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2.8
圆锥的侧面积
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法正确的是（
）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤
B．②④⑤
C．②⑤
D．②③④
2．如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
3．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3，则该圆锥的母线长为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
4．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（
）
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A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
5．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
6．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（
）
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A．2
B．
C．
D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
8．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面为，为的中点，，，则圆锥的侧面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
10．圆锥的底面半径是，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高为8cm，则此圆的侧面积是（
）cm2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60π
B．50π
C．40π
D．30π
12．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径所成角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
14．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π
B．48π
C．60π
D．80π
15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面半径，扇形圆心解，则该圆锥母线长为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．10
B．
C．6
D．8
16．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则这个圆锥的全面积为（
）
A．
B．
C．
D．
17．若一个圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
18．如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．如图，从一块半径是米的圆形铁皮（⊙）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点在⊙上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（
）米．
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A．
B．
C．
D．
20．如图，已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（
）
A．
B．
C．
D．
22．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
23．已知一个圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
24．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，那么它的侧面积是（
）
A．12πcm2
B．15πcm2
C．20πcm2
D．30πcm2
25．在中，，把它绕旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
26．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为，则（
）
A．圆锥的底面半径为3
B．
C．该圆锥的主视图的面积为
D．圆锥的表面积为
27．若一圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面展开图的圆心角是（
）
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
28．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
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A．2cm
B．cm
C．4cm
D．cm
29．一个圆锥的高与母线的夹角为30°，则它的侧面展开图的圆心角的度数是（
）
A．120°
B．50°
C．180°
D．210°
30．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
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A．3
B．4
C．
D．2
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．
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32．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度．
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33．如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
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34．一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________．
35．已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
三、解答题
36．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
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37．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为
；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为
，∠ADC的度数为
；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
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38．如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．
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39．如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为．
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（1）请画出该零件的三视图；
（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．
40．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．
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41．在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上）
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（1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留）
（2）请说明方案一不可行的理由．
（3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长．
42．已知圆锥的高为A0，母线为AB，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在弧BC上F点，求弧CF的长与圆锥的底面周长的比值．
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43．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为
_________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______
°
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
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44．如图①是山东舰徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图(如图②)，则该圆锥的母线长为多少?
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45．如图所示，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4
，BC=3
．求以直角边所在直线为轴，把△ABC
旋转一周得到的圆锥的侧面积．
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46．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2
cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长．
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47．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD．
（2）⊙D的半径为
（结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是
；
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48．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
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49．如图①，已知圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°．
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（1）求圆锥的底面半径；
（2）求圆锥的表面积．
50．如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
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51．如图线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
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⑴请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
⑵若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(-2，
-1)，则点C的坐标为
；
⑶线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为
；
⑷若有一张与⑶中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为
.
52．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
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53．扇形的半径为，圆心角为.若将它卷成一个无底的圆锥形筒．
（1）求这个圆锥形筒的高；
（2）以的比例画出这个圆锥的三视图．
54．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心的坐标为_____；
（2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
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55．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
