2.4 圆周角(提升训练)(解析版)

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2.4
圆周角
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（
）
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A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】
连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：连接、、、、，过点作于点，
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，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．
2．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（
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A．116
B．120
C．122
D．128
【答案】D
【分析】
连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】
解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
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与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
3．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】
解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
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∵点C为弦中点，
∴OC
⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
4．如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】
连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解．
【详解】
解：连接OD，EF，
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∵与相切于点，BF是的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴，，
∵，，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴，，
∴BC=，BE=，
∴CE=-=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助线，是解题的关键．
5．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
延长DC，过E作DC延长线的垂线，垂足为M，在△ECM中，分别表示出EM和CM，得到DM，在△DEM中，利用勾股定理得到，结合直径AB=8即可得到结果．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：延长DC，过E作DC延长线的垂线，垂足为M，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形BCEF为正方形，
∴∠BCE=90°，即A，C，E三点共线，
∵△ACD为正三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ECM=60°，
在△ECM中，
EM=EC·sin60°=b，
CM=EC·sin30°=b，
∴DM=DC+CM=a+b，
在△DEM中，，
∴，
整理可得：，
∵AB=8，
∴，
∴，
故选D．
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【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a，b，c的关系式．21
cnjy
com
6．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（
）
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A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】
过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．
【详解】
解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
8．如图，、是上的两点，，交于点，则等于（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题意得是等边三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．
【详解】
解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系，掌握“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键．
9．如图，点，，，都在⊙O上，且，AB=AD，S四边形ABCD
=（
）
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A．
B．
C．
D．6
【答案】A
【分析】
连接，求出，求出是圆的直径，根据勾股定理求出、，分别求出和的面积即可．
【详解】
解：连接，
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，，
，，
，
即是圆的直径，
，
圆的半径为2，
，
，
由勾股定理得：，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
10．如图，为的直径，点、点是上的两点，连接，，．若，则的度数是（
）
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A．40°
B．45°
C．55°
D．100°
【答案】C
【分析】
连接BC，求得∠ABC的度数即可得到∠ADC
【详解】
如图，连接BC，
∵为的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠ABC=55°，
∴∠ADC=55°，
故选C．
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【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，同弧上的圆周角相等，熟练构造直径所对的圆周角是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
11．如图，为的直径，点C．D在上．若，则的度数是（　　　）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
【详解】
解：连接AD，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=36°，
∴∠A=90°-∠ABD=54°，
∴∠BCD=180°-∠A=126°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
12．如图，点P在以AB为直
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（　　）
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A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
【答案】D
【分析】
①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC⊥BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④由直径所对的圆周角是直角即可得到结论．
【详解】
解：①∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②如图，连接CD，
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∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝90°，
假设AC平分∠BAF成立，则有DC＝BC，
∴在Rt△FDB中，DC＝BC＝FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，与①中的AC⊥BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②错误，
③∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP和∠CDB都对应，
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∴∠CFP＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CAB，
∴∠CFP＝∠CAB，
又∵∠FPC＝∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∵∠ACF＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及推论，圆的内接四边形的性质，解题的关键是明确直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形的对角互补．21·cn·jy·com
13．如图，已知是的直径，与相交于点，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先连接BD，根据圆周角定理可得
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【详解】
解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的角为90°），
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=90°-50°=40°，
∵弧BC所对的圆周角是∠BDC和∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC=40°（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
在△ADC中，∠ADC=50°，∠C=60°，
∴∠DAC=70°，
∴∠DAE=∠DAC-∠BAC=70-30=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠DAE=80°．
故选：C.
