)（-+，+）时，函数f(x)的图像恒在X轴的上方，
sin（-+）0，且sin（+）0，2
k
-+
2
k+，且2
k
+
2
k+，2
k+
2
k+，且2
k-
2
k（kZ），||＜，
，D正确，选D。
『思考问题,4』
（1）【典例4】是与三角函数图像和性质相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数的图像与性质，尤其需要掌握正弦三角函数的图像与性质；
（2）已知正弦型三角函数y=Asin(x+)+B(A＞0,
＞0)的部分图像，求正弦型三角函数y=Asin
(x+)(A＞0,
＞0)解析式的基本方法是：①
确定A的值，设函数y的最大值为M，最小值为m，则A=M或A=|m|；②求的值，由图像确定三角函数的周期T，运用公式||=求出的值；③求的值，方法1根据求出的A、，在图像上找一特殊点代入解析式再运用相应三角函数的性质确定；方法2运用“五点法”一般是确定“五点法”中的第一个零点（，0）为突破口；
（3）求三角函数的最值或单调区间时，如果问题涉及到正弦型函数或余弦型函数，则只需把x+看作整体未知数x转化为正弦函数或余弦函数来处理即可。
〔练习4〕解答下列问题：
1、函数f(x)=Asin(x+
)，（A，，是常数，A>0，>0）的部分图像如图所示，则f(0)=
（2019全国高考江苏）（答案）
（1题图）
（8题图）
（10题图）
2、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是
（2018全国高考新课标I卷(理)）（答案）
3、已知函数f(x)=2x-x+2，则（
）（2018全国高考新课标I卷（文））（答案B）
A
f(x)的最小正周期为，最大值为3
B
f(x)的最小正周期为，最大值为4
C
f(x)的最小正周期为2，最大值为3
D
f(x)的最小正周期为2，最大值4
4、若f(x)=cosx-sinx在［-a，a］上是减函数，则a的最大值是（
）（2018全国高考新课标II卷）（答案A）
A
B
C
D
5、（理）函数f(x)=cos(3x+)在［0，］的零点个数为
。（答案3）
（文）函数f(x)=
的最小正周期为（
）（2018全国高考新课标III卷）（答案C）
A
B
C
D
2
6、设函数f(x)=cos(x-)（＞0），若f(x)
f()对任意的实数x都成立，则的最小值为
（2018全国高考北京卷）（答案）
7、已知函数y=sin(2x+)(-＜＜）的图像关于直线x=对称，则的值是
（2018全国高考江苏卷）（答案-）
8、已知函数f(x)=
Asin（x+）（x
R，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如图所示，若方程f(x)=m在区间［0，］上有两个不等的实数解，，则+的值为（）
A
B
C
D
或（答案D）
9、为了得到函数y=sin(2x-)的图像，可将函数y=cos2x的图像（
）（答案B）
A
向右平移个长度单位
B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位
D向左平移个长度单位
10、已知函数f(x)=Asin(x+）（A＞0，＞0,||＜）的部分图像如图所示，现将函数f(x)图像上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的解析式为（
）（答案D）
A
g(x)=2sin(2x+)
B
g（x）=2sin(2x+)
C
g(x)=2cos2x
D
g(x)=2sin(2x-)
11、函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为（
）（答案C）
A
B
C
2
D
4
12、函数f(x)=
tan(x+)的单调递增区间为（
）（2017—2018成都市高一上期质量检测）（答案A）
A
（2k-，2k+），kZ
B
（2k-，2k+），kZ
C
（4k-，4k+），kZ
D
（4k-，4k+），kZ
【典例5】解答下列问题：
1、已知sin（+）=，sin（-）=，则的值为（
）（2021成都市高三二诊）
A
-
B
C
-3
D
3
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】根据三角函数和角，差角公式，结合问题条件求出sincos，cossin
的值，运用同角三角函数的基本关系求出的值就可得出选项。
【详细解答】
sin（+）=
sincos+cossin=，sin（-）=
sincos
-cossin=，
sincos=①，cossin=②，联立①②得：
==3，D正确，选D。
2、若（0，），tan2=，则tan=（
）（2021全国高考甲卷）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系和二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的方程，求解方程求出sin，cos的值，运用同角三角函数基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】
tan2=
==，（2-）
=，sin=，（0，），
cos=
=
，tan=
=
=，A正确，选A。
3、cos-cos=（
）（2021全国高考乙卷）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和二倍角公式，结合问题条件求出cos-cos的值就可得出选项。
【详细解答】
cos=
cos（-）=sin，
cos-cos=
cos-sin
=cos2=cos=，D正确，选D。
4、若tan=-2，则=（
）（2021全国高考新高考I）
A
-
B
-
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系和三角函数二倍角公式，结合问题条件求出的值就可得出选项。
