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2.1
圆
【基础训练】
一、单选题
1．已知⊙O的半径为8cm，如果一点P和圆心O的距离为8cm，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．不能确定
【答案】B
【分析】
若半径为r，点到圆心的距离为d．当d=r时，点在圆上．
【详解】
解：∵r＝8cm，d＝8cm，
∴d＝r，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
【点睛】
考查了对点与圆的位置关系的判断．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．的半径为2，线段，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法确定
【答案】C
【分析】
由⊙O的半径分别是2，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径是2，点P到圆心O的距离为4，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3．如图，圆的弦中最长的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】
解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
4．已知的直径为8，点P在同一平面内，，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在内
B．点P在上
C．点P在外
D．无法判断
【答案】C
【分析】
先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】
解：∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为4，
∵PO=6＞4，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r；②点P在圆上?d=r；③点P在圆内?d＜r．
5．已知是的弦，的半径为r，下列关系式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据“直径是最长的弦”进行解答即可．
【详解】
解：若是的直径时，，
若AB不是的直径时，无法判定AB与的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握“直径是圆中最长的弦”
．
6．已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（
）
A．点A在⊙O内
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外
D．点A不在⊙O内
【答案】A
【分析】
直接利用点到圆心的距离与半径进行比较即可得出答案．
【详解】
∵⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，，
∴点A在⊙O内，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆的半径与点到圆心的距离之间的关系是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，判断在，，，四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是（
）
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A．点和
B．点和
C．点和
D．点和
【答案】D
【分析】
分别以点和点为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．
【详解】
解：如图，分别以点和点为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点和点的距离都小于2的点是点与点，
故选：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．
8．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（
）
A．0＜r＜3
B．2＜r＜8
C．3＜r＜5
D．r＞5
【答案】C
【分析】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】
解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
9．☉O的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与☉O的位置关系是( )
A．点P在☉O内
B．点P的☉O上
C．点P在☉O外
D．点P在☉O上或☉O外
【答案】A
【分析】
本题先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．2·1·c·n·j·y
【详解】
∵圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，
∴<5，
∴点P在☉O内.
故选A.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
10．已知的半径为，点在内，则的长（
）
A．小于
B．大于
C．等于
D．等于
【答案】A
【分析】
根据点和圆的位置关系，当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，从而求解
【详解】
解：∵的半径为，点在内
∴的长小于
故选：A
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【来源：21cnj
y.co
m】
11．点在半径为的外，则点到圆心的距离与的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据点与圆的位置关系：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．进行分析判断，即可得出结论．
【详解】
解：由点P在半径为r的⊙A外，得：d＞r．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断，解题的关键要牢记点与圆的位置关系的三种情况．
12．已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（
）
A．点在内
B．点在外
C．点在上
D．无法判断
【答案】C
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：∵的半径为5，PO＝5，
∴点与的位置关系是：点P在上．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
13．如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】
根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵<5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
14．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（
）
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A．
B．AD一定经过的重心
C．
D．AD一定经过的外心
【答案】C
【分析】
根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
15．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40?，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．21
cnjy
com
【详解】
解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40?，
∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40?，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70?=40?+∠CDE，
∴∠CDE=30?，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．www.21-cn-jy.com
16．下列命题中，假命题是（
）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C．若，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
【答案】C
【分析】
根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．
【详解】
解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；
B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；
C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；
D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握．
17．如图，点、、在⊙O上，，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．110°
B．125°
C．135°
D．165°
【答案】B
【分析】
连接OB，分别经计算∠ABO和∠CBO的度数即可．
【详解】
解：连接OB，如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=70°．
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠OBA=70°．
∵OC=OB，
∴．
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，熟知同圆的半径相等的性质是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（
）
A．在⊙O上
B．在⊙O内
C．在⊙O外
D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．
【详解】
解：∵点A的坐标为（1，），
∴由勾股定理可得：OA=，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径间的大小关系确定的：（1）当时，点在圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内．
19．若⊙O的半径为5，点P到圆心的距离为d，当点P在圆上时，则有（
）
A．d＜5
B．d＞5
C．d
=
5
D．d
=
【答案】C
【分析】
当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内；根据点与圆的这种位置关系，可确定d的值．