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【点睛】
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14．如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案．
【详解】
解：连接AB、OA、OD，如图，
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∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角△AOD中，设OA=OD=R，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴圆的周长为：；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
15．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若ACOB，OC＝4，AB＝5，则BC＝（　　）
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A．5
B．
C．
D．8
【答案】B
【分析】
如图，连接DC，由ACOB，得，则AB=CD，根据OC＝4，得到BD=8，根据BD是直径，得到∠DCB=90°，由AB＝5，得CD=5,根据勾股定理计算即可．
【详解】
如图，连接DC，
∵ACOB，
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∴，
∴AB=CD，
∵AB＝5，
∴CD=5，
∵OC＝4，
∴BD=8，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
根据勾股定理,得
BC=,
故选B．
【点睛】
本题直径上的圆周角是直角，夹在两平行弦之间的线段相等，勾股定理，熟练掌握夹在两平行弦之间的线段相等是解题的关键．21教育名师原创作品
16．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，且，，则BE的长为（
）
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A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理、弧和圆心角之间的关系可得，再根据垂径定理和勾股定理可求得半径r，再根据线段的和差即可求得BE．
【详解】
解：连接OC，如图，
，
∵，
∴∠BOC=∠BOD，
∴，
∴AB⊥CD，
∴，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=6-r，
在Rt△OCE中，32+（6-r）2=r2，解得，
∴，
故选：B．
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【点睛】
本题考查圆周角定理、相等的圆心角所对的弧相等、垂径定理等．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
17．如图，在中，弦，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由圆周角定理求得∠BAC=25°，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25°，由等边对等角得出∠OAB=∠B=25°，即可求得答案．【来源：21cnj
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【详解】
解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，
∴∠BAC=25°，
∵AC∥OB，
∴∠BAC=∠B=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=25°，
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，在中，，若为劣弧上的一点，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求出∠POB，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】
解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝45°，
∴∠POB＝55°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB，
∴∠PBO＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，准确进行推导证明，得出角之间的关系．
19．如图，是的直径，点D为内一点，连接，且，垂足为D，若，，则的长为（
）
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A．
B．4
C．
D．4.8
【答案】C
【分析】
延长AD交⊙O于C，连接BC，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)利用垂径定理得到AD=CD，再利用勾股定理计算出AD，从而得到CD，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理计算出BC，接着计算BD的长．
【详解】
解：延长AD交⊙O于C，连接BC，如图，
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∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△OAD中，AD==4，
∴CD=4，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC==6，
在Rt△BCD中，BD=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
20．如图，锐角内接于⊙于点
，连结，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接，，根据锐角内接于⊙，可得，，，可证得，根据得，根据在中，，可求得，再根据，代入等角化简计算即可．
【详解】
解：如图示，连接，
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∵锐角内接于⊙，
∴，，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴
∴
∵
∴
在中，，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和等知识点，熟悉相关知识点是解题的关键．
21．如图，是的直径，点，为上的点．若，则的度数为（
）．
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A．70°
B．100°
C．110°
D．140°
【答案】C
【分析】
先得出∠ACB=90°，再计算出∠B,根据圆内接四边形对角互补得出结果
【详解】
解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°,
∠CAB=20°
∴∠B=70°
∵四边形ADCB是圆内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=110°
故选：C
【点睛】
本题考查圆周角定理、圆内接四边的性质．熟练记忆定理、性质是关键．灵活使用相应的定理性质是重点．
22．如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（
）
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A．6
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】
如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH=2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．
【详解】
解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．
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∵AB⊥CH，
∴EC=EH，
∵CF=FD，
∴EF=DH，
∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH=90°，
∴CH=，
∴CE=，
∴EF最大时，EC的长为，
故选D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝20°，则∠AOE的度数为（
）
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A．120°
B．80°
C．110°
D．100°
【答案】D
【分析】
连接OD，设AB与CD垂足为F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点，首先根据垂径定理和圆周角定理推出∠AOD，∠FDO，然后根据平行线的性质推出∠CDE，从而推出∠ODE，结合OD=OE，即可得到△ODE为等边三角形，从而得到∠DOE，最后由∠AOD+∠DOE即可得到结论．
【详解】
如图所示，连接OD，设AB与CD垂足为F点，
则由题意，∠CFB=∠DFB=90°，
∴在△BCF中，∠BCF=90°-∠CBA=70°，
由垂径定理得：，
则∠AOD=2∠ABC=40°，
∴在△FOD中，∠FDO=90°-∠AOD=50°，
又∵DE∥CB，
∴∠BCD+∠CDE=180°，
∴∠CDE=180°-∠BCD=180°-70°=110°，
∴∠ODE=∠CDE-∠FDO=110°-50°=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，则∠DOE=60°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=40°+60°=100°，
故选：D．
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【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理以及平行线的性质等，熟记相关定理，灵活构造辅助线进行推理计算是解题关键．