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56．如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．
（1）圆锥的母线长（）与底面半径（）之比；
（2）求的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
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57．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆柱组成，现在准备用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，求需要毛毡的面积是多少？
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58．有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
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（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？
59．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
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（1）在图中作出△ABC的外接圆⊙P（保留必要的作图痕迹，不写作法）
（2）
若在x轴的正半轴上有一点D（异与C点），且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为
．
（3）若用扇形PAC围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面半径为
．
60．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．
（1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义
；
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（2）已知OB＝2
cm，SB＝3
cm，
①计算容器盖铁皮的面积；
②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是
．
A．6
cm×4
cm
B．6
cm×4.5
cm
C．7
cm×4
cm
D．7
cm×4.5
cm
2.5
直线与圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
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A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
2．下列说法中，正确的是（
）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．
【答案】C
【分析】
根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】
A、经过半径的外端并且垂直于这条半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交或相切
【答案】B
【分析】
利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，
，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
4．如图，点E是△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（
）
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A．128°
B．126°
C．122°
D．120°
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】
在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
5．如图，
PA，PB，D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．
【详解】
连接OA．
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∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
∴△PDE的周长为2AP＝8
∴AP＝4
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO＝=3，
∴⊙O的半径为3．
故选B．
【点睛】
本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．
6．如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出的度数．
【详解】
连接CO，∵
∴
∵切于点，
∴
故=
故选B．
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【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理与切线的性质．
7．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是4cm，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
【答案】B
【分析】
先确定圆的半径为5cm，而圆心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到直线的距离为4cm，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】
∵圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离为4cm，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．
8．如图，已知正方形ABCD的边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．
∵D′C′＝8，OC′＝12
∴D′O＝
∴D′G＝
∴PD＋PG的最小值为
故选B．
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【点睛】
本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
9．如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（
）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵∠B＝25°，
∴∠COD＝2∠B＝50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠D＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
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【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理以及三角形的内角和定理，属于基础题目，易于掌握．
10．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：①
；②；③点是的外心，其中正确结论是（
）
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A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】C
【分析】
由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；www.21-cn-jy.com
【详解】
∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故②正确；
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为的中点，即，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故选C．
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【点睛】
此题是圆的综合题，其中涉及到切
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（ ）
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A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】B
【分析】
先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：B．
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【点睛】
本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.
12．下列关于三角形的内心说法正确的是（
）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【分析】
根据三角形内心定义即可得到答案.
【详解】
∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A正确，B、C、D均错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.
13．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】
设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】
解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】
此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
14．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
15．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质可得:
∠BAP=90°,然后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC,最后根据圆周角定理即可求出．
【详解】
解:∵直线与圆相切
∴∠BAP=90°
∵
∴∠AOC=180°－∠BAP－∠P=48°
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是切线的性质和圆周角定理,掌握切线的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
16．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d17．已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么(
)
A．0＜OP＜3
B．OP＝3
C．OP＞3
D．OP≥3
【答案】D
【分析】
由相切的性质可知，圆心到直线的距离d=r，而p可能是切点，也可能是其他点，因此OP≥3
【详解】
解：切点到圆心的距离等于半径，出切点外直线上任一点到圆心的距离都大于半径即大于3，所以OP≥3
故选
D
【点睛】
此题主要考查了切线的性质，熟练掌握基本性质是解题的关键.
18．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
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A．0个
B．1个
C．2个
D．无法确定
【答案】C
【分析】
过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：过O作OD⊥OA于D，
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∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
19．如图，交于点，切于点，点在上.
若，则为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为（
）
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A．3
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】
设与的切点为点Q，连接OQ，根据圆的切线性质可得，，则是直角三角形，且有一角等于，根据直角三角形的性质即可得.【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
设与的切点为点Q，连接OQ，OQ为半径
是直角三角形，且有一锐角
.
故答案为：B.
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【点睛】
本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、直角三角形的性质（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用这些性质是解题关键.
