中小学教育资源及组卷应用平台
2.4
圆周角
【基础训练】
一、单选题
1．如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，是的直径，、是上的两点，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
3．如图，在中，为直径，为弦，已知，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
5．如图，是四边形的外接圆，连接和，且，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，点、、在⊙O上，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
8．如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18
B．72
C．100
D．108
9．如图，是的外接圆，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
11．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BDC＝30°，则∠ABC的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．60°
C．70°
D．80°
12．如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
13．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．66°
B．48°
C．33°
D．24°
14．已知：如图，是的两条半径，，点C在上，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
15．下列语句中正确的是（
）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．直径所在直线是圆的对称轴
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．55°
C．70°
D．110°
17．如图，是的直径，点在上，若，则
的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
18．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=70?，∠OBC=50?，则∠ACB的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50?
B．25?
C．35?
D．70?
19．如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
20．如图，是的直径，点，在圆上，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．如图，在中，为半径，为弦，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
22．如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
23．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．95°
B．90°
C．85°
D．80°
24．如图，点，在上，是的直径，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．33°
B．43°
C．28.5°
D．57°
25．如图，中所对的圆周，点P在劣弧上，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
26．如图，内接于，CD是的直径，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
27．如图，的半径为，于点，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．如图，在中，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．如图，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点在的延长线上．若，，以为圆心、长为半径的弧经过点，交轴正半轴于点，连接，、则的度数是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，求∠CAB的度数________.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．图中圆心角，点是弧的中点，则__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，点，，在上，，则的度数为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点过D向AC作垂线DE垂足为点E，若，则直径________．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．如图，是的直径，点C，D是上的点，连线，于E．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）与平行吗？说明理由．
（2）若，，求的直径．
37．如图，A是上一点，是直径，，点D在上且平分，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
38．如图，A、B、C在⊙O上，若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：CB//PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数；
（3）若BC=3，BE=2，求CD的长．
40．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且＝
求证：AC∥OD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明过程见解析．
41．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB＝90°，△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到，连接BD交直线EC于点F．www.21-cn-jy.com
（1）求∠EFD的度数；
（2）求证：点F为BD的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
42．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若DC＝2，AB＝8，求⊙O的直径长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
44．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．求OA的长．www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝10，BC﹣AC＝2，求CE的长．
46．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，21
cnjy
com
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
47．如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．
48．如图A、B是上的两点，，C是弧的中点，求证四边形是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．如图，已知是的外接圆，直径与垂直，垂足为点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：：
（2）连接，，若，，求的长．
50．如图，是的直径，弦于点是弧上一点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证；
（2）若，求的半径．
51．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4，BE＝4，求⊙O的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
52．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形内接于，对角线，且21·cn·jy·com
（1）求证：．
（2）若的半径为8，弧的度数为120°，求四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
53．如图，是的直径，弦与相交于点．求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
54．如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
55．已知如图，点A、点B、点C、点D都在⊙O上，连接OA、OB、OC、OD、AC、BD，∠A＝∠D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：（1）AC=BD；
（2）
56．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：2·1·c·n·j·y
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
57．如图①，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：21cnjy.com
（1）①的度数是
；②线段，，之间的数量关系是
；
（2）如图②，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）如图②，与交于点，在（2）条件下，若，求的最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA=a，PB=b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
59．如图，⊙O的直径AB为5，弦AC为3，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BC的长；
（2）求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．如图，在平面直角坐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求证：∠BDE=∠ADP；
