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2.5
直线与圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2．下列说法中，正确的是（
）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．
3．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交或相切
4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．128°
B．126°
C．122°
D．120°
5．如图，
PA，PB，DE分别切⊙O于点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（ ）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．不能确定
6．如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是4cm，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
8．如图，已知正方形ABCD的边长是8
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
10．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：①
；②；③点是的外心，其中正确结论是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
12．下列关于三角形的内心说法正确的是（
）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
13．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
14．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法判断
15．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（
）www.21-cn-jy.com
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A．
B．
C．
D．
16．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
17．已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么(
)
A．0＜OP＜3
B．OP＝3
C．OP＞3
D．OP≥3
18．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．0个
B．1个
C．2个
D．无法确定
19．如图，交于点，切于点，点在上.
若，则为（
）
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A．
B．
C．
D．
20．如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．
D．
21．如图，AB是⊙O的切线，A为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝27°，则∠B的度数等于（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．28°
B．36°
C．44°
D．56°
22．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙
O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．65°
B．55°
C．50°
D．60°
23．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙О相切，切点为B，如果∠A＝40°，那么∠C等于（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
24．如图，点，，在O上，，过点作的切线交的延长线于点，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．56°
C．28°
D．34°
25．如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．22°
B．26°
C．29°
D．32°
26．如图，已知与相切于点，的延长线交于点，连接，的半径为3，，则的长为（
）21
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com
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A．6
B．9
C．
D．
27．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
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A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
28．如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．7
29．如图，的半径为4，切于点是直径．若于点且，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．4
C．6
D．
30．如图，P为O外一点，PA、PB分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别切O于点A、B，CD切O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为(
)21cnjy.com
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A．5
B．7
C．8
D．10
二、填空题
31．如图，分别切于点D，E，F，若的周长为36，则的长是___________．
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32．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
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33．如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为_____________．【出处：21教育名师】
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34．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
35．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．21教育名师原创作品
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三、解答题
36．如图，在⊙O中，是直径，是切线，B为切点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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37．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2，求BC的长度．
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38．如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O
的切线；
（2）求点O到直线DE的距离．
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39．如图，在中，，点D是AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，点E在AB上，NE为⊙O的切线．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为5，，求BN的长．
40．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
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41．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA=CP，．21
cnjy
com
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（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求弦AC的长．
42．如图，在△ABC中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
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（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．
43．已知：如图，中，，以AC为弦作⊙，交的延长线于点，且．过点作⊙的切线，交的延长线于点．2·1·c·n·j·y
（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的度数为________°．
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44．如图，在中，，，是其内部一点，平分，连接，在上取一点，使，连接．
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（1）求证：≌；
（2）若，连接，求的度数；
（3）若是的内心，过作于，求的取值范围．
45．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
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（1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
46．如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交
于点.
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(1)求证：；
(2)若，求的度数.
47．如图所示，已知的边AB是的切线，切点为B，AC经过圆心并与圆相交于点，过点C作直线，交的延长线于点E．求证：CB平分．【来源：21·世纪·教育·网】
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48．在中，，点为边上的一点，以点为圆心，为半径的圆弧与相切于点，交于点，连接.求证：平分.【来源：21cnj
y.co
m】
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49．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
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50．在⊙O中，直径弦于点，点是弧上一点，点在的延长线上，．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接，若∥，，，求的长．
51．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
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52．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
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（1）求证：；
（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
53．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，【版权所有：21教育】
求证：；
若求平分．
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54．如图，是⊙
的直径，与⊙
相切于点
，
点
在⊙
上，，求证：是⊙
的切线.21·cn·jy·com
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55．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB，
交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
(1)求证：AB=AC
(2)若AD=4，cos∠ABF
=，求BF的长．
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56．如图，已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．
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（1）请探究EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求⊙O的周长．
57．如图，AB是直径，分别过上点B,C的切线，且，连接AC．
（1）求的度数；
（2）若的直径为6，求的长（结果保留π）．
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58．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．21·世纪
教育网
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
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59．如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
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60．如图，在半径为3的中，是直径，是弦，且，过点作直径，垂足为点，过点的直线交的延长线和的延长线于点．
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（1）求线段的长；
（2）若，求证：是的切线；
（3）在（2）的条件下，求的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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直线与圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
2．下列说法中，正确的是（
）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．
【答案】C
【分析】
根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】
A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交或相切
【答案】B
【分析】
利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，
，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（
）
A．128°
B．126°
C．122°
D．120°
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】
在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】
考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
5．如图，
PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．
【详解】
连接OA．
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
∴△PDE的周长为2AP＝8
∴AP＝4
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO＝=3，
∴⊙O的半径为3．
故选B．
【点睛】
本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．
6．如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出的度数．
【详解】
连接CO，∵
∴
∵切于点，
∴
故=
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理与切线的性质．
7．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是4cm，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
【答案】B
【分析】
先确定圆的半径为5cm，而圆心到直线的距离为4cm，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】
∵圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离为4cm，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．
8．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．
∵D′C′＝8，OC′＝12
∴D′O＝
∴D′G＝
∴PD＋PG的最小值为
故选B．
【点睛】
本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
9．如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵∠B＝25°，
∴∠COD＝2∠B＝50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠D＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理以及三角形的内角和定理，属于基础题目，易于掌握．
10．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：①
；②；③点是的外心，其中正确结论是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】C
【分析】
由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
【详解】
∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故②正确；
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为的中点，即，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故选C．
【点睛】
此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】B
【分析】
先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.