21．如图，AB是⊙O的切线，A为切点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝27°，则∠B的度数等于（
）
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A．28°
B．36°
C．44°
D．56°
【答案】B
【分析】
连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，再根据圆周角定理得出∠AOB＝54°，然后根据直角三角形的性质求出∠B．
【详解】
解：连接OA，
∵∠ADC＝27°，
∴∠AOB=2∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=90°-∠AOB=36°，
故选：B
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【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握相关的知识是解题的关键．
22．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙
O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是
（
）
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A．65°
B．55°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得出AC⊥B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，求出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A=∠ADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠A=90°-∠ABC=25°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=25°，
∴∠COD=∠A+∠ADO=50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．21教育名师原创作品
23．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙О相切，切点为B，如果∠A＝40°，那么∠C等于（
）
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A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】
连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据圆周角定理计算
的度数．
【详解】
解：如图示，连接，
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边与相切，切点为，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
24．如图，点，，在O上，，过点作的切线交的延长线于点，则（
）
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A．30°
B．56°
C．28°
D．34°
【答案】D
【分析】
分别求出∠AOC和∠OCD，利用三角形内角和为180°，即可求出∠D．
【详解】
解：因为CD是的切线，
∠OCD=90°，
∵∠ABC=28°，
∴∠AOC=56°，
∴∠D=180°∠AOC∠OCD=34°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的内角和公式求出∠D的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查．
25．如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（
）
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A．22°
B．26°
C．29°
D．32°
【答案】D
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到△OCB为直角三角形，再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠D，从而求解∠B即可．
【详解】
如图所示，连接OC，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，△OCB为直角三角形，
根据圆周角定理，∠AOC=2∠D=58°，
∴∠B=90°-∠AOC=90°-58°=32°，
故选：D．
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【点睛】
本题考查切线的性质以及圆周角定理，熟记圆中的基本性质和定理是解题关键．
26．如图，已知与相切于点，的延长线交于点，连接，的半径为3，，则的长为（
）
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A．6
B．9
C．
D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质定理，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半可求OC，在加上OA即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，
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∵BC与⊙O相切于点B
∴OB⊥BC
∵⊙O的半径为3，∠C＝30°
∴OC＝6，OA＝3
∴AC＝9
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，解题关键是熟知性质定理，熟练运用性质定理．
27．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
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A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
28．如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．21cnjy.com
【详解】
解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
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∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
29．如图，的半径为4，切于点是直径．若于点且，则的长度为（
）
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A．
B．4
C．6
D．
【答案】D
【分析】
根据切线的性质求出∠ODE=30°，可知OF=2，勾股定理可求ED．
【详解】
解：∵切于点D，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠ODE=30°
∵，OD=4，
∴EF=DF，OF=OD=2，
EF=，
,
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，解题关键是根据切线的性质求出30°角，再用勾股定理解决问题．21
cnjy
com
30．如图，P为O外一点，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为(
)
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A．5
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
根据切线长定理求解即可
【详解】
解：∵PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，PA=4，
∴PA=PB=4，AC=CE，BD=DE，
∴△PCD的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．
二、填空题
31．如图，分别切于点D，E，F，若的周长为36，则的长是___________．
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【答案】18
【分析】
根据切线长定理得，，，即可得到，就可以求出AD的长．
【详解】
解：∵AD、AE是的切线，
∴，
同理：，，
∵，
∴．
故答案是：18．
【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
32．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
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【答案】1.5
【分析】
根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为1.5．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
33．如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为_____________．
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【答案】34°
【分析】
连接OA，根据切线性质可得∠PAO=90°，根据圆周角和圆心角的关系可得∠O，继而利用互余即可求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示：
∵PA
与
⊙O
相切
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠ABC=56°，
∴∠P=90°－56°=34°．
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故答案为：34°．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．
34．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
【答案】相离
【分析】
根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【详解】
圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
35．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】48°
【分析】
根据圆周角定理得出，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
解：，
，
是的直径，直线与相切与点，
，
．
故答案为48°.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题
36．如图，在⊙O中，是直径，是切线，B为切点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）41°
【分析】
（1）先根据是直径得∠ADB＝∠CBD＝90°，AB＝CD，利用HL进行证明即可；
（2）根据切线和直径的性质得，则可得，再由同弧所对的圆周角相等得∠ADC＝∠ABC＝41°．
【详解】
解：（1）证明：∵是直径，
∴
在和中，
（2）解：是切线，是直径，
∴，
∴．
即．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，熟练掌握直径所对的圆周角是直角、切线的性质、圆周角定理是解答此题的关键．