（3）设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.4
圆周角
【基础训练】
一、单选题
1．如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用圆周角定理即可得．
【详解】
解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
2．如图，是的直径，、是上的两点，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】
根据，求出的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
3．如图，在中，为直径，为弦，已知，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由圆周角定理结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】
∵，
∴．
∵AB为⊙O直径，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形内角和定理．掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【答案】B
【分析】
连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查圆周角定理及其推论．连接常用的辅助线并结合数形结合的思想是解答本题的关键．
5．如图，是四边形的外接圆，连接和，且，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD为的内接四边形，
，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．如图，点、、在⊙O上，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理．圆周角定理
“一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】
连接AC、AD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠BAC＝50°，然后利用圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD＝∠CBD∠BAC．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BAC＝×50°＝25°．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2·1·c·n·j·y
8．如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18
B．72
C．100
D．108
【答案】D
【分析】
∠D与∠B是圆内接四边形的对角，根据圆内接四边形的对角互补求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
又∠B=72°，
∴∠D=180°-∠B=180°-72°=108°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．
9．如图，是的外接圆，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠C=∠AOB=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
【答案】D
【分析】
由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BDC＝30°，则∠ABC的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】B
【分析】
连接AC，先根据圆周角定理得出∠A，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接AC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠BDC=30°，
∴∠A=∠BDC=30°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
12．如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理直接计算即可．
【详解】
解：∵点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，
∴∠ACB=∠AOB＝30°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理，准确识图，找到角的关系．
13．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．66°
B．48°
C．33°
D．24°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理求得∠BOC，得到答案．
【详解】
连接OC，
∵∠A=24°，
∴∠BOC=2∠A=48°，
∴BC弧的度数为48°．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．已知：如图，是的两条半径，，点C在上，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接根据圆周角定理求解即可．
【详解】
圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，理解并熟记圆周角定理是解题关键．
15．下列语句中正确的是（
）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．直径所在直线是圆的对称轴
【答案】D
【分析】
根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．【出处：21教育名师】
【详解】
解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．【版权所有：21教育】
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．55°
C．70°
D．110°
【答案】D
【分析】
根据圆内接四边形的性质解答．
【详解】
解：由题意可得：∠B+∠ADC=180°，
∵∠B=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°，
∴∠ADE=180°-∠ADC=110°，
故选D．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的应用，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
17．如图，是的直径，点在上，若，则
的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵∠AOC=120°
，
∴∠BOC=60°，
∴
∠D=∠BOC=30°，
故选B
．
【点睛】
本题考查圆的应用，熟练掌握圆周角定理是解题关键
．
18．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=70?，∠OBC=50?，则∠ACB的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50?
B．25?
C．35?
D．70?
【答案】C
【分析】
直接根据圆周角定理判断即可．
【详解】
根据圆周角定理，，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，理解并熟练运用圆周角定理是解题关键．
19．如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
【答案】B
【分析】
根据菱形性质，得；连接，根据圆的对称性，得；根据等边三角形的性质，得，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案．21·世纪
教育网
【详解】
∵四边形为菱形
∴
连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形为⊙的内接四边形
∴
∴，为等边三角形
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．
20．如图，是的直径，点，在圆上，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21．如图，在中，为半径，为弦，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
22．如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】A
【分析】
由直径AB，可以得到，,根据同弧所对的圆周角相等，进行角度转换即可．
【详解】
解：∵AB为直径
∴
又∵,
∴
∵
∴
故选：A
【点睛】
本题考查直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等，根据题意数形结合是解题关键．
23．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．95°
B．90°
C．85°
D．80°
【答案】C
【分析】
首先连接BC，根据∠BOD和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】
连接BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵
和
是
所对的圆心角和圆周角，
,
又
和
是所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．2-1-c-n-j-y
24．如图，点，在上，是的直径，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．33°
B．43°
C．28.5°
D．57°
【答案】A
【分析】
连接CD，可得，根据圆周角定理以及三角形内角和可得．
【详解】
解：连接CD,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
可知，
∵BD为直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角是解题关键．
25．如图，中所对的圆周，点P在劣弧上，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理可得，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】
解：中所对的圆周，