【详细解答】
tan=-2，
sin=4
cos，
cos=
，
===-2cos(-2cos+cos)=2cos=2=，
C正确，选C。
5、若sin=cos，则tan2=（
）（2020成都市高三一诊）
A
-
B
C
-
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，结合问题条件求出tan的值，利用三角函数二倍角公式求出tan2的值就可得出选项。
【详细解答】
sin=cos，
tan=
=，即tan2=
=
=-
，C正确，选C。
6、已知锐角满足2sin2=1-cos2，则tan=（
）（2020成都市高三二诊）
A
B
1
C
2
D
4
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，利用同角三角函数的基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】锐角满足2sin2=1-cos2，4
sincos=2sin，2
sin（2cos-
sin）=0，是锐角，
sin＞0，2cos-
sin=0，
tan=
=2，C正确，选C。
7、已知∈（0，），且3cos2-8cos=5，则sin=（
）（2020全国高考新课标I）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于cos的方程，求解方程求出cos的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】3cos2-8cos=5，3cos-4cos-4=0，
cos=-，∈（0，），
sin=
=，A正确，选A。
8、若sinx=-，则cos2x=
（2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件就可求出cos2x的值。
【详细解答】
sinx=-，cos2x=1-2
sinx=1-2（-）=。
9、（理）已知2tan-tan（+）=7，则tan=（
）
A
-
2
B
-
1
C
1
D
2
（文）已知sin+sin（+）=1，则sin（+）=（
）（2020全国高考新课标III）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数和角公式及运用；③三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】（理）运用和角公式，结合问题条件得到关于tan的方程，求解方程求出tan的值就可得出选项；（文）运用和角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，利用三角函数辅助角公式求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】（理）2tan-tan（+）=7，2tan-=7，tan-4tan+4=0，
tan=2，D正确，选D；（文）
sin+sin（+）=1，
sin+sin+
cos=1，
sin（+）=1，
sin（+）=，B正确，选B。
10、（理）若，都是锐角，且sin=，sin（-）=，则sin=(
)
A
B
C
D
（文）若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=(
)
(2019成都市高三二诊)
A
B
-
C
D
-
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角函数和角公式及运用。
【解题思路】（理）运用三角函数基本关系，结合问题条件求出cos，cos（-）的值，根据=-（-），利用三角函数差角公式求出sin的值就可得出选项；（文）运用三角函数基本关系，结合问题条件求出cos，cos的值，利用三角函数和角公式求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】（理）是锐角，sin=，
cos=
=
，，都是锐角，sin（-）=，cos（-）==，=-（-），
sin=
sin［-（-）］=
sin
cos（-）-
cos
sin（-）=
-
=-=，B正确，选B；（文），∈（，），且sin=，sin=，
cos=-
=-
，cos=-=-，即sin（+）=
sin
cos+
cos
sin=
（-）-
=-，B正确，选B。
11、（理）已知sin(+)=，则sin的值等于（
）
A
-
B
-
C
D
（文）若cos(+)=，则cos2的值等于
(2019成都市高三三诊)
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】（理）运用三角函数二倍角公式结合问题条件求出cos(+)的值，根据诱导公式求出sin的值就可得出选项；（文）运用三角函数诱导公式，结合问题条件求出sin的值，根据三角函数二倍角公式就可求出cos2的值。
【详细解答】（理）
sin(+)=，
cos(+)=1-2
sin
(+)=1-2=，即sin=-
cos(+)=-，A正确，选A；（文）
cos(+)=-sin=，
sin=-，即cos2=1-2
sin
=1-2=。
12、（理）已知
（0，），2sin2=cos2+`1，则sin=（
）
A
B
C
D
（文）已知sin2=
，则cos(+)=(
)（2019全国高考新课标II）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②正弦三角函数的图像与性质；③余弦三角函数的图像与性质；④同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】(理)运用三角函数二倍角公式得到关于sin，cos的方程，根据正弦三角函数和余弦三角函数的性质，同角三角函数基本关系，结合问题条件求出sin的值就可得出选项；（文）运用三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos(+)的值就可得出选项。