37．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2，求BC的长度．
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【答案】（1）45°；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质求解即可；
（2）在（1）的基础上，推出等腰直角三角形，进而求解即可．
【详解】
（1）连接，则，，，
，
，
（2），，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
，
．
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【点睛】
本题考查了圆切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟悉基本辅助线的添加，灵活计算证明是解题关键．
38．如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O
的切线；
（2）求点O到直线DE的距离．
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【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)周角定理得到∠BDC＝90°，则CD⊥AB，再利用等腰三角形的性质得AD＝BD，于是可判断OD为△CAB的中位线，所以OD∥CA，然后证明DE⊥AC，于是利用切线的判定定理可得到结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离．
【详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，
∵CD为直径，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CB＝CA，
∴AD＝BD，
而BO＝CO，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥CA，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接OD，
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
39．如图，在中，，点D是AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，点E在AB上，NE为⊙O的切线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为5，，求BN的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接ON，DN，由题意易得，，进而可证，由切线定理可得，最后根据平行线的性质可求证；
（2）由题意易得，然后根据勾股定理及（1）可求解．
【详解】
（1）证明：如图，连接ON，DN，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，点D是AB的中点，
，
CD为⊙O的直径，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
，
NE是⊙O的切线，
，
，
；
（2）解：⊙O的半径为5，
，
，CD是斜边AB上的中线，
，
，
．
由（1），得，
．
【点睛】
本题主要考查切线定理及圆周角，熟练掌握切线定理及圆周角是解题的关键．
40．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．21·cn·jy·com
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
【详解】
（1）和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
41．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA=CP，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求弦AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，由CA=CP，∠A＝30，可得出∠P＝30°，则∠ACP＝120°，OA＝OC，则∠OCA＝30°，因为∠PCO＝∠ACP∠OCA，所以∠PCO＝＝90°，即OC⊥CP，则
PC为⊙O的切线；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得OP＝2OC＝4，再运用勾股定理可求出CP的长，即为AC的长．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）证明：如图，连接OC．
∵CA=CP，∠A＝30°，
∴∠P＝∠A＝30°．
∴∠ACP＝180°2∠A
＝120°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠PCO＝∠ACP∠OCA
＝120°30°＝90°．
∴OC⊥CP．
∴CP是⊙O的切线．
（2）解∵OA=2，OA＝OC，
∴OC=2
在Rt△OCP中，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝4．
∴CP＝＝．
∴AC＝CP＝．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定及圆的性质的应用，解决此题的关键是熟练掌握圆的相关性质、判定和勾股定理的应用．
42．如图，在△ABC中，∠C=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，证明见解析（2）4
【分析】
（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2，
即（R＋2）2＝（2）2＋R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点，能求出BC是⊙O的切线是解此题的关键．
43．已知：如图，中，，以AC为弦作⊙，交的延长线于点，且．过点作⊙的切线，交的延长线于点．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的度数为________°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），理由见解析；（2）30．
【分析】
（1）连接，由已知条件及平角的定义，计算，根据圆周角90°所对的弦是直径得到为⊙的直径，再由三线合一的性质，可得，，最后根据切线的性质，及同角的余角相等，可证明，结合等量代换可解题；
（2）根据题意，直径AD所对的圆周角为90°，及DC=BC，可由线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等，证明AB=AD，若AB=BE，即点B是AE的中点，由切线性质知，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证明AD=AB=BD，进而证明是等边三角形，根据等边三角形三个内角都为60度，可解得的度数．
【详解】
解：（1）
理由：连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为⊙的直径．
,，
是⊙的切线，
，
（2）是⊙的切线，
，
若，
在中，点E是AE的中点，
又AD是直径，
是等边三角形，
故答案为：
【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线合一、切线的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图，在中，，，是其内部一点，平分，连接，在上取一点，使，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：≌；
（2）若，连接，求的度数；
（3）若是的内心，过作于，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）由SAS证明三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；
（3）过作于，于，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知，再由ASA证明≌，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得，同理解得，，根据三角形三边关系解出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，，
∴≌．
（2）∵≌，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）过作于，于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是的内心，
∴，
∵，，
∴≌，
∴．
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
45．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】（1）∠BOC的度数为70°；（2）见解析．
【分析】
（1）由AP是⊙O的切线，得到
结合
求解，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接，由三角形的中位线的性质证明：证明再证明证明
从而可得答案．
【详解】
解：（1）
AP是⊙O的切线，
（2）如图，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为的中点，
在圆上，
是的切线．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质定理，切线的性质定理，切线的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．21教育网
46．如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交
于点.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
【分析】
（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】
（1）证明：连接OP.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴PA=PC，
在中，
∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
47．如图所示，已知的边AB是的切线，切点为B，AC经过圆心并与圆相交于点，过点C作直线，交的延长线于点E．求证：CB平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，从而
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)证出OB∥CE，根据平行线的性质可得∠OBC=∠BCE，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，从而得出∠OCB=∠BCE，即可得出结论．
【详解】
证明：连接OB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠OBC=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠BCE，
∴CB平分∠ACE．
【点睛】
此题考查的是切线的性质、平行线的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握切线的性质、平行线的判定及性质和等腰三角形的性质是解决此题的关键．
48．在中，，点为边上的一点，以点为圆心，为半径的圆弧与相切于点，交于点，连接.求证：平分.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
连接,根据得出，再根据内错角相等和为等腰三角形进而得出证明即可.