点P在劣弧上，，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
26．如图，内接于，CD是的直径，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角，得出∠CAD=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数，继而求得∠ACD的度数．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠D=90°．
∵∠ADC=∠ABC=20°，
∴∠ACD=90°-∠ADC=70°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
27．如图，的半径为，于点，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度．
【详解】
∵
∠BAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∵OB=4，
∴OD=OB==2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
28．如图，在中，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用圆周角定理直接解答即可．
【详解】
解：∵∠BOC=50°，
∴∠BAC=25°，
故选A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
29．如图，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点在的延长线上．若，，以为圆心、长为半径的弧经过点，交轴正半轴于点，连接，、则的度数是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接OB，由题意易得∠BOD=60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】
解：连接OB，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
30．如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．
【详解】
解：∵
∴∠BOC=2，
∵，
，
故选：B．
【点睛】
考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．
二、填空题
31．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，求∠CAB的度数________.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】35°
【分析】
根据圆周角定理，可得：∠A-∠C=10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB=∠A+∠C=60°；联立两式可求得∠A的度数．21
cnjy
com
【详解】
解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A-2∠C=20°，
∴∠A-∠C=10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；
①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
32．图中圆心角，点是弧的中点，则__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
求出∠AOD，再根据∠C＝∠AOD计算即可；
【详解】
解：∵点B是弧AD的中点，
∴，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∴∠AOD＝60°
∵∠ACO＝∠AOD，
∴∠C＝×60°＝30°．
故答案为30°．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识进行推理计算．
33．如图，点，，在上，，则的度数为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据点A、B、C在圆上，利用等腰三角形性质，可得∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】
解：连结OA，
点在上，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，
∵，
∴，
．
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
34．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点过D向AC作垂线DE垂足为点E，若，则直径________．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10
【分析】
连接，，，过点作于点，根据勾股定理求出，由圆周角定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据勾股定理可得半径的值，即可得出直径的值．
【详解】
解：连接，，，过点作于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
，
是的平分线，，，
，，
，
，
在中，设，则，
，解得：，
．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键
35．如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】80
【分析】
根据圆内接四边形的性质计算出即可．
【详解】
解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
三、解答题
36．如图，是的直径，点C，D是上的点，连线，于E．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）与平行吗？说明理由．
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）
【分析】
（1）由圆周角定理得出∠C=90°，再由垂径定理得出∠OEB=∠C=90°，即可得出结论；
（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE=CE=BC=4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．21教育网
【详解】
解：（1）平行，
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，
∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90°，
∴OD∥AC；
（2）令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE=CE=BC=4，
由勾股定理得：r2=42+（r-3）2，
解得：r=，
所以⊙O的直径为．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．21cnjy.com
37．如图，A是上一点，是直径，，点D在上且平分，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由题意易得，则有BD=DC，进而由勾股定理可求出BC的长，然后再根据勾股定理可求解DC的长．
【详解】
解：∵点D在上且平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，中，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
38．如图，A、B、C在⊙O上，若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系由BC=AD得到，则，所以AC＝BD．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．21教育名师原创作品
39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：CB//PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数；
（3）若BC=3，BE=2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠P=35°；（3）CD=
【分析】
（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P；由∠1＝∠C，∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解决问题．
（2）在Rt△CEB中，求出∠C即可解决问题；
（3）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE＝DE，即可解决问题．
【详解】
（1）如图，∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠P=∠C，
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB//PD；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°
(3)
∵
∴
∴DE=CE,CD=2CE=．
【点睛】
主要考查了圆周角定理、垂径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键．
40．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且＝
求证：AC∥OD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明过程见解析．
【分析】
连结OC，由圆周角定理得到∠BO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=2∠A，由等弧所对的圆周角相等证出∠BOC=2∠BOD，可得∠A=∠BOD，再由同位角相等两直线平行，得到AC∥OD．
【详解】
证明：连结OC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵＝，
∴∠BOC=2∠BOD，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A=∠BOD，
∴AC∥OD．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，圆周角定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键．