【详解】
由于点P在圆上，所以点P到圆心的距离等于圆的半径，即d=5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，当点在圆上时，点到圆心的距离等于圆的半径，关键是熟悉点与圆的位置关系，取决于点到圆心的距离与半径的大小．21cnjy.com
20．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于B，C两点，连接，若，则的度数为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据同圆半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】
解：由圆的半径得：，
，
，，
，
，
解得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握同圆半径相等是解题关键．
21．已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，
∴线段OA的长度＜5cm．
故选：A．
【点睛】
此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内．
22．的半径为5，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（
）
A．无法确定
B．点在外
C．点在上
D．点在内
【答案】D
【分析】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
的半径为5，点到圆心的距离为4，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．21
cnjy
com
23．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（
）
A．圆是曲线图形
B．同一圆中所有直径都相等
C．圆有无数多条对称轴
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
【答案】B
【分析】
根据同圆的直径都相等即可解答．
【详解】
解：圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了同一圆中所有直径都相等．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，掌握同圆的直径都相等是解答的关键．
24．已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（
）
A．点P在O上
B．点P在O内
C．点P在O外
D．无法判断点P与O的位置关系
【答案】C
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d
【详解】
解：∵⊙O的直径为6，
∴r=3，
∵OP=4>3，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d
=r时，点在圆上，当d教育网
25．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
∵的外心P到三个顶点的距离相等，
∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由图可知，点P的坐标为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键．
26．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆上
B．点P在圆内
C．点P在圆外
D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O内．
【详解】
解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
27．⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】A
【分析】
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】
解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，
∴OP＜3cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
28．已知的直径为，，则点P和的位置关系是（
）
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法判断
【答案】C
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，直径为10cm，
则OP大于⊙O的半径5cm，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
29．直角坐标系的原点为O，⊙O半径为5，点P（4，﹣3）（
）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．无法确定
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．
【详解】
解：∵圆心P的坐标为（4，﹣3），
∴OP==5，
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
30．长度等于的弦所对的圆心角是，则该圆半径为（
）
A．2
B．3
C．6
D．12
【答案】C
【分析】
由45度角的直角三角形边角关系解答即可．
【详解】
解：如图，AB=，∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=×=6，
故选C．
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【点睛】
本题考查了特殊直角三角形边角关系，熟练掌握45度角直角三角形边角关系是解题的关键．
二、填空题
31．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
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【答案】
【分析】
先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键．
32．如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则_______．21世纪教育网版权所有
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【答案】8
【分析】
连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC．【出处：21教育名师】
【详解】
解：连接DE，
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∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE=BC，
∴BC=2DE，
∵M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN=DE，
∴DE=2MN，
∴BC=4MN，
∵MN=2，
∴BC=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
33．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①
【分析】
根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．
【详解】
解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；
②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；
故答案为：①．
【点睛】
本题考查了直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质，都属于基本知识，解题的关键是联系实际，掌握相应性质定理．
34．在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为______，最小为_______．
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【答案】3
2
【分析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB==5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=2.5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=0.5．
∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3．
∴最小值为2，最大值为3，
故答案为：3，2．
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【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
35．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为______．
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【答案】
【分析】
连接BO，过O作OE⊥AB，根据平行四边形的性质和圆的性质得出△ABO为等边三角形，即∠OAB＝60°，∠AOE＝30°，AE＝AO＝1，OE＝，由平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】
解：连接BO，过O作OE⊥AB与AB交于点E，如图，
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∵点，，在上，四边形是平行四边形，，
∴，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠OAB＝60°，∠AOE＝30°，
∴AE＝AO＝1，OE＝，
∴四边形的面积：2×＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形中30度所对的边是斜边的一般，以及平行四边形的面积公式，熟练掌握各性质是解题的关键．
三、解答题
36．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．
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【答案】见解析
【分析】
取AB的中点O，连接DO、HO，根据BD，AH分别是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角三角形，斜边都是AB，而点O为斜边中点，则有DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是说以O为圆心、OA为半径的圆，点D、H、B也在这个圆上，即可证明A、B、H、D四点共圆．
【详解】
证明：如图，取的中点，连接、，