【详解】
证明：连接，
∵以为半径的圆弧与相切于点，
∴.
∴.
∴.
∴.
又∵，
∴，
∴.
∴平分.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是切线的性质，解题关键在于对平行的证明，以及对内错角和等腰三角形中等量代换进而得出答案即可.
49．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析（2）2
【分析】
（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．
【详解】
解：（1）如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD==5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．在⊙O中，直径弦于点，点是弧上一点，点在的延长线上，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接，若∥，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解；
（2）连接，根据中位线的性质求出DE，CD，再根据在和中，由勾股定理，得：，设，则，代入即可求出DP．
【详解】
（1）证明：连接，如图1所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
，．
，，
，
即，
，
是的切线．
（2）解：连接，如图2所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
为的直径．
，
，
．
，，
，，
，
由（1）知．设，则．
在和中，由勾股定理，得：，
即，
解得：，
．
【点睛】
此题主要考查圆的切线及判定综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线的判定与性质．
51．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】45°，22.5°
【分析】
连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．21·世纪
教育网
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解：连接．
与相切于点，
．．
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换．
52．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线与⊙O相切，理由见解析．
【分析】
（1）AB为⊙O的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；
（2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为⊙O切线．
【详解】
（1）∵AB为⊙O的直径
∴
在和中
∴（HL）
（2）直线与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由知：，
又∵OA=OB
∴OD为的中位线
∴
∵
∴
∵OD为⊙O的半径
∴DE与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．
53．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，21
cnjy
com
求证：；
若求平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析；证明见解析．
【分析】
利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明：
再证明
利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：
从而可得答案．
【详解】
证明：
为直径，
．
证明：
为半圆的切线，
平分．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
54．如图，是⊙
的直径，与⊙
相切于点
，
点
在⊙
上，，求证：是⊙
的切线.2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析．
【分析】
利用平行线性质和等腰三角形性质易证，进而得出，进而利用切线的性质和判定即可得出结论．
【详解】
证明：如图，连接OC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°．
∵CD∥AO，
∴∠4=∠2，∠1=∠3．
∵OC=OD，∴∠2=∠1,
∴∠4=∠3．
又OA=OA，OB=DC,
∴△AOB≌△AOC，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
故AC是⊙O的切线．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质与判定以及平行线性质等知识，根据已知得出是解题关键．
55．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB，
交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．【版权所有：21教育】
(1)求证：AB=AC
(2)若AD=4，cos∠ABF
=，求BF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）首先连接BD，由弦AD⊥AB，可得BD是直径，又由BF是⊙O的切线且∠ABF＝∠ABC，可证得∠C＝∠ABC，即可得AB＝AC；
（2）由（1）知，，故，利用在中，，再求出AB，再利用在中即可求解．
【详解】
（1）证明：连接.