41．如图，已知△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝BC，∠ACB＝90°，△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到，连接BD交直线EC于点F．
（1）求∠EFD的度数；
（2）求证：点F为BD的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）∠DFE＝45°；（2）见解析．
【分析】
（1）由旋转的性质可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝α，∠CAB＝∠DAE＝45°＝∠ADE＝∠ABC，再由等腰三角形两个底角相等得到∠ACE＝＝∠ABD，由此证明点A，点B，点F，点C四点共圆，据此解题；
（2）连接AF，根据同侧等角可证明点E，点A，点F，点D四点共圆，可得∠AFE＝∠ADE＝45°，再由等腰三角形的性质解题即可．
【详解】
解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝α，∠CAB＝∠DAE＝45°＝∠ADE＝∠ABC，
∴∠ACE＝＝∠ABD，
∴点A，点B，点F，点C四点共圆，
∴∠BAC+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝45°；
（2）证明：如图，连接AF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠DAE＝∠DFE＝45°，
∴点E，点A，点F，点D四点共圆，
∴∠AFE＝∠ADE＝45°，
∴∠AFD＝90°，
又∵AB＝AD，
∴点F为BD的中点．
【点睛】
本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆的判定与性质、圆的有关性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，若∠E＝36°，求∠ADC的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据直径所对圆周角是直角得，就可以算出的度数，再根据平行四边形的性质即可得到结果．
【详解】
解：∵BE为直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对圆周角是直角这个性质．
43．AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若DC＝2，AB＝8，求⊙O的直径长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）27°；（2）10
【分析】
（1）结合垂径定理得到，从而利用圆周角定理即可求解；
（2）同样利用垂径定理，在中结合勾股定理计算即可．
【详解】
（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴根据垂径定理得：，
∴∠AOD=2∠DEB，
∴∠DEB=∠AOD=27°，
（2）由题，根据垂径定理得：，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，2OA=10，
∴⊙O的直径长10．
【点睛】
本题考查垂径定理以及圆周角定理，熟练综合运用定理分析求解是解题关键．
44．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．求OA的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4．
【分析】
根据圆周角定理首先求出∠AOC，再结合垂径定理在Rt△AOD中计算即可．
【详解】
根据圆周角定理可得：∠AOC=2∠E=60°，
∵OC⊥AB于点D，OC为半径，
∴，
则在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠OAD=30°，
设OD=x，则OA=2x，
由勾股定理得：，
解得：x=2（负值舍去），
则OA=2x=4，
即OA=4．
【点睛】
本题考查圆周角定理及垂径定理，理解并熟记基本定理是解题关键．
45．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝10，BC﹣AC＝2，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）CE＝8
【分析】
（1）由AB为⊙O的直径，可得AC⊥BD，又由DC＝CB，即可证得AD＝AB，然后由等边对等角，证得：∠B＝∠D；
（2）首先设BC＝x，由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝10，BC﹣AC＝2，可得方程x2+（x﹣2）2＝102，继而求得BC的值，又由∠B＝∠D，∠B＝∠E，则可得CE＝CD＝BC＝8．
【详解】
（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）设BC＝x，
∵BC﹣AC＝2，
∴AC＝x﹣2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴x2+（x﹣2）2＝102，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（舍去），
∴BC＝8，
∵∠B＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠D＝∠E，
∴CE＝CD＝BC＝8．
【点睛】
本题考查直径所对圆周角，等边对等角，及勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本定理，灵活计算是解题关键．
46．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）25°；（2）见解析
【分析】
（1）利用圆周角定理可得∠ADB＝90°，然后再计算出∠DAO的度数，再利用直角三角形的性质可得答案；
（2）利用直角三角形的性质推出∠DAC＝∠ADE，然后再利用等角对等边可得结论．
【详解】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠DAB＝65°，∠DOA＝50°，
∵OD⊥AC，
∴∠EAF＝40°，
∴∠DAC＝65°﹣40°＝25°；
（2）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEO＝90°，
∴∠EDB＋∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠B＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AF＝DF．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，掌握直角三角形两锐角互余．
47．如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求⊙O半径的长；
（2）求EC的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据垂径定理可得，再由勾股定理可求得半径的长；
（2）连接构造出，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理解即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴设的半径
∴
∵在中，
∴
∴
∴半径的长为．
（2）连接，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是的直径
∴，
∵
∴在中，
∵
∴在中，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等，做出合适的辅助线是解题的关键．
48．如图A、B是上的两点，，C是弧的中点，求证四边形是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
连OC，由C是的中点，∠AOB＝l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
证明：连，如图，
∵C是的中点，
∴，
又∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
49．如图，已知是的外接圆，直径与垂直，垂足为点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：：
（2）连接，，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由为直径，利用垂径定理可得再利用圆周角定理可得答案；
（2）设
则，再利用勾股定理可得：结合垂径定理可得：
建立方程，解方程求解
再求解利用勾股定理即可得到答案．
【详解】
证明：（1）为直径，
（2）如图，设
，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为直径，
由勾股定理可得：
＞，
【点睛】
本题考查的是圆的对称性，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
50．如图，是的直径，弦于点是弧上一点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为．
【分析】
（1）由题意易得，进而问题可证；
（2）连接，设，则有，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：，
，
；
（2）解：连接，设，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
在中，，
解得，
的半径为．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．
51．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4，BE＝4，求⊙O的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据等边对等角、同弧所对的圆周角相等以及直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）首先根据垂径定理求得，再利用勾股定理列出关于半径的方程，解出方程的解即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴在中，．
（2）∵是的直径，且于点
∴
∴在中，
∴设的半径为，则，
∴
∴
∴的半径为．
【点睛】
本题考查了等边对等角、同弧所对的圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)周角相等、直角三角形两锐角互余、垂径定理以及利用勾股定理解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