【详细解答】(理)2sin2=cos2+`1，
2cos（2sin-cos）=0，
（0，），
cos＞0，
2sin-cos=0，即cos=
2sin，
sin+
cos=5
sin=1,
sin=，B正确，选B；（文）
sin2=
，
cos(+)=
=
=
=，A正确，选A。
13、已知tan(x+)=2，则的值为
（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式的及运用；②三角函数和角公式及运用。
【解题思路】运用三角函数和角角公式，结合问题条件求出tanx的值，根据三角函数二倍角公式求出tan2x的值，从而就可求出的值。
【详细解答】
tan(x+)=
=2，tanx=，tan2x===-，=-=-。
14、已知sin2=，则cos（+）=（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式的及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用三角函数二倍角公式和诱导公式，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】
sin2=，
cos（+）=
=
=
=，A正确，选A。
15、（理）若，都是锐角，且sin=，sin（-）=，则sin=(
)
A
B
C
D
（文）若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=(
)
A
B
-
C
D
-
【解析】
【考点】①三角函数差角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用；③变角的数学思想与基本方法。
【解题思路】（1）运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件分别求出cos，cos（-）的值，利用变角的基本方法和三角函数的差角公式通过运算求出sin的值就可得出选项；（2）运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件分别求出cos，cos的值，利用三角函数的和角公式通过运算求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】（1）是锐角，，且sin=，
cos=
=
；，都是锐角，且sin（-）=，
cos（-）=
=，=-
（-），
sin=
sin[-（-）]=
sin
cos（-）-
cos
sin（-）=
-=-=，B正确，选B；（2）是锐角，，且sin=，
cos=
=
；是锐角，，且sin=，
cos=
=
；
sin（+）=
sin
cos+
cos
sin=+
=+=，A正确，选A。
16、（理）已知sin(+)=，则sin的值等于（
）
A
-
B
-
C
D
（文）若cos(+)=，则cos2的值等于
；
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用；③三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】（1）运用三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos(+)的值，利用三角函数诱导公式求出sin的值就可得出选项；（2）运用三角函诱导公式，结合问题条件求出sin的值，利用三角函数二倍角公式通过运算求出cos2的值就可得出结果。
【详细解答】（1）
sin(+)=，
cos(+)=1-2
sin
(+)=1-2=，
cos(+)=-
sin=，
sin=-，A正确，选A；（2）
cos(+)=，
cos(+)=-
sin=，
sin=-，
cos2=1-2
sin
==1-2=。
17、已知
（0，），2sin2=cos2+`1，则sin=（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】运用三角函数二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，从而得出2sin=
cos，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】2sin2=cos2+`1，4
sincos=2
cos，
2
cos（2
sin-cos）=0，
（0，），2
sin-cos=0，
2sin=
cos，
sin+
cos=
5
sin=1，
sin=，B正确，选B。
18、已知tan(x+)=2，则的值为
。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式的及运用；②三角函数和角公式及运用；③一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】运用三角函数和角公式，结合问题条件得到关于tanx的一元一次方程，求解方程得出tanx的值，利用三角函数二倍角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】
tan(x+)=
=2，tanx+1=2-2tanx，
tanx=，=
===。
『思考问题,5』
（1）【典例5】是与三角函数和角，差角和二倍角公式相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数和角，差角和二倍角公式；
（2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式的问题主要包括：①角的变换，②三角函数式的变形两种类型；
（3）角的变换主要是“给值求值”的题型，解答的基本思路是变换角，使所求角与已知角联系起来，尤其是给定的值中含有和角或差角时，不能运用公式展开，应想办法运用已知角通过变换成为所求的角；