，即，
为⊙的直径，，
为⊙的切线，
，
，
，
(2)解：由（1）知，
在中，
根据勾股定理，得
在中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
56．如图，已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．
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（1）请探究EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求⊙O的周长．
【答案】（1）EF与⊙O相切．理由见解析；（2）⊙O的周长为2πcm．
【分析】
（1）延长BO交AC于H，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，先证明△ABC为等边三角形，利用点O为△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根据切线的判定定理即可得到EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH＝30°，AH＝CH＝AC＝，再在Rt△AOH中，利用三角函数和计算出OA＝1，然后根据圆的周长公式计算．
【详解】
（1）EF与⊙O相切．理由如下：
延长BO交AC于H，如图，
∵∠BAC＝∠BDC＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点O为△ABC的外心，
∴BH⊥AC，
∵AC∥EF，
∴BH⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴OA平分∠ABC，
∴∠OAH＝30°，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝AC＝，
在Rt△AOH中，∵cos∠OAH＝，
∴OA＝＝1，
∴⊙O的周长＝2π×1＝2π（cm）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．
57．如图，AB是直径，分别过上点B,C的切线，且，连接AC．
（1）求的度数；
（2）若的直径为6，求的长（结果保留π）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）35；（2）
【分析】
（1）连接OC，利用切线的性质及四边形的内角和，求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理即可求出结果；
（2）第（1）问已经求出∠BOC的度数，利用弧长公式求解即可．
【详解】
（1）连接OC，如图1：
因为BD,CD分别是切线
所以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(2)
因为圆的直径为6，
所以半径为3，
，
的长度为．
【点睛】
本题考查圆的相关性质和弧长计算，牢记切线的性质、圆周角定理及弧长计算公式是解题的关键．
58．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．2-1-c-n-j-y
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）详见解析；（2）4
【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
【详解】
（1）证明：连接OE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
59．如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）=30°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
【详解】
（1）在△AOC中，AC=3，
∵AO=OC=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；
（2）∵OC⊥，BD⊥，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°．
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥OB，
又∵CO∥EB，
∴四边形OBEC?为平行四边形．
又∵OB=OC=3．
∴四边形OBEC是菱形．
【点睛】
此题考查了切线的性质，等边三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，平行四边形及菱形的判定，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
60．如图，在半径为3的中，是直径，是弦，且，过点作直径，垂足为点，过点的直线交的延长线和的延长线于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求线段的长；
（2）若，求证：是的切线；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）AP＝2，BC＝2（2）见解析（3）cos∠BFC=
【分析】
（1）根据圆周角定理由AB为直径得∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC＝2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP＝BP＝AB＝2；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△BOG
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∽△POA，根据相似的性质得到∠GBO＝∠OPA＝90°，然后根据切线的判定定理得到FG是⊙O的切线；
（3）由（2）可得∠F＝∠ABC，故根据cos∠BFC=
cos∠ABC=即可求解．
【详解】
（1）∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AC，
∴AP＝PC=AC
∵，
∴AP＝2
又∵OA＝3，∴OP＝1
又AB是⊙O的直径，
∴O为AB的中点，
∴OP＝BC，
∴BC＝2OP＝2．
（2）∵，，
∴
∵∠BOG＝∠POA，
∴△BOG∽△POA，
∴∠OBG＝∠OPA＝90°
又∵AB是直径，
∴FG是⊙O的切线．
(3)由（2）知∠ABF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴∠F＝∠ABC,
∴cos∠BFC=
cos∠ABC=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质及三角函数的求解．
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精品试卷·第
2
页
（共
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2.8
圆锥的侧面积
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法正确的是（
）
①平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;
②的算术平方根是；
③若，则点在第二象限；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，则它的周长为或；
⑤若用半径为，圆心角为的扇形成圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
A．①⑤
B．②④⑤
C．②⑤
D．②③④
【答案】C
【分析】
利用平行四边形的性质，算术平方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根的定义，平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系逐一进行判断即可得解；
【详解】
解：①平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故①不正确；
②的算术平方根是，故②正确；
③若，则，点在第一象限，故③不正确；
④若等腰三角形其中两条边的长度分别为和，当腰为2时，三边为2，2，4，而2+2=4，不能构成三角形，当腰为4时，三边为4，4，2，满足2+4>4，能构成三角形，周长为10，故④不正确；
⑤由扇形的弧长等于底面圆周长，即，解得，故⑤正确；
故选择：C
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，算术平方根的定义，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征，三角形的三边关系及扇形的弧长与底面圆的周长关系，知识面比较广，熟练掌握相关的知识点并灵活运用是解题的关键．
2．如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理先求得阴影部分扇形的圆心角度数，再根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径的长，最后根据勾股定理求得圆锥的高．
【详解】
阴影部分扇形的圆心角
设圆锥的底面半径为圆锥的高为
故选C
【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧长，圆锥的侧面展开图，理解圆锥的侧面展开图的各数据是解题的关键．