52．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形内接于，对角线，且
（1）求证：．
（2）若的半径为8，弧的度数为120°，求四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD＝120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可．
【详解】
（1）证明：，，
则，；
（2）解：连接、，作于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
弧的度数为120°，
，，
∴OH=BO=4,
∵BO2=BH2+OH2，OB=8
∴，
，
则四边形的面积．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
53．如图，是的直径，弦与相交于点．求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由题意易得∠ODB=∠OBD=35°，进而根据角的等量关系可求解．
【详解】
解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握圆的基本性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
54．如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】详见解析
【分析】
利用圆的性质：同弧所对的圆心角相等可得∠AOC＝∠BOC，进而证得△COD≌△COE，即可证得CD=CE．
【详解】
证明：连接OC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在⊙O中，∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查了圆的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的性质是解答的关键．
55．已知如图，点A、点B、点C、点D都在⊙O上，连接OA、OB、OC、OD、AC、BD，∠A＝∠D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：（1）AC=BD；
（2）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠C，∠B＝∠D
，再结合已知∠A＝∠D得出∠AOC=∠BOD，继而得出结论
（2）根据∠AOC=∠BOD，得出∠AOB=∠COD即可得出结论
【详解】
证明：（1）∵OA=OC，OB=OD
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D
又∵∠A＝∠D
∴∠A＝∠C=∠B＝∠D
∴∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
(2)由（1）得：∠AOC=∠BOD
∴∠AOB=∠COD
∴
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及圆心角、弧、弦之间的关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键
56．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：21·cn·jy·com
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
57．如图①，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：
（1）①的度数是
；②线段，，之间的数量关系是
；
（2）如图②，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，与交于点，在（2）条件下，若，求的最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）①60°，②；（2），证明见解析；（3）4
【分析】
（1）①先判断出∠BAD＝∠CAE，即可判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出结论；
（2）先判断出BC＝AC，再同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
（3）先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形，即可得出结论．
【详解】
（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60，
由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60，
故答案为：60；
②由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝CE＋CD，
故答案为：AC＝CE＋CD；
（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，
∴BC＝=AC，
由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，
∴AC＝CE＋CD；
（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45，
∴∠ACE＝45，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90，
∵∠DAE＝90，
∴∠BCE＋∠DAE＝180，
∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，
∵AC与DE交于点F，
∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，
即：当AF⊥DE时，AF最小，
∴∠CFD＝90，
∴∠CDF＝90°?∠ACB＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AF最小＝AC＝4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，矩形的判定，判断出BD＝CE是解本题的关键．
58．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA=a，PB=b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）a+b．
【分析】
（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠CPB=60°，
∠ABC=∠APC=60°，．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形；
(2)解：当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB
∴四边形PBOA是菱形．
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定．
59．如图，⊙O的直径AB为5，弦AC为3，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BC的长；
（2）求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，然后根据勾股定理即可求出BC；
（2）根据角平分线的定义即可求出∠ACD=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BCD=45°
，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠DAB和∠DBA，从而得出△ADB是等腰直角三角形，
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
（2）∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°
∴∠DAB=∠BCD=45°，∠DBA=∠ACD=45°
∵∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
∴AD=BD
根据勾股定理可得
【点睛】
此题考查的是圆周角定理的推
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)论、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等和勾股定理是解决此题的关键．
60．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求证：∠BDE=∠ADP；
（3）设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
【答案】（1）y=﹣x+4；（2）详见解析；（3）y=x
【分析】
（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把点B的坐标（4，0）代入即可；
（2）先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP；
（3）先连结PE，根据三角形外角的性质得∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，由圆周角定理得∠DEP=∠ABD，由（2）知∠ADP=∠BDE，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，由直径所对的圆周角是直角得∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x．
【详解】
解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入点B（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=﹣1，
则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP；
（3）连结PE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，即y=x；
【点睛】
本题考查圆的综合应用，用到的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知识点是一次函数、圆周角定理及其推理、等腰直角三角形的性质和判定，关键是综合运用有关知识作出辅助线得出△DEF是等腰直角三角形．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