24．如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵AE⊥BF交于点P，且∠APB=90°，
取AB中点O，连接PO，
则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，
∵点E、F分别在正方形的边CD和AD上，
∴当点E与点C重合时，CP的值最小，即为CP′，
P′为正方形ABCD的对角线AC和BD的交点，
∵AB=BC=1，
∴CP′=AC==，
故选B．
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【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，确定出点P的轨迹，得到CP最小时的位置是解题的关键．
25．如图，四边形是⊙O的内接四边形，，连接．若，⊙O的半径为，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．8
D．7
【答案】C
【分析】
作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，计算出∠ADB+∠BDE=90°，即∠ADE=90°，根据圆周角定理可判断AE为⊙O的直径，连接OB、OC，证明
=得到∠ABC=∠ACB=67.5°，则∠BAC=45°，所以∠AOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到BC的长．
【详解】
解：作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BDE=∠BDC，∠ADB=90°-∠BDC，
∴∠ADB+∠BDE=90°，即∠ADE=90°，
∴AE为⊙O的直径，
连接OB、OC，
∵∠BDE=∠CDE，
∴=，
∴
=，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC==OB=4×=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定、勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】A
【分析】
连接OD、AD，根据圆内接四边形的性质求出，由OA=OD求得，再根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到答案．
【详解】
解：如图，连接OD、AD，
∵点A、B、C、D在圆上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∵∠BCD＝100°，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，正确连接辅助线是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】C
【分析】
连接OD，根据垂径定理求出，求出∠COB＝∠DOB＝40°，根据OB＝OD得出∠ABD＝∠ODB，再求出答案即可．
【详解】
解：连接OD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠COB＝∠DOB，
∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠OCE＝50°，
∴∠COB＝90°﹣∠OCE＝40°，
∴∠DOB＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB＝（180°﹣∠DOB）＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
28．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】
解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
【点评】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．【出处：21教育名师】
29．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（　　）
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A．240°
B．120°
C．90°
D．60°
【答案】B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
30．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　）
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A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【答案】D
【分析】
连接AD，由圆周角定理可得∠BCD＝∠A，∠ADB＝90°，最后利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵圆周角∠BCD和∠A都对着，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠BCD＝25°，
∴∠A＝25°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝65°，
故选：D．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线并灵活运用圆周角定理是解答本题的关键．
二、填空题
31．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是_____．
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【答案】54°
【分析】
根据AD是⊙O的直径，＝可得∠AOB=∠COD，根据平角的定义可得∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得答案．21cnjy.com
【详解】
∵AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，
∴∠AOB=∠COD=36°，
∴∠BOC=180°-36°-36°=108°，
∵∠BPC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠BPC=∠BOC=×108°=54°，
故答案为：54°
【点睛】
本题考查弧与圆心角的关系及圆周角定理，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等；在同圆或等圆中；同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关知识是解题关键．
32．如图，△ABC内接于⊙O，
E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．【版权所有：21教育】
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【答案】52°
【分析】
连结OB、OC，由圆周角定理∠BCD＝26°，可求∠BOD=2∠BCD=52°，由等腰三角形中线性质可得OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，求出圆心角∠BOC=104°，根据圆周角定理∠A=．
【详解】
解：连结OB、OC，
∵∠BCD＝26°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×26°=52°，
∵OB=OC，E是边BC的中点，
∴OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，
∴∠BOC=∠DOB+∠COD=52°+52°=104°，
∴∠A=．
故答案为：52°．
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【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形中线性质，掌握圆周角定理，等腰三角形中线性质是解题关键．
33．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．
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【答案】4．
【分析】
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接，
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，，
，
，
，
是直径，
，
∴∠CAD=30°，
又∵AD=8，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
34．如图，是的直径，点、在上，弧的度数是90°，，，则的直径长为______．
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【答案】
【分析】
根据弧的度数是90°，可知∠ADB=∠ACB=45°，设AD与BC交于点E，求出EC、BC长，根据勾股定理可求CD．
【详解】
解：∵弧的度数是90°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∵是的直径，
∴∠CBD=∠CAD=90°，
∴，，
∴，
，
，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理和等腰三角形的判定，解题关键是求出特殊角，熟练运用勾股定理进行计算．
35．如图，是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，，则⊙O的半径长为________．
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【答案】
【分析】
连接DO并延长，与圆O交于点E，连接CE，延长AC，过点E作AC的垂线，垂足于F，证明AE=，根据圆周角定理得到∠CAE=45°，证明△AEF为等腰直角三角形，求出CF和EF，利用勾股定理得到CE，再求出OC即可．
【详解】
解：连接DO并延长，与圆O交于点E，连接CE，延长AC，过点E作AC的垂线，垂足于F，
∵∠BOD=∠AOE，