（4）三角函数式的变形主要包括：①“给角求值”，
②“给值求值”两种题型；解答的基本思路是对给出的三角函数式进行变形化简，再运用三角函数求值的基本方法求值。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知=，则tan的值为（
）（答案A）
A
-
4
B
-
C
D
4
2、当（0，）时，若cos(-)=-，则tan（+）的值为（
）（答案B）
A
B
C
-
D
-
3、已知角的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2=，则|a-b|=（
）（答案B）
A
B
C
D
1
4、（理）已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin（+）=
；
（文）已知tan(-)=，则tan=
。（答案理-，文）
5、若sin=，则cos2=（
）（答案B）
A
B
C
-
D
-
6、cos-sin=（
）（答案B）
A
1
B
C
D
【典例6】解答下列问题：
1、设ABC的内角A，B，C所得的边分别为a，b，c，若a=3b，sinA=，则sinB的值为（
）（2021成都市高三三诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①三角形边角关系定理及运用；②正弦定理及运用。
【解题思路】根据三角形边角关系定理和正弦定理，结合问题条件求出sinB的值就可得出选项。
【详细解答】
a=3b，sinA=，=
，sinB===，A正确，选A。
2、（理）2020年12月8日，中国和尼帕尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现在以A，B，C在同一水平面上的投影，，满足=，=，由点C测得B点的仰角为，若B与C的差为100；由点B测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差A-C约为（
）（1.732）
A
346
B
373
C
446
D
473
（文）在ABC中，已知B=，AC=，AB=2，则BC=（
）
A
1
B
C
D
3
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直角三角形的定义与性质；②求解直角三角形的基本方法；③正弦定理及运用；④三角形内角和定理及运用；⑤直角三角形的定义与性质；⑥求解直角三角形的基本方法。
【解题思路】（理）如图，过点C作CD
B于点D，过B作BE
A于点E，根据直角三角形的性质，结合问题条件求出CD，BE的值，从而得到AE，，的值求出A-C的值就可得出选项。（文）如图，根据余弦定理，结合问题条件得到关于BC的一元二次方程，运用求解一元二次方程的基本方法求出BC的值就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，过点C作CD
B于点D，过B作BE
A于点E，BD=
B-C=100,
D=，ABE=，CD==，AE=BE=
=====100（+1）100（1.7321+1）273，B正确，选B。（文）如图，在ABC中，已知B=，AC=，AB=2，
19=4+BC-22（-）BC，
BC+2BC-15=0，解得：BC=3，D正确，选D。
3、魏晋时，刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高，如图，点E，H，G在水平线AC上，DE与FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（
）
A
+表高
B-表高C+表距D-表距
【解析】
【考点】①直角三角形的定义与性质；②相似三角形的定义与性质；③比例的性质及运用。
【解答思路】根据相似三角形的性质得到=，=，结合问题条件得到
=，运用比例的性质得到==，求出AB就可得出选项。
【详细解答】点E，H，G在水平线AC上，DE与FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，=，=，==，CH=CE-HE=CG-HE
+GE，AB==.DE=+DE=+表高，A正确，选A。
4、记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=，+=3ac，则b=
（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②三角形面积公式及运用；③解三角形的基本方法。
【解答思路】根据三角形面积公式，结合问题条件求出ac的值，运用余弦定理就可求出b的值。
【详细解答】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=，+=3ac，
=acsinB=ac=，ac=4，b==
===2。
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（
）（2020成都市高三零诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②向量数量积的定义与性质；③求向量数量积的基本方法；④三角形内角和定理及运用；⑤余弦定理及运用；⑥三角函数诱导公式及运用。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理和求向量数量积的基本方法，结合问题条件求出cosA的值，从而求出角A的大小就可得出选项。
【详细解答】.=a
cosC
-b
cosA
+c
cosA
=0，sinA
cosC
-sinB
cosA
+sinC
cosA=
sinB
-sinB
cosA=
sinB
（1
-cosA）=0，
sinB＞0，1
-cosA=0，cosA=
=，