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∵BD，AH分别是的高，
和都是直角三角形，且它们的斜边都是，
∵点为斜边中点，
，
也就是说，点、、在以为圆心、为半径的圆上，
即点、、、都在以为圆心、以为半径的圆上，
故可得：、、、四点共圆．
【点睛】
本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．
37．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．21教育网
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【答案】
【分析】
连接，由题意易得，则有，进而问题可求解．
【详解】
解：如图所示，连接，
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∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握由圆的半径相等得到角的相等是解题的关键．
38．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．请说明AE=BF．
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【答案】见解析
【分析】
要证明AE=BF，根据圆的性质，可以转化为证明OE=OF，通过证明△OCE≌△ODF即可得出．
【详解】
解：证明：连接OC、OD，则OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
在△OCE和△ODF中，
，
∴△OCE≌△ODF（SAS），
∴OE=OF，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF．
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【点睛】
本题通过圆考查了全等三角形的判定与性质，证明AE=BF，即OE=OF可以转化为证明三角形全等问题．
39．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
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【答案】见解析
【分析】
利用SAS证明AOD≌BOC，根据全等三角形的对应角相等即可证出结论．
【详解】
解：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA=OB，OC=OD．
在AOD与BOC中，
∵，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
∴∠A＝∠B．
【点睛】
此题考查的是圆的基本性质和全等三角形的判定及性质，掌握圆的半径相等和全等三角形的判定及性质是解题关键．
40．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌；
由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解；
由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】
证明：，且，
，
，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边AC的中点，
的外心在直线DE上，
点D是AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．www-2-1-cnjy-com
41．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
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（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)H⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【详解】
解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
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（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，
OA＝4，AB＝6，
则
①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
则
②
②－①得：
把代入①得：（舍）
∴BC＝2a＝3．
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键．
42．若、＋1、5为一个直角三角形的三条边长，回答下列问题：
（1）求的值；
（2）求此三角形外接圆的半径．
【答案】（1）＝12或3；（2）此三角形外接圆半径为或．
【分析】
（1）分x+1为斜边和5为斜边两种情况，运用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，分两种情况求解.
【详解】
解：（1）∵＋1＞，
∴为直角边长，
当＋1为斜边长时，
，
解得＝12，
当5为斜边长时，
，
解得（舍去），，
∴＝12或3；
（2）∵直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，
当＋1为斜边长时，＝12，＋1＝13，此三角形外接圆半径为，
当5为斜边长时，此三角形外接圆半径为，
综上：此三角形的外接圆半径为或.
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与半径，解题的关键是掌握直角三角形外接圆半径的求法，同时注意分类讨论.
43．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，＝100°，连结AO．
（1）求和
的度数；
（2）求证：AO平分∠BAC．
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【答案】（1）130°，130°；（2）详见解析.
【分析】
（1）由AB＝AC，得到＝，于是得到结论；
（2）连接OB，OC，由线段的垂直平分线的判定定理可得AD垂直平分BC，再由等腰三角形的三线合一性质可证得结论；
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵的度数＝100°，
∴和
的度数＝＝130°；
（2）证明：如图，连接OB，OC，延长AO交BC于D，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A和点O都在线段BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
即AO平分∠BAC．
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【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．
44．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.
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【答案】
【分析】
连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】
连接OD，
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∵CD=OA=OD,
，
∴∠ODE=2，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=，
∴∠EOB=∠C+∠E=.
【点睛】
此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.
45．已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
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【答案】(1)见解析;(2)1.
【分析】
（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
（2）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可．
【详解】
解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
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（2）连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝，∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴OD＝.
【点睛】
本题考查作图?复杂作图，勾股定理，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
46．如图，某边长为的正方形广场四角铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为.
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（1）用含、的代数式表示图中空地部分面积；
（2）若米，米，求空地面积（取3.14，结果精确到0.1平方米）
【答案】（1）；（2）约35930.6平方米.
【解析】
【分析】
用正方形的面积减去该整圆的面积就是空地的面积据此就能解答第(1)问;
对于第(2)问,将各数据代入(1)中的代数式中求解即可得到答案
【详解】
(1)由图形可得四个半径为r的四分之一圆可以合为一个半径为r的圆
∵正方形的边长为a
∴正方形的面积是a
(正方形的面积等于边长的平方)
∵圆的半径为r
∴圆的面积为π×r
(圆的面积等于半径平方与π的乘积)
故空地的面积可表示为:
(2)将a=200米,r=36米代入中得
200-π×36=40000-1296×3.14≈35930.6平方米)
故空地的面积为35930.6平方米
【点睛】
此题考查圆的面积，正方形面积，解题关键在于掌握运算法则
47．如图，在中，AB，CB为弦，OC交AB于点D．求证：
（1）；
（2）．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据等边对等角以及外角的性质得出即可；
（2）根据等边对等角以及外角的性质得出即可．
【详解】
证明：（1）∵，
∴
∵
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
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【点睛】
此题主要考查了圆的性质以及三角形外角的性质，根据已知得出，是解题关键．
48．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
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【答案】⊙O的半径为6cm.