∴BD=AE=，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=90°，
∴∠CAE=45°，则△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF==3，又AC=1，
∴CF=2，EF=3，
∴CE==，
在△COE中，OC=OE=，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形．
三、解答题
36．如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分．
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（1）若，求的长；
（2）若，求弦的长；
（3）设．用含的代数式表示．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】
（1）根据中位线定理，结合AC=8可得OE；
（2）证明△ACE≌△ABE，得到CE=BE=BC=3，由勾股定理求出AE，再根据圆周角定理求出∠ABD=90°，利用面积法可求出BD；
（3）根据△ACE≌△ABE得到∠C=∠ABE=β，可得∠CBD=β-α，在△BCD中，可得∠C+∠CBD=90°，从而可的结论．
【详解】
解：（1）∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEA=∠CAE，
∴OE∥AC，
∵点O为AB中点，
∴点E为BC中点，
即OE为△ABC中位线，
∴OE=AC=4；
（2）∵AB为直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴CE=BE=BC=3，
∵AC=5，
∴AE=，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴S△ABC=BC·AE=AC·BD，
∴BD=；
（3）由（2）可知，△ACE≌△ABE，
∴∠C=∠ABE=β，
∴∠CBD=β-α，
在Rt△BCD中，
∠C+∠CBD=90°，
∴β+β-α=90°，
即α=2β-90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，圆周角定理，中位线定理，解题的关键是根据全等三角形的性质得到相等线段，根据直径得到直角．21
cnjy
com
37．如图，是的内接三角形，直径交于点，和的延长线交于点．
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（1）若，求证：．
（2）若点在下半圆上运动，则当点运动到什么位置时，的外心在的一边上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）使是的直径或，理由见解析
【分析】
（1）连接．由垂径定理可得，所以，由圆周角定理可得，所以．由，，即可得，由此可得，即可证得
．
（2）根据已知条件易知不可能为90°，分两种情况讨论：①当时，，根据圆周角定理的推论可得为的直径．所以此时的外心在的边上；②当，是直角三角形，所以．所以此时的外心在的边上．
【详解】
（1）如图，连接．
∵，∴，∴，
又，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴．
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（2）当是的直径或时，的外心在的一边上．理由如下：
易知不可能为90°，分两种情况讨论：
①当时，，∴为的直径．
此时的外心在的边上；
②当，是直角三角形，∴．
此时的外心在的边上．
综上所述，当点运动到使是的直径或时，的外心在的一边上．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论、三角形外心等知识，解决第（2）问时要注意分情况讨论，不要漏解．
38．如图，已知是半径为2的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于E点，且为等边三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长度；
（3）若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）由是直径，得到，由于为等边三角形，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形求出、、根据勾股定理求出即可；
（3）过点作于点，设，根据等边三角形的性质得到，，在根据已知条件得到，根据直角三角形的性质得到，推出，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：是直径，
，
为等边三角形，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）过点作于点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴DM=DF-MF=，
∴AD==；
（3）证明：设，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
是等边三角形，
，，
在中，，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
39．如图，在的内接四边形中，，，点E在上．
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（1）若的半径为2，则的长为多少？
（2）连接，当时，恰好是的内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】（1）；（2）12
【分析】
（1）连接BD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60°，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由弧长公式即可得出的长；
（2）连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∴==；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，
∴n==12．
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【点睛】
此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
40．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，求的半径及的长．
【答案】（1）见解析；（2）半径为5，BF为
【分析】
（1）先根据圆周角定理得到∠BA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)C=∠DBC，∠ACB=90°，再利用等角的余角相等得到∠BAC=∠BCE，所以∠BCE=∠CBD，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；
（2）利用得到CB=CD=6，则利用勾股定理可计算出AB=10，从而得到⊙O的半径为5，再利用面积法得到CE=，则利用勾股定理可计算出BE=，设EF=x，则CF=BF=-x，利用勾股定理得到x2+（）2=（-x）2，然后解方程可得到BF的长．
【详解】
解：（1）证明：∵C是的中点，即，
∴∠BAC=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，即∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∴∠BCE=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）∵，
∴CB=CD=6，
在Rt△ABC中，AB==10，
∴⊙O的半径为5，
∵×CE×AB=AC×BC，
∴CE==，
在Rt△BCE中，BE=，
设EF=x，则CF=BF=-x，
在Rt△BEF中，x2+（）2=（-x）2，
解得：x=，
∴BF=-=，
∴O的半径为5，EF的长为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
41．在中，直径于点E，连结并延长交于点F，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的度数；
（2）若的长为2，求的长．
【答案】（1）60°；（2）
【分析】
（1）连接BD，由直径所对的圆周角为直角可知，得到，再由圆周角定理得到，即，可算出，从而得到的度数；
（2）由垂径定理和可知，再由三角函数即可算出结果．
【详解】
解（1）连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是的直径，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∴
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及三角函数的内容，正确连接辅助线是解题的关键．
42．如图，是的外接圆，是的直径，的角平分线交于点D，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）证明；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析
【分析】
（1）证明，即可得出结论；
（2）四边形ABCD是菱形，先证明四边形是平行四边形，再根据可得结论．
【详解】
解：（1）证明∵平分
∴
∴
∵是半径
∴
（2）∵是的直径
∴
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理，证明四边形是平行四边形是解答此题的关键．
43．如图，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）判断的形状，并证明；
（2）求BD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）
【分析】
（1）先根据角平分线定义得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)∠ACD
=
∠DCB,再利用圆周角定理得∠ACD
=
∠ABD,∠DCB
=
∠DAB,等量代换即可求解,
（2）利用直径和勾股定理即可得出答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）△ADB是等腰直角三角形.