12．下列关于三角形的内心说法正确的是（
）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【分析】
根据三角形内心定义即可得到答案.
【详解】
∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A正确，B、C、D均错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.
13．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】
设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】
解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】
此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
14．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
15．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质可得:
∠BAP=90°,然后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC,最后根据圆周角定理即可求出．
【详解】
解:∵直线与圆相切
∴∠BAP=90°
∵
∴∠AOC=180°－∠BAP－∠P=48°
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是切线的性质和圆周角定理,掌握切线的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
16．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d17．已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么(
)
A．0＜OP＜3
B．OP＝3
C．OP＞3
D．OP≥3
【答案】D
【分析】
由相切的性质可知，圆心到直线的距离d=r，而p可能是切点，也可能是其他点，因此OP≥3
【详解】
解：切点到圆心的距离等于半径，出切点外直线上任一点到圆心的距离都大于半径即大于3，所以OP≥3
故选
D
【点睛】
此题主要考查了切线的性质，熟练掌握基本性质是解题的关键.
18．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无法确定
【答案】C
【分析】
过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
19．如图，交于点，切于点，点在上.
若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为（
）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】
设与的切点为点Q，连接OQ，根据圆的切线性质可得，，则是直角三角形，且有一角等于，根据直角三角形的性质即可得.
【详解】
设与的切点为点Q，连接OQ，OQ为半径
是直角三角形，且有一锐角
.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、直角三角形的性质（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用这些性质是解题关键.
21．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝27°，则∠B的度数等于（
）
A．28°
B．36°
C．44°
D．56°
【答案】B
【分析】
连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，再根据圆周角定理得出∠AOB＝54°，然后根据直角三角形的性质求出∠B．
【详解】
解：连接OA，
∵∠ADC＝27°，
∴∠AOB=2∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=90°-∠AOB=36°，
故选：B
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握相关的知识是解题的关键．
22．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙
O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是
（
）
A．65°
B．55°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得出AC⊥BC，求出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A=∠ADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】
解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠A=90°-∠ABC=25°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=25°，
∴∠COD=∠A+∠ADO=50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．
23．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙О相切，切点为B，如果∠A＝40°，那么∠C等于（
）
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】
连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据圆周角定理计算
的度数．
【详解】
解：如图示，连接，
边与相切，切点为，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
24．如图，点，，在O上，，过点作的切线交的延长线于点，则（
）
A．30°
B．56°
C．28°
D．34°
【答案】D
【分析】
分别求出∠AOC和∠OCD，利用三角形内角和为180°，即可求出∠D．
【详解】
解：因为CD是的切线，
∠OCD=90°，
∵∠ABC=28°，
∴∠AOC=56°，
∴∠D=180°∠AOC∠OCD=34°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的内角和公式求出∠D的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查．
25．如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（
）
A．22°
B．26°
C．29°
D．32°
【答案】D
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到△OCB为直角三角形，再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠D，从而求解∠B即可．
【详解】
如图所示，连接OC，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，△OCB为直角三角形，
根据圆周角定理，∠AOC=2∠D=58°，
∴∠B=90°-∠AOC=90°-58°=32°，
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质以及圆周角定理，熟记圆中的基本性质和定理是解题关键．
26．如图，已知与相切于点，的延长线交于点，连接，的半径为3，，则的长为（
）
A．6
B．9
C．
D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质定理，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半可求OC，在加上OA即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，
∵BC与⊙O相切于点B
∴OB⊥BC
∵⊙O的半径为3，∠C＝30°
∴OC＝6，OA＝3
∴AC＝9
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，解题关键是熟知性质定理，熟练运用性质定理．
27．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
28．如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【详解】
解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
29．如图，的半径为4，切于点是直径．若于点且，则的长度为（
）
A．
B．4
C．6
D．
【答案】D
【分析】
根据切线的性质求出∠ODE=30°，可知OF=2，勾股定理可求ED．
【详解】
解：∵切于点D，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠ODE=30°
∵，OD=4，
∴EF=DF，OF=OD=2，
EF=，
,
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，解题关键是根据切线的性质求出30°角，再用勾股定理解决问题．
30．如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为(
)
A．5
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
根据切线长定理求解即可
【详解】
解：∵PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，PA=4，
∴PA=PB=4，AC=CE，BD=DE，
∴△PCD的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．
二、填空题
31．如图，分别切于点D，E，F，若的周长为36，则的长是___________．
【答案】18
【分析】
根据切线长定理得，，，即可得到，就可以求出AD的长．
【详解】
解：∵AD、AE是的切线，
∴，
同理：，，
∵，
∴．
故答案是：18．
【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
32．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
【答案】1.5
【分析】
根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为1.5．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
33．如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为_____________．
【答案】34°
【分析】
连接OA，根据切线性质可得∠PAO=90°，根据圆周角和圆心角的关系可得∠O，继而利用互余即可求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示：
∵PA
与
⊙O
相切
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠ABC=56°，
∴∠P=90°－56°=34°．
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．
34．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
【答案】相离
【分析】
根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【详解】
圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
35．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
【答案】48°
【分析】
根据圆周角定理得出，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
解：，
，
是的直径，直线与相切与点，
，
．
故答案为48°.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题
36．如图，在⊙O中，是直径，是切线，B为切点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）41°
【分析】
（1）先根据是直径得∠ADB＝∠CBD＝90°，AB＝CD，利用HL进行证明即可；
（2）根据切线和直径的性质得，则可得，再由同弧所对的圆周角相等得∠ADC＝∠ABC＝41°．
【详解】
解：（1）证明：∵是直径，
∴
在和中，
（2）解：是切线，是直径，
∴，
∴．
即．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，熟练掌握直径所对的圆周角是直角、切线的性质、圆周角定理是解答此题的关键．
37．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2，求BC的长度．
【答案】（1）45°；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质求解即可；
（2）在（1）的基础上，推出等腰直角三角形，进而求解即可．
【详解】
（1）连接，则，，，
，
，
（2），，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟悉基本辅助线的添加，灵活计算证明是解题关键．
38．如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O
的切线；
（2）求点O到直线DE的距离．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC＝90°，则CD⊥AB，再利用等腰三角形的性质得AD＝BD，于是可判断OD为△CAB的中位线，所以OD∥CA，然后证明DE⊥AC，于是利用切线的判定定理可得到结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离．
【详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，
∵CD为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CB＝CA，
∴AD＝BD，
而BO＝CO，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥CA，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接OD，
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
39．如图，在中，，点D是AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，点E在AB上，NE为⊙O的切线．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为5，，求BN的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接ON，DN，由题意易得，，进而可证，由切线定理可得，最后根据平行线的性质可求证；
（2）由题意易得，然后根据勾股定理及（1）可求解．
【详解】
（1）证明：如图，连接ON，DN，
，点D是AB的中点，
，
CD为⊙O的直径，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
，
NE是⊙O的切线，
，
，
；
（2）解：⊙O的半径为5，
，
，CD是斜边AB上的中线，
，
，
．
由（1），得，
．
【点睛】
本题主要考查切线定理及圆周角，熟练掌握切线定理及圆周角是解题的关键．
40．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
【详解】
（1）和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
41．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA=CP，．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求弦AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，由CA=CP，∠A＝30，可得出∠P＝30°，则∠ACP＝120°，OA＝OC，则∠OCA＝30°，因为∠PCO＝∠ACP∠OCA，所以∠PCO＝＝90°，即OC⊥CP，则
PC为⊙O的切线；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得OP＝2OC＝4，再运用勾股定理可求出CP的长，即为AC的长．
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
∵CA=CP，∠A＝30°，
∴∠P＝∠A＝30°．
∴∠ACP＝180°2∠A
＝120°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠PCO＝∠ACP∠OCA
＝120°30°＝90°．
∴OC⊥CP．
∴CP是⊙O的切线．
（2）解∵OA=2，OA＝OC，
∴OC=2
在Rt△OCP中，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝4．
∴CP＝＝．
∴AC＝CP＝．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定及圆的性质的应用，解决此题的关键是熟练掌握圆的相关性质、判定和勾股定理的应用．
42．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，证明见解析（2）4
【分析】
（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2，