【分析】
过点O作OD⊥AB于点D，易得到PD=9cm，再利用勾股定理解题即可
【详解】
如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3
cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
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【点睛】
考查圆内中勾股定理的运用，能够做出垂线是解题关键
49．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB=∠COD．求证：∠C=∠D．
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【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
证得∠BOC=∠AOD，然后运用“SAS”证明△COB≌DOA，即可证得∠C=∠D．
【详解】
∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，即∠BOC=∠AOD．
在△COB和△DOA中，∵，∴△COB≌DOA，∴∠C=∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、同圆半径相等的性质，熟悉全等三角形的判定方法和圆的有关性质是解决问题的关键．2-1-c-n-j-y
50．如图，矩形中，，．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点为圆心作圆，
、、、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径
的取值范围．21教育名师原创作品
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【答案】（1），;（2）
【分析】
（1）先利用等面积法算出AF=，再根据勾股定理得出;
（2）根据题意点F只能在圆内，点C、D只能在圆外，所以⊙A的半径r的取值范围为.
【详解】
解：如图，
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(1)在矩形中，，．
∴DC=AB=3,AC=BD==5,
∵DE⊥AC，AF⊥BD，
∴
;
∴AF=，
同理，DE=,
在Rt△ADE中，AE=
=,
(2)
若以点为圆心作圆，
、、、E、F五点中至少有1个点在圆内，则r>2.4,
当至少有2个点在圆外，r<4,
故⊙A的半径r的取值范围为：
51．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为
；．
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径=
（结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D
（填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为
．
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【答案】（1）（2，0）；（2）①；②外；③90°；
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据点到圆心的距离d=5即可判断点与圆的位置关系．
【详解】
解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
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则圆心D的坐标为（2，0）；
（2）①圆D的半径==2，
②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
∴d>r,故该点在圆D外；
③如图，由A(0,4),
C(6,2)可知，∠ADC的度数为90°．
故答案为（2，0），2，外，90°．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
52．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．
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【答案】25°
【详解】
试题分析:连结OC，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由CE=AO，OA=OC得到OC=EC，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠1，再利用三角形外角性质得∠2=∠E+∠1=2∠E，加上∠D=∠2=2∠E，
所以∠BOD=∠E+∠D，即∠E+2∠E=75°，然后解方程即可．
解:连结OC，如图，
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∵CE=AO，
而OA=OC，
∴OC=EC，
∴∠E=∠1，
∴∠2=∠E+∠1=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠D=∠2=2∠E，
∵∠BOD=∠E+∠D，
∴∠E+2∠E=75°，
∴∠E=25°．
53．一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
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【答案】作图见解析.
【详解】
试题分析：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．
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54．如图，在⊙O中，AB为弦，C、D在AB上，且AC=BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)?