3．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3，则该圆锥的母线长为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【分析】
设该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意可得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】
题目主要考察了圆锥的计算：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆锥的侧面展开图是一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的基本性质及公式是解题关键．
4．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
【答案】C
【分析】
根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是8，
∴圆锥的母线长为，
设扇形的圆心角为n°，
∴，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
5．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得2
πr，
解得r＝1，
侧面积=
，
底面积=
所以圆锥的表面积=，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
6．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．
【详解】
解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴，即：r=OA=2
在R△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，．
故填：．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键．21
cnjy
com
7．如图，已知Rt△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理易得AB的长，利用直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的面积的不同求法求得AB边上的高，那么所求几何体为两个圆锥的组合体，表面积为底面半径为2.4，母线长为3，4的两个圆锥的侧面积的和．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴AB边上的高为3×4÷5=2.4，
∴所得几何体的表面积是×2π×2.4×3+×2π×2.4×4=16.8π=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
8．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接，并作于点D．由圆周角定理可求出，从而求出，且．再根据含角的直角三角形的性质，可求出，从而求出．由题意易证是等边三角形，即，最后由弧长公式即可求出的长，最后根据圆锥的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小．
【详解】
如图，连接，并作于点D．
∵，
∴，
∵OB=OC，
∴，，
∴．
∴．
∵AB=AC，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r，
∴，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选D．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．21cnjy.com
9．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面为，为的中点，，，则圆锥的侧面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先根据直角三角形斜边中线的性质求得母线PA的长，再利用勾股定理求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可．
【详解】
解：根据题意，PO⊥AB，则∠POA=90，
在Rt△POA中，C为PA的中点，
OC=2，PO=6，
∴PA=2OC=4，
OA=2，
∴底面周长=4π，
侧面面积=×4π×4=24π．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，直角三角形斜边中线的性质，掌握扇形面积公式、理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
10．圆锥的底面半径是，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，即可求出R，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】
解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得R＝6，
即圆锥的母线长为6cm，
∴圆锥的高为：cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于圆锥的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．21
cnjy
com
11．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高为8cm，则此圆的侧面积是（
）cm2
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A．60π
B．50π
C．40π
D．30π
【答案】A
【分析】
首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【详解】
解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
12．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】A
【分析】
圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝1，
所以底面圆的直径为2cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查弧长公式，圆锥底面圆周长与侧面展开扇形的弧长的关系，熟练使用弧长公式是关键
13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径所成角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据弧长公式得到，所以
，如图，然后判断为等边三角形得到．21·cn·jy·com
【详解】
解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
根据题意得，
则，
如图，，
，
为等边三角形，
，
即该圆锥的母线与底面半径所成角的度数是．
故选：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π
B．48π
C．60π
D．80π
【答案】C
【分析】
先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
【详解】
解：圆锥的母线＝＝10（cm），
圆锥的底面周长2πr＝12π（cm），
圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π（cm2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为．
15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面半径，扇形圆心解，则该圆锥母线长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．
C．6
D．8
【答案】C
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为扇形，且这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长以及弧长公式即可列出关于l的方程，解出l即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得，，
即该圆锥母线的长为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查关于圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则这个圆锥的全面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先求得底面周长，即展开得到的扇
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的弧长，然后利用扇形面积公式及底面积计算公式求出圆锥的侧面积和底面积，再根据圆锥的全面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积即可求解．