即（R＋2）2＝（2）2＋R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点，能求出BC是⊙O的切线是解此题的关键．
43．已知：如图，中，，以AC为弦作⊙，交的延长线于点，且．过点作⊙的切线，交的延长线于点．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的度数为________°．
【答案】（1），理由见解析；（2）30．
【分析】
（1）连接，由已知条件及平角的定义，计算，根据圆周角90°所对的弦是直径得到为⊙的直径，再由三线合一的性质，可得，，最后根据切线的性质，及同角的余角相等，可证明，结合等量代换可解题；
（2）根据题意，直径AD所对的圆周角为90°，及DC=BC，可由线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等，证明AB=AD，若AB=BE，即点B是AE的中点，由切线性质知，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证明AD=AB=BD，进而证明是等边三角形，根据等边三角形三个内角都为60度，可解得的度数．
【详解】
解：（1）
理由：连接，
为⊙的直径．
,，
是⊙的切线，
，
（2）是⊙的切线，
，
若，
在中，点E是AE的中点，
又AD是直径，
是等边三角形，
故答案为：
【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形三线合一、切线的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图，在中，，，是其内部一点，平分，连接，在上取一点，使，连接．
（1）求证：≌；
（2）若，连接，求的度数；
（3）若是的内心，过作于，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）由SAS证明三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；
（3）过作于，于，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知，再由ASA证明≌，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得，同理解得，，根据三角形三边关系解出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，，
∴≌．
（2）∵≌，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）过作于，于，
∵是的内心，
∴，
∵，，
∴≌，
∴．
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
45．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】（1）∠BOC的度数为70°；（2）见解析．
【分析】
（1）由AP是⊙O的切线，得到
结合
求解，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接，由三角形的中位线的性质证明：证明再证明证明
从而可得答案．
【详解】
解：（1）
AP是⊙O的切线，
（2）如图，连接，
为的中点，
在圆上，
是的切线．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质定理，切线的性质定理，切线的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．
46．如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交
于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
【分析】
（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】
（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，
∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
47．如图所示，已知的边AB是的切线，切点为B，AC经过圆心并与圆相交于点，过点C作直线，交的延长线于点E．求证：CB平分．
【答案】见解析
【分析】
连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，从而证出OB∥CE，根据平行线的性质可得∠OBC=∠BCE，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，从而得出∠OCB=∠BCE，即可得出结论．
【详解】
证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠OBC=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠BCE，
∴CB平分∠ACE．
【点睛】
此题考查的是切线的性质、平行线的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握切线的性质、平行线的判定及性质和等腰三角形的性质是解决此题的关键．
48．在中，，点为边上的一点，以点为圆心，为半径的圆弧与相切于点，交于点，连接.求证：平分.
【答案】见解析
【分析】
连接,根据得出，再根据内错角相等和为等腰三角形进而得出证明即可.
【详解】
证明：连接，
∵以为半径的圆弧与相切于点，
∴.
∴.
∴.
∴.
又∵，
∴，
∴.
∴平分.
【点睛】
本题考查的是切线的性质，解题关键在于对平行的证明，以及对内错角和等腰三角形中等量代换进而得出答案即可.
49．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析（2）2
【分析】
（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．
【详解】
解：（1）如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD==5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
50．在⊙O中，直径弦于点，点是弧上一点，点在的延长线上，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接，若∥，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解；
（2）连接，根据中位线的性质求出DE，CD，再根据在和中，由勾股定理，得：，设，则，代入即可求出DP．
【详解】
（1）证明：连接，如图1所示：
，
，
，．
，，
，
即，
，
是的切线．
（2）解：连接，如图2所示：
，，
为的直径．
，
，
．
，，
，，
，
由（1）知．设，则．
在和中，由勾股定理，得：，
即，
解得：，
．
【点睛】
此题主要考查圆的切线及判定综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线的判定与性质．
51．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
【答案】45°，22.5°
【分析】
连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
【详解】
解：连接．
与相切于点，
．．
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换．
52．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线与⊙O相切，理由见解析．
【分析】
（1）AB为⊙O的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；
（2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为⊙O切线．
【详解】
（1）∵AB为⊙O的直径
∴
在和中
∴（HL）
（2）直线与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由知：，
又∵OA=OB
∴OD为的中位线
∴
∵
∴
∵OD为⊙O的半径
∴DE与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．
53．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
【答案】证明见解析；证明见解析．
【分析】
利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明：
再证明
利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：
从而可得答案．
【详解】
证明：
为直径，
．
证明：
为半圆的切线，
平分．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
54．如图，是⊙
的直径，与⊙
相切于点
，
点
在⊙
上，，求证：是⊙
的切线.