证明：∵CD平分∠ACB,
∴
∠ACD
=
∠DCB.
∵
∠ACD
=
∠ABD,∠DCB
=
∠DAB,
∴
∠ABD
=
∠DAB.
∴AD=BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
（2）在Rt△ADB中,
AD2+BD2=AB2,
∴2BD2=AB2,
∴BD=AB=×6=(cm)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．21教育网
44．已知等边内接于⊙O．点为上的一个动点，连结．
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（1）如图1，当线段经过点时，试写出线段之间满足的等量关系，并说明理由；
（2）如图2，点为上的任意一点（点不与点、点重合），试探究线段之间满足的等量关系，并证明你的结论；2-1-c-n-j-y
【答案】（1），见解析；（2），见解析
【分析】
（1）由圆周角定理得出，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，证出，证明，得出，即可得出结论．
【详解】
解：（1），理由如下：
∵线段经过点，
是的直径，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2），理由如下：
在上截取，连接，如图2所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，，
，
，
【点睛】
本题是园的综合题目，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等，熟悉掌握圆周角定理和等边三角形的性质是解题的关键．
45．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F
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（1）求证：OD⊥BE；
（2）连接AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）首先证明BE⊥AC，AD⊥BC，再证明OD∥AC，可得结论．
（2）由题意AE＝DF，利用三角形中位线定理证明OF＝AE＝DF，根据OD＝1，求出DF即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC，AE⊥BE，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∵BO＝OA，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE．
（2）∵△AGE≌△DGF，
∴AE＝DF，
∵AO＝OB，FO∥AE，
∴EF＝FB，
∴OF＝AE＝DF，
∵AB＝2，
∴OD＝AB＝1，
∴DF＝OD＝，
∴AE＝DF＝．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了直径上的圆周角是直角，平行线的性质，三角形的中位线，全等三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
46．如图，是半圆O的直径，D是的中点，于点E，交于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，半圆O的半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连接，根据求出，根据求出，即可得证；
（2）连接交于点H，求出AD，根据勾股定理得到，求出OH，然后根据三角形的中位线求出BC即可．
【详解】
解：（1）连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵D为的中点，∴，
∴，
∵为半圆O的直径，且，
∴，
∴，
∴；
（2）连接交于点H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，，
在中，，在中，，
∴，
即，
解得，
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查圆周角、勾股定理、三角形的中位线，垂径定理，解题的关键是综合运用知识点解题．
47．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
连接AC、OA、OB、O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．www.21-cn-jy.com
【详解】
证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，
∴∠BOC＝∠AOD，
∴，
∴，即．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【来源：21·世纪·教育·网】
48．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据AB＝CD得到，推出，得到，由此得到结论．
【详解】
证明：∵AB＝CD，
∴，
∴,
即，
∴，
∴CE＝BE．
【点睛】
此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出是解题的关键．
49．如图，内接于．是的直径，C是弧的中点，弦于点H，连结，分别交于点P、Q．连结．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若的半径为5，．求的长．
（2）求证：．
（3）求证；P是线段的中点.