【答案】等腰三角形有：△OAB、△OCD．
【详解】
试题分析：图中等腰三角形有两个，圆中半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)处处相等，所以△OAB是等腰三角形，根据所给的已知条件，易证△OAC≌△OBD，根据全等三角形的性质，OC=OD，所以△OCD也是等腰三角形．
试题解析：解：等腰三角形有：△OAB、△OCD．
证明：∵OA=OB（同圆半径相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等），∴△OAB是等腰三角形，∴∠A=∠B，又∵AC=BD，OA=OB，∴△OAC≌△OBD，∴OC=OD，∴△OCD是等腰三角形．
55．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．
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（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．
【答案】(1)
；(2)
存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；(3)⊙Q的半径为9或．
【解析】试题分析：（1）先由平行线分线段成比例得出，
代值即可得出结论；
（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；
（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．
试题解析：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，
∵AQ=x，AP=y，∴，∴；
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，
即CQ⊥AB，此时△ABC∽△QAC，则，∴AQ=．故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；
（3）∵点C必在⊙Q外部，∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ﹣DQ．
设AQ=x．①当点Q在线段AD上时，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，
∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙Q的半径为．
②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，
∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半径为9．
∴⊙Q的半径为9或．
【考点】圆的综合题．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.1
圆
【基础训练】
一、单选题
1．已知⊙O的半径为8cm，如果一点P和圆心O的距离为8cm，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．不能确定
2．的半径为2，线段，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法确定
3．如图，圆的弦中最长的是（
）
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A．
B．
C．
D．
4．已知的直径为8，点P在同一平面内，，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在内
B．点P在上
C．点P在外
D．无法判断
5．已知是的弦，的半径为r，下列关系式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（
）
A．点A在⊙O内
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外
D．点A不在⊙O内
7．如图，在平面直角坐标系中，点，判断在，，，四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是（
）2·1·c·n·j·y
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A．点和
B．点和
C．点和
D．点和
8．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（
）
A．0＜r＜3
B．2＜r＜8
C．3＜r＜5
D．r＞5
9．☉O的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与☉O的位置关系是( )
A．点P在☉O内
B．点P的☉O上
C．点P在☉O外
D．点P在☉O上或☉O外
10．已知的半径为，点在内，则的长（
）
A．小于
B．大于
C．等于
D．等于
11．点在半径为的外，则点到圆心的距离与的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（
）
A．点在内
B．点在外
C．点在上
D．无法判断
13．如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（
）2-1-c-n-j-y
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A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
14．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（
）21
cnjy
com
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A．
B．AD一定经过的重心
C．
D．AD一定经过的外心
15．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（
）【出处：21教育名师】
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A．
B．
C．
D．
16．下列命题中，假命题是（
）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C．若，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
17．如图，点、、在⊙O上，，，则的度数是（
）
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A．110°
B．125°
C．135°
D．165°
18．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（
）
A．在⊙O上
B．在⊙O内
C．在⊙O外
D．不能确定
19．若⊙O的半径为5，点P到圆心的距离为d，当点P在圆上时，则有（
）
A．d＜5
B．d＞5
C．d
=
5
D．d
=
20．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于B，C两点，连接，若，则的度数为（
）21cnjy.com
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A．
B．
C．
D．
21．已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（
）
A．
B．
C．
D．
22．的半径为5，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（
）
A．无法确定
B．点在外
C．点在上
D．点在内
23．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（
）
A．圆是曲线图形
B．同一圆中所有直径都相等
C．圆有无数多条对称轴
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
24．已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（
）
A．点P在O上
B．点P在O内
C．点P在O外
D．无法判断点P与O的位置关系
25．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（
）21·cn·jy·com
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A．
B．
C．
D．
26．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆上
B．点P在圆内
C．点P在圆外
D．不能确定
27．⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
28．已知的直径为，，则点P和的位置关系是（
）
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法判断
29．直角坐标系的原点为O，⊙O半径为5，点P（4，﹣3）（
）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．无法确定
30．长度等于的弦所对的圆心角是，则该圆半径为（
）
A．2
B．3
C．6
D．12
二、填空题
31．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．21教育网
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32．如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则_______．21·世纪
教育网
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33．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．【来源：21cnj
y.co
m】
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
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34．在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为______，最小为_______．【版权所有：21教育】
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35．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为______．
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三、解答题
36．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．
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37．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．21
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38．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．请说明AE=BF．
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39．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
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40．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
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41．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
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（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
42．若、＋1、5为一个直角三角形的三条边长，回答下列问题：
（1）求的值；
（2）求此三角形外接圆的半径．
43．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，＝100°，连结AO．
（1）求和
的度数；
（2）求证：AO平分∠BAC．
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44．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.21世纪教育网版权所有
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45．已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
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46．如图，某边长为的正方形广场四角铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为.
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（1）用含、的代数式表示图中空地部分面积；
（2）若米，米，求空地面积（取3.14，结果精确到0.1平方米）
47．如图，在中，AB，CB为弦，OC交AB于点D．求证：
（1）；
（2）．
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48．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
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49．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB=∠COD．求证：∠C=∠D．
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50．如图，矩形中，，．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点为圆心作圆，
、、、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径
的取值范围．www.21-cn-jy.com
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51．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为
；．
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径=
（结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D
（填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为
．
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52．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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53．一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
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54．如图，在⊙O中，AB为弦，C、D在AB上，且AC=BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
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55．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．
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（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；21教育名师原创作品
（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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