【答案】证明见解析．
【分析】
利用平行线性质和等腰三角形性质易证，进而得出，进而利用切线的性质和判定即可得出结论．
【详解】
证明：如图，连接OC．
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°．
∵CD∥AO，
∴∠4=∠2，∠1=∠3．
∵OC=OD，∴∠2=∠1,
∴∠4=∠3．
又OA=OA，OB=DC,
∴△AOB≌△AOC，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
故AC是⊙O的切线．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质与判定以及平行线性质等知识，根据已知得出是解题关键．
55．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB，
交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
(1)求证：AB=AC
(2)若AD=4，cos∠ABF
=，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）首先连接BD，由弦AD⊥AB，可得BD是直径，又由BF是⊙O的切线且∠ABF＝∠ABC，可证得∠C＝∠ABC，即可得AB＝AC；
（2）由（1）知，，故，利用在中，，再求出AB，再利用在中即可求解．
【详解】
（1）证明：连接.
，即，
为⊙的直径，，
为⊙的切线，
，
，
，
(2)解：由（1）知，
在中，
根据勾股定理，得
在中，
【点睛】
此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
56．如图，已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．
（1）请探究EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求⊙O的周长．
【答案】（1）EF与⊙O相切．理由见解析；（2）⊙O的周长为2πcm．
【分析】
（1）延长BO交AC于H，如图，先证明△ABC为等边三角形，利用点O为△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根据切线的判定定理即可得到EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH＝30°，AH＝CH＝AC＝，再在Rt△AOH中，利用三角函数和计算出OA＝1，然后根据圆的周长公式计算．
【详解】
（1）EF与⊙O相切．理由如下：
延长BO交AC于H，如图，
∵∠BAC＝∠BDC＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点O为△ABC的外心，
∴BH⊥AC，
∵AC∥EF，
∴BH⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴OA平分∠ABC，
∴∠OAH＝30°，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝AC＝，
在Rt△AOH中，∵cos∠OAH＝，
∴OA＝＝1，
∴⊙O的周长＝2π×1＝2π（cm）．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．
57．如图，AB是直径，分别过上点B,C的切线，且，连接AC．
（1）求的度数；
（2）若的直径为6，求的长（结果保留π）．
【答案】（1）35；（2）
【分析】
（1）连接OC，利用切线的性质及四边形的内角和，求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理即可求出结果；
（2）第（1）问已经求出∠BOC的度数，利用弧长公式求解即可．
【详解】
（1）连接OC，如图1：
因为BD,CD分别是切线
所以
(2)
因为圆的直径为6，
所以半径为3，
，
的长度为．
【点睛】
本题考查圆的相关性质和弧长计算，牢记切线的性质、圆周角定理及弧长计算公式是解题的关键．
58．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）4
【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
【详解】
（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
59．如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）=30°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
【详解】
（1）在△AOC中，AC=3，
∵AO=OC=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；
（2）∵OC⊥，BD⊥，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°．
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥OB，
又∵CO∥EB，
∴四边形OBEC?为平行四边形．
又∵OB=OC=3．
∴四边形OBEC是菱形．
【点睛】
此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，平行四边形及菱形的判定，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
60．如图，在半径为3的中，是直径，是弦，且，过点作直径，垂足为点，过点的直线交的延长线和的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）若，求证：是的切线；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）AP＝2，BC＝2（2）见解析（3）cos∠BFC=
【分析】
（1）根据圆周角定理由AB为直径得∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC＝2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP＝BP＝AB＝2；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△BOG∽△POA，根据相似的性质得到∠GBO＝∠OPA＝90°，然后根据切线的判定定理得到FG是⊙O的切线；
（3）由（2）可得∠F＝∠ABC，故根据cos∠BFC=
cos∠ABC=即可求解．
【详解】
（1）∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AC，
∴AP＝PC=AC
∵，
∴AP＝2
又∵OA＝3，∴OP＝1
又AB是⊙O的直径，
∴O为AB的中点，
∴OP＝BC，
∴BC＝2OP＝2．
（2）∵，，
∴
∵∠BOG＝∠POA，
∴△BOG∽△POA，
∴∠OBG＝∠OPA＝90°
又∵AB是直径，
∴FG是⊙O的切线．
(3)由（2）知∠ABF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴∠F＝∠ABC,
∴cos∠BFC=
cos∠ABC=．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质及三角函数的求解．