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）连接OC，根据勾股定理求出CH，再根据垂径定理求出即可．
（2）根据垂径定理得出AB垂直平分CE，推出H为CE中点，弧AC=弧AE，根据圆周角定理推出即可．
（3）根据圆周角定理求出∠ACH=∠CAD，推出AP=CP，求出∠PCQ=∠CQP，推出PC=PQ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）连接OC，
∵BH=8，OB=OC=5，
∴OH=3
∴由勾股定理得：CH==4，
∵CE⊥AB，
∴CH=EH=4，
∴CE=8；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE，
即H为CE中点，弧AC=弧AE
又∵C是弧AD的中点，
∴弧AC=弧CD
∴弧AC=弧CD=弧AE
∴∠ACH=∠CBD；
（3）由（2）知，∠ACH=∠CBD，
又∵∠CAD=∠CBD
∴∠ACH=∠CAD，
∴AP=CP
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠PCQ=90°-∠ACH，∠PQC=∠BQD=90°-∠CBD，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，
即P是线段AQ的中点．
【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
50．如图，在△ABC中，AB为半圆的直径，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，点C在半圆外，作△ABC的高CD．
（2）如图2，点C在半圆内，作△ABC的高CE．
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【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）如图1，连接AE、BF，它们相交于点G，连接CG并延长交AB于D，则CD为△ABC的高；
（2）如图2，延长AC、BC交半圆与F、D，它们相交于点G，连接GC并延长交AB于E，则CE为△ABC的高；
【详解】
解：（1）如图1，CD为△ABC的高；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
证明：∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∴AE和BF为△ABC的高，
∵三角形的三条高相交于一点，
∴CD为AB边上的高．
（2）如图2，CE为△ABC的高．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，
∴AF和BD为△ABC的高，
∵三角形的三条高相交于一点，
∴CE为AB边上的高．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟知“直径所对的圆周角是直角”和“三角形的三条高相交于一点”是解题关键．
51．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过点D作DFAC交⊙O于点F，连接AF，CF，过点A作AG⊥DF延长线于点G．
（1）求证：CA＝CF．
（2）若tan∠ACF＝，CF﹣GF＝9，求△ACF的面积．
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【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接AD．想办法证明AC=AD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD=CF，可得结论．
（2）过点A作AH⊥CF于H．证明△AFG≌△AFH（AAS），推出FG=FH，因为CF-FG=CF-FH=CH=9，求出AH，AC可得结论．
【详解】
（1）如图所示，连接AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∵AC∥DF，
∴
∴，
∴，
∴AD=CF，
∴AC=CF．
（2）如图所示，过点A作AH⊥CF于H．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠AFG+∠AFD=180°，∠AFD+∠ACD=180°，
∴∠AFG=∠ACD，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠AFC，
∴∠AFG=∠AFH，
∵AG⊥FG，AH⊥FH，
∴∠G=∠AHF=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFH（AAS），
∴FG=FH，
∵CF-FG=CF-FH=CH=9，tan∠ACH==，
∴AH=6，
∴AC=CF=，
∴S△ACF=
故答案为
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
52．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
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【答案】（1）30°；（2）5
【分析】
（1）根据垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠DEB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可．
【详解】
解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°，
∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理及勾股定理是解题关键．
53．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为的中点，连接DA，DB，DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F．
(1)求∠CED的度数；
(2)求证：AE=BD．
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【答案】（1）45°；（2）见解析．
【分析】
(1)根据圆周角定理求出∠CDE，再求∠CED即可；
(2)通过弧相等，证明角相等和弦相等，再利用等腰三角形的判定证明即可．
【详解】
(1)解
∵∠CDE=∠AOC=45°，
∴在Rt△CDE中，∠CED=90°-∠CDE=45°；
(2)证明：连接AC，由(1)可得CE=CD．
∵D为的中点，，
∴CD=BD，∠CAE=∠BAE，
∴CE=BD．
∵∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠ACE=∠CED-∠CAE=22.5°，
∴CE=AE，
∴AE=BD．
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【点睛】
本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用相关知识，准确进行证明和推理．
54．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【分析】
（1）首先根据垂径定理得出AC＝BC，然后根据圆周角定理的推论得出∠BAC＝∠BPC＝60°，从而可证明△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，首先求出∠ACD＝30°，然后利用圆周角定理得出∠AOD=60°，最后利用Rt△OAM求解即可．
【详解】
解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴，
∴AC＝BC，
∵∠BPC＝60°，，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，
∵∠CAB=60°，弦AB⊥CD，
∴∠AMO=90°，∠ACD＝180°-90°-60°=30°．
∵弧AD=弧AD，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，
∵在Rt△OAM中，∠OAM=90°-60°=30°，DM=2，
∴OA=2OM，
即OA=2（OA-DM），
OA=4，
∴⊙O的半径为4．
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【点睛】
本题主要考查圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质，圆周角定理及其推论是关键．
55．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．
（1）求证：；
（2）若的度数为50°，求∠C的度数．
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【答案】（1）见详解；（2）．
【分析】
（1）要证明，则要证明∠DAF=∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据的度数为50°，得到∠BAF=50°，于是得到∠B=∠AFB=（180°∠BAF）=65°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接AF．
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∵A为圆心，∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴；
（2）解：∵的度数为50°，
∴∠BAF=50°，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB=（180°∠BAF）=65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C=180°∠B=115°．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出∠DAF=∠GAD，题目比较典型，难度不大．
56．如图，是的内接三角形．
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（1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，试确定的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线EF，作线段BC的垂直平分线MN，直线EF交MN于点O，点O即为所求作．
（2）证明△BOC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图：点O即为所求作．
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（2）连接并延长交于点D，连接，则，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴是的直径，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴的半径为．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
57．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AM，AN．只要证明∠APD＝∠ADP即可．
（2）连AO，OM交AB于E，设PE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
（1）证明：如图，连AM，AN，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2
）解：如图，连AO，OM交AB于E，
设PE＝x，
∵，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣(x+3)2＝()2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
58．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）26
【分析】
