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24.1.3
弧、弦、圆心角
教学设计
课题
24.1.3
弧、弦、圆心角
单元
第24章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.理解圆心角的概念，圆的中心对称性和旋转不变性.2.理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理的前提条件.
重点
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
难点
理解“在同圆或等圆”条件的意义．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：垂径定理及其推论？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
学生思考并回答
回顾圆的相关概念
讲授新课
环节一：探究圆的轴对称性探究：剪一个圆形纸片，将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？重合结论：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
重合结论：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
环节二：探究圆心角、弧、弦定理及推论我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.图中∠AOB为圆心角圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.判断：下列图中的角是不是圆心角.
思考：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？∵
∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1
，AB=A1B1
.如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB
=∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么?结论仍然成立.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．∵∠AOB=∠COD∴AB=CD
，AB=CD思考：这句话“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”对吗？为什么？反例：强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．∵AB=CD∴∠AOB=∠COD
，AB=CD强调：如果条件为“两条弧相等”，那么“在同圆或等圆中”这个前提条件可以省略了.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵AB=CD∴∠AOB=∠COD
，AB=CD，ADB=CAD强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.小结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？知一推二关系结构图：环节三：合作探究例3
如图，在⊙O中，AB=AC
,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.证明：∵AB=AC，∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.本题中弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.还要注意前提条件（在同圆或等圆中）.环节四：课堂练习如图，
AE=BC
，∠AFE=20°，则∠DFE=40°.2．如图，
AB=AC
，∠B=70°，则∠A=40°.3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于60°.4.某种齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等，则相邻两齿之间的圆心角等于18°.5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：∵AD=BC∴AD=BC，∴AD+DB=BC+BD，∴AB=CD∴AB=CD.6.
如图，AB是⊙O
的直径，BC=CD=DE.∠AOE=75°，求∠COD的度数．解：∵BC=CD=DE∴∠BOC=∠COD=∠DOE°，∵∠AOE=75°∴∠COD=35°
学生动手操作，体会圆是中心对称图形
.通过观察猜想分析，发现结论及推论，并学会运用知识解决问题.运用弧、弦、圆心角关系定理及其推论解决实际问题，学会运用知识.学生练习，师生互评订正.
动手操作——猜想——验证.学会发现问题，提出问题，分析问题及解决问题的能力.培养学生运用数学知识解决生活中问题的能力.通过各种变式练习，让学生理解和掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
24.1.3
弧、弦、圆心角圆是中心对称图形：
弧、弦、圆心角关系定理：例3
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
①
②
③
④
√
×
×
×
圆心角相等
弧相等
弦相等
顶点在圆心的角
圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等;
如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
定理及推论
弧、弦、圆心角
①要注意前提条件(在同圆或等圆中)②要灵活转化.
注意
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精品试卷·第
2
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（共
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人教版
九年级上册
24.1.3
弧、弦、圆心角
新知导入
学习目标：
1.理解圆心角的概念，圆的中心对称性和旋转不变性.
2.理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理的前提条件.
回顾：垂径定理及其推论？
新知导入
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧.
结论：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
.
O
A
B
180°
探究：剪一个圆形纸片，将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
重合
新知讲解
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
结论：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
重合
新知讲解
O
α
知识点
圆心角
·
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
图中∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.
⌒
新知讲解
判断：下列图中的角是不是圆心角.
①
②
③
④
新知讲解
注意：顶点在圆心
×
√
×
×
识点
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
思考：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵
∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1
，AB=A1B1
.
⌒
⌒
新知讲解
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB
=∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么?
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
新知讲解
结论仍然成立
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
A
B
O
D
C
新知讲解
思考：这句话“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”对吗？为什么？
A
B
O
D
C
反例
新知讲解
强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
∴∠AOB=∠COD
∵AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
A
B
O
D
C
新知讲解
强调：如果条件为“两条弧相等”，那么“在同圆或等圆中”这个前提条件可以省略了.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
∴∠AOB=∠COD
∵AB=CD
A
B
O
D
C
AB=CD，ADB=CAD
⌒
⌒
⌒
⌒
新知讲解
强调：必须在“在同圆或等圆中”前提条件下，结论才成立.
新知讲解
归纳：弧、弦、圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？
A
B
O
D
C
新知讲解
知一推二
关系结构图
新知讲解
圆心角相等
弧相等
弦相等
证明：
∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
例3
如图，在⊙O中，
AB=AC
,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒
⌒
∵AB=AC，
⌒
⌒
合作探究
合作探究
本题中弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
还要注意前提条件（在同圆或等圆中）.
课堂练习
1．如图，
AE=BC
，∠AFE=20°，则∠DFE=
.
⌒
⌒
40
°
40°
课堂练习
2．如图，
AB=AC
，∠B=70°，则∠A=
.
⌒
⌒
3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
.
60
°
4.某种齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等，则相邻两齿之间的圆心角等于
.
课堂练习
18
°
5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：∵AD=BC
(
(
课堂练习
∴AD=BC
∴AD+DB=BC+BD
(
(
(
(
∴AB=CD
(
(
∴AB=CD
解：
∵BC=CD=DE
6.
如图，AB是⊙O
的直径，BC=CD=DE.
∠AOE=75°，求∠COD
的度数．
·
A
O
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂练习
∴∠BOC=∠COD=∠DOE
∵∠AOE=75°
∴∠COD=35°
弧、
弦、
圆心角
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
注意
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等;
如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
顶点在圆心的角
①要注意前提条件(在同圆或等圆中)
②要灵活转化.
课堂总结
板书设计
24.1.3
弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形：
弧、弦、圆心角关系定理：
例3
练习
作业布置
1.必做题：教材P85
练习第
1、2
题
2.选做题：教材P89
第
5
题
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