6、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=，a=2，b=，则ABC的面积为
（2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②三角形内角和定理及运用；③余弦定理及运用；④三角形面积公式及运用。
【解答思路】运用余弦定理，结合问题条件求出c的值，根据正弦定理求出sinC的值，利用三角形面积公式就可求ABC的面积。
【详细解答】
B=，a=2，b=，3=4+-22c，-2c+1=0，c=1，=，sinC==，即=2=。
7、（理）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（
）
A
B
C
D
（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（
）（2020全国高考新课标III）
A
B
2
C
4
D
8
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角函数基本关系及运用。
【解答思路】（理）运用余弦定理，结合问题条件求出AB的值，根据余弦定理求出求出cosB的值就可得出选项；（文）运用余弦定理，结合问题条件求出AB的值，根据余弦定理求出cosB的值，从而求出sinB，tanB的值就可得出选项。
【详细解答】（理）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，
AB==3，即cosB=
=
=，A正确，选A;
（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，
AB==3，即cosB=
=
=，
sinB==，
tanB==
=
4，
C正确，选C。
8、在ABC中，若sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则ABC的形状一定为（
）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A
等边三角形
B
不含
的等腰三角形
C
钝角三角形
D
直角三角形
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角函数诱导公式及运用；④三角形内角和定理及运用；⑤判定三角形形状的基本方法。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数诱导公式，结合问题条件求出sin（A+B）的值，从而确定ABC的形状就可得出选项。
【详细解答】
sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），
sinA
cosB-
cosA
sinB=1-2
cosA
sinB，
sinA
cosB+
cosA
sinB=
sin（A+B）=1，
A+B=2k
+
（k
Z），0＜A+B
＜，
A+B=
，即C=，ABC是直角三角形，D正确，选D。
9、已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为
（2018-2019成都市高一下期期末考试）
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②三角形一边上中线的定义与性质；③等差中项的定义与性质；④三角形内角和定理及运用。
【解答思路】运用三角形内角和定理和等差中项的性质，求出B的值，根据三角形一边上中线的性质求出BD的值，利用余弦定理就可求出边BC上的中线AD的长。
【详细解答】如图，ABC的三个内角A，B，C
A
成等差数列，A+B+C=，B=，BC=4，边BC
上的中线是AD，BD=2，AB=1，AD=
=
B
D
C
=。
10、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=（
）（2019全国高考新课标I（文））
A
6
B
5
C
4
D
3
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③等差中项的定义与性质；④三角形内角和定理及运用。
【解答思路】运用正弦定理和余弦定理，结合问题条件得到关于a，b，c的两个等式，从而得到关于b，c的等式，求出的值就可得出选项。
【详细解答】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，-=4①，=++bc②，联立①②得：bc=3，=6，A正确，选A。
11、（理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=6，a=2c，B=，则ABC的面积为
；
（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA+acosB=0，则B=
（2019全国高考新课标II）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④三角形内角和定理及运用。
【解答思路】（理）运用余弦定理，结合问题条件得到关于c的方程，求解方程求出c的值，从而得出a的值，利用三角形面积公式就可求出ABC的面积；（文）运用正弦定理，结合问题条件得到关于sinA，sinB，cosB的等式，从而求出B的值。
【详细解答】（理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=6，a=2c，B=，36=4
c+
c-2
c=3
c，c=2，a=4，=24=6；（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA+acosB=0，sinB
sinA+sinA
cosB=0，
sinA（sinB
+cosB）=0，0＜A＜，
sinA＞0，sinB
+cosB=0，B=。