（1）先根据垂径定理求出，再根据圆周角定理即可得出∠BCD＝∠BAC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝18﹣r，OC＝r，在Rt△OCE中根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝18﹣r，OC＝r，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴CE＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCE中，
OE2+CE2＝OC2，即（18﹣r）2+122＝r2，解得r＝13，
∴AB＝2×13＝26．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
59．（1）如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F，G．则_______．
（2）类比探究：如图2，把上题中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，请求出的度数；通过以上两例探索，请写出一个关于与的数量关系的正确结论：_________________；
（3）拓展延伸：如图3，若以正方形的顶点O为原点，顶点A，D分别在x轴，y轴上，点A的坐标为，设正方形的中心为P，平面上一点F到P的距离为．
①直接写出的度数；
②当时，求点F的坐标；并探索是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①；②有，
【分析】
（1）证明∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°得∠1+∠3=60°，进一步可得结论；
（2）连接，证明，再进一步证明得，故可得结论；
（3）①由题意可知，点F在以P为圆心，为半径的圆上，由圆周角定理可得结论；②设，根据三角形面积公式求出y的值，在中，，根据勾股定理得，列出方程求出x的值即可得点F的坐标，当轴时，面积最大，求值即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE=90°，AE=AC，∠1=∠2．
∵正△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，
∴AE=AB，得∠3=∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴∠1+∠3=60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1=90°，
∴∠FEG=30°．
故答案为：；
（2）连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵C，E关于对称
∴
∴
∴；
在正方形中，
∴，
∴；
在中，；
即
∵
∴
∴
∴
结论：
（3）①由题意可知，点F在以P为圆心，为半径的圆上，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连接
，则
∴
故答案为：
②设则
即，
由题意得，
∴
由题意可知，点F在以P为圆心，为半径的圆上；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点P作轴，过点F作轴，则
在中，，
根据勾股定理得
即
解得
故或
，当轴时，面积最大，此时
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
60．在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，请你直接写出与的关系．
（2）如图2，当，分别在边，的延长线上移动时，连接，，，当为等腰三角形时，求的值．
（3）如图3，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，由于点，的移动，使得点也随之运动．若，求线段的最小值．
【答案】（1）；（2）或2:1；（3）
【分析】
（1）根据正方形的性质得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，利用运动速度与时间得出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，得出AE=DF，∠DAE=∠FDC即可；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由利用三角形全等证出DE=DC
=a即可；
（3）由于点P在运动中保
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)持∠APD=90°，所以点P的路径以AD中点为圆心，AD为直径的弧DG，设AD的中点为Q，连接QC，当点Q、P、C三点共线时，CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
【详解】
解：（1），；理由是：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，
∴，
在和中，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）或．
理由：有两种情况：
如图1，当时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设正方形的边长为，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：，
则；
②如图2，当时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，即，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴，
∴CE=2CD=2，
∴；
综上所述，或2:1；
故答案为：或2:1；
（3）设的中点为，
如图：由于点在运动中保持，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴点的路径是一段以的中点为圆心，以为直径的弧，
连结CQ，当点C、P、Q共线时CP最短，
∵PQ+CP≥CQ，
∴CP≥CQ-PQ，
在中，，
∴．
即的最小值为：
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质，勾股定理，圆周角性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，解题时需要运用分类讨论思想．
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"
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2.4
圆周角
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．1
2．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（
）
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A．116
B．120
C．122
D．128
3．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
4．如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（
）www.21-cn-jy.com
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A．
B．
C．
D．1
5．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（
）
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A．
B．
C．
D．
6．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
7．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（
）
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A．
B．
C．1
D．2
8．如图，、是上的两点，，交于点，则等于（
）
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A．
B．
C．
D．
9．如图，点，，，都在⊙O上，且，AB=AD，S四边形ABCD
=（
）
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A．
B．
C．
D．6
10．如图，为的直径，点、点是上的两点，连接，，．若，则的度数是（
）
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A．40°
B．45°
C．55°
D．100°
11．如图，为的直径，点C．D在上．若，则的度数是（　　　）
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A．
B．
C．
D．
12．如图，点P在以AB为直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（　　）21教育名师原创作品
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A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
13．如图，已知是的直径，与相交于点，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
14．如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（
）
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A．
B．
C．
D．
15．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若ACOB，OC＝4，AB＝5，则BC＝（　　）
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A．5
B．
C．
D．8
16．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，且，，则BE的长为（
）
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A．
B．
C．
D．2
17．如图，在中，弦，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
18．如图，在中，，若为劣弧上的一点，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
19．如图，是的直径，点D为内一点，连接，且，垂足为D，若，，则的长为（
）
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A．
B．4
C．
D．4.8
20．如图，锐角内接于⊙于点
，连结，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
21．如图，是的直径，点，为上的点．若，则的度数为（
）．
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A．70°
B．100°
C．110°
D．140°
22．如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（
）2·1·c·n·j·y
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A．6
B．
C．5
D．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝20°，则∠AOE的度数为（
）
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A．120°
B．80°
C．110°
D．100°
24．如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（
）2-1-c-n-j-y
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A．
B．
C．
D．
25．如图，四边形是⊙O的内接四边形，，连接．若，⊙O的半径为，则的长为（
）
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A．
B．
C．8
D．7
26．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（
）
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A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（
）
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A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
28．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）21
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
29．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（　　）
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A．240°
B．120°
C．90°
D．60°
30．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　）
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A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
二、填空题
31．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是_____．
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32．如图，△ABC内接于⊙O，
E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．【出处：21教育名师】
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33．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．
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34．如图，是的直径，点、在上，弧的度数是90°，，，则的直径长为______．21·世纪
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35．如图，是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，，则⊙O的半径长为________．
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三、解答题
36．如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分．
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（1）若，求的长；
（2）若，求弦的长；
（3）设．用含的代数式表示．
37．如图，是的内接三角形，直径交于点，和的延长线交于点．
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（1）若，求证：．
（2）若点在下半圆上运动，则当点运动到什么位置时，的外心在的一边上？请说明理由．
38．如图，已知是半径为2的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于E点，且为等边三角形．21·cn·jy·com
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（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长度；
（3）若，求证：．
39．如图，在的内接四边形中，，，点E在上．
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（1）若的半径为2，则的长为多少？
（2）连接，当时，恰好是的内接正n边形的一边，求n的值．
40．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F．
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（1）求证：；
（2）若，求的半径及的长．
41．在中，直径于点E，连结并延长交于点F，且．
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（1）求的度数；
（2）若的长为2，求的长．
42．如图，是的外接圆，是的直径，的角平分线交于点D，连接．
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（1）证明；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
43．如图，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）判断的形状，并证明；
（2）求BD的长．
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44．已知等边内接于⊙O．点为上的一个动点，连结．
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（1）如图1，当线段经过点时，试写出线段之间满足的等量关系，并说明理由；
（2）如图2，点为上的任意一点（点不与点、点重合），试探究线段之间满足的等量关系，并证明你的结论；21cnjy.com
45．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F
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（1）求证：OD⊥BE；
（2）连接AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．
46．如图，是半圆O的直径，D是的中点，于点E，交于点F．
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（1）求证：；
（2）若，半圆O的半径为5，求的长．
47．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
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48．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
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49．如图，内接于．是的直径，C是弧的中点，弦于点H，连结，分别交于点P、Q．连结．www-2-1-cnjy-com
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（1）若的半径为5，．求的长．
（2）求证：．
（3）求证；P是线段的中点.
50．如图，在△ABC中，AB为半圆的直径，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，点C在半圆外，作△ABC的高CD．
（2）如图2，点C在半圆内，作△ABC的高CE．
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51．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过点D作DFAC交⊙O于点F，连接AF，CF，过点A作AG⊥DF延长线于点G．21教育网
（1）求证：CA＝CF．
（2）若tan∠ACF＝，CF﹣GF＝9，求△ACF的面积．
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52．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．【来源：21cnj
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（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
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53．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为的中点，连接DA，DB，DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F．【版权所有：21教育】
(1)求∠CED的度数；
(2)求证：AE=BD．
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54．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．
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55．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．
（1）求证：；
（2）若的度数为50°，求∠C的度数．
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56．如图，是的内接三角形．
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（1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，试确定的半径．
57．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
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58．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．
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59．（1）如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F，G．则_______．21世纪教育网版权所有
（2）类比探究：如图2，把上题中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，请求出的度数；通过以上两例探索，请写出一个关于与的数量关系的正确结论：_________________；
（3）拓展延伸：如图3，若以正方形的顶点O为原点，顶点A，D分别在x轴，y轴上，点A的坐标为，设正方形的中心为P，平面上一点F到P的距离为．【来源：21·世纪·教育·网】
①直接写出的度数；
②当时，求点F的坐标；并探索是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
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60．在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
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（1）如图1，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，请你直接写出与的关系．21
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（2）如图2，当，分别在边，的延长线上移动时，连接，，，当为等腰三角形时，求的值．
（3）如图3，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，由于点，的移动，使得点也随之运动．若，求线段的最小值．
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精品试卷·第
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页
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