12、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，
b-c），且.=0，则角A的大小为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②三角形三内角和定理及运用；③向量数量积的定义与性质；④三角函数诱导公式及运用；⑤三角函数和角公式及运用。
【解题思路】运用向量数量积的性质，结合问题条件得到a
cosC-（b-c）cosA=0，利用正弦定理得到sinA
cosC-sinB
cosA+sinC
cosA=0，从而得到sinB--sinB
cosA=0，求出cosA的值，确定A的值就可得出选项。
【详细解答】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=a
cosC-（b-c）cosA=0，===2R
，
sinA
cosC-sinB
cosA+sinC
cosA=0，
sinB--sinB
cosA=
sinB
（1-cosA）=0，
cosA=，A=，B正确，选B。
13、在ABC中，若sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则ABC的形状一定为（
）
A
等边三角形
B
不含的等腰三角形
C
钝角三角形
D
直角三角形
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角形内角和定理及运用；④判断三角形形状的基本方法。
【解题思路】运用三角函数和角，差角公式，结合问题条件得到sinAcosB-cosAsinB=1-2
cosAsinB，从而得到sinAcosB+cosAsinB=sinC=1，利用特殊角的三角函数值求出C的值就可得出选项。
【详细解答】
sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），
sinAcosB-cosAsinB=1-2
cosAsinB，
sinAcosB+cosAsinB=sinC=1，C是ABC的内角，C=，D正确，选D。
14、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=（
）
A
6
B
5
C
4
D
3
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②正弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到a-b=4c，从而得到a=b+4c，根据余弦定理，结合问题条件可得a=b+c-2bccosA=
b+c-bc，联立两个式子得到b+4c=
b+c-bc，由这个式子求出的值就可得出选项。
【详细解答】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA-bsinB=4csinC，
a-b=4c，
a=b+4c，
cosA=-，
a=b+c-2bccosA=
b+c+bc，
3
c=bc，=6，A正确，选A。
15、ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，+-=8，则ABC的面积为
。
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②正弦定理及运用；③三角形的面积公式及运用。
【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到sinBsinC+sinCsinB
=4sinAsinBsinC，从而得到sinBsinC（4sinA-2）=0，由这个式子求出sinA的值，根据余弦定理，结合问题条件得到2bccosA=8，利用三角形的面积公式通过运算就可求出三角形的面积。
【详细解答】（1）
ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，bsinC+csinB=4asinBsinC，
sinBsinC+sinCsinB
=4sinAsinBsinC，
sinBsinC（4sinA-2）=0，
sinBsinC
0，
4sinA-2=0，
sinA=，+-=2bccosA=8>0，cosA=，bc=，
=bcsinA==。
『思考问题,6』
（1）【典例6】是正弦定理和余弦定理应用的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦定理和余弦定理；
（2）正弦定理和余弦定理应用的问题主要包括：①解三角形的问题；②判断三角形的形状；③正弦定理和余弦定理与其它知识点的综合问题；④实际应用问题等几种类型；
（3）在实际解答相关问题时，应该抓住问题的结构特征，采用恰当的方法，从而快捷，准确的给予解答。
〔练习6〕解答下列问题：
1、ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，+-=8，则ABC的面积为
（2018全国高考新课标I卷（文））（答案）
2、在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（
）（2018全国高考新课标II卷）
A
4
B
C
D
2（答案A）
3、ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ABC的面积为，则C=（
）（2018全国高考新课标III卷）（答案C）
A
B
C
D
4、若ABC的面积为（+-），且C为钝角，则B=
，的取值范围是
（2018全国高考北京卷（文））（答案B=，的取值范围是（2，+））
5、在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC=，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为
（2018全国高考江苏卷）（答案9）