【详解】
解：∵底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π，
圆锥的底面积是：==36π，
∴圆锥的全面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=60π+36π=96π．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．若一个圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的母线长＝＝9（cm），
∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为9cm，扇形弧长为2×3π=6π(cm)，
∴＝6π，
解得，n＝120，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
18．如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：设做成圆锥之后的底面半径为r，
则，
解得，
∴这个圆锥体容器的高为，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键．
19．如图，从一块半径是米的圆形铁皮（⊙）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点在⊙上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（
）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．
【详解】
解：连接OA，作OD⊥AB于点D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在直角△OAD中，OA＝2，∠OAD＝∠BAC＝30°，
则AD＝OA?cos30°＝，
则AB＝2AD＝2，
则扇形的弧长==
，
设圆锥的底面圆的半径是r，则2π×r＝，解得：r＝
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，锐角三角函数，弧长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
20．如图，已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据弧长=圆锥底面周长=6π，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算．
【详解】
解：由题意知：
弧长=圆锥底面周长=2×3π=6πcm，
扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=6π×180÷6π=180°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．
21．若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【详解】
解：根据圆锥侧面积公式：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)S=πrl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为2πcm2，
故2π=π×2×l，
解得：l=1（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题的关键．
22．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】
解：扇形的弧长是：，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，
即：R=4r，
R与r之间的关系是R=4r．
故选：D．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
23．已知一个圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先求得底面的周长、面积，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积，加上底面面积就是表面积．
【详解】
解：底面周长是2×5π=10πcm，底面积是：52π=25πcm2．
母线长是：（cm），
则圆锥的侧面积是：×10π×6=30π（cm2），
则圆锥的表面积为：25π+30π=55π（cm2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．
24．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，那么它的侧面积是（
）
A．12πcm2
B．15πcm2
C．20πcm2
D．30πcm2
【答案】B
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π(cm2)．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开后扇形的弧长．
25．在中，，把它绕旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
以直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：圆锥的底面周长，
所以圆锥的侧面积，
圆锥的底面积，
所以以直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积．
故选：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
26．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为，则（
）
A．圆锥的底面半径为3
B．
C．该圆锥的主视图的面积为
D．圆锥的表面积为
【答案】C
【分析】
根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，可知2πr＝，求出r以及圆锥的母线l和高h即可解决问题．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为r，高为h．
A选项，由题意：2πr＝，解得r＝2，故错误；
B选项，h＝，所以tanα＝，故错误；
C选项，圆锥的主视图的面积＝×4×＝，故正确；
D选项，表面积＝4π+2π×6＝16π，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆锥的有关知识，记住圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，即2πr＝，圆锥的表面积＝πr2+πrl是解决问题的关键，属于中考常考题型．
27．若一圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面展开图的圆心角是（
）
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
【答案】C
【分析】
根据圆锥底面半径可得底面周长，根据底面周长是侧面展开图的弧长，母线长为展开图的半径，利用弧长公式即可得答案．
【详解】
∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长=2×2=4，
设侧面展开图的圆心角为n，
∵底面周长是侧面展开图的弧长，母线长为展开图的半径，
∴，
解得：n=180°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．
28．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm
B．cm
C．4cm
D．cm
【答案】B
【分析】
因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得剩下扇形的圆心角的度数和弧长，然求得底面半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】
解：∵从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度＝360°×＝240°，
∴留下的扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径r＝＝2cm，
∴圆锥的高＝＝cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆锥的计算，要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．
29．一个圆锥的高与母线的夹角为30°，则它的侧面展开图的圆心角的度数是（
）
A．120°
B．50°
C．180°
D．210°
【答案】C
【分析】
设底面圆的半径OC=r，得到底面周长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2πr，母线长AC=2r，侧面展开扇形图的弧长为2πr，半径为母线长2r，设它的侧面展开图的圆心角的度数是n，根据弧长公式求出n即可．
【详解】
设底面圆的半径OC=r，则底面周长为2πr，
∵圆锥的高与母线的夹角为30°，
∴母线长AC=2r，
∴侧面展开扇形图的弧长为2πr，半径为母线长2r，
设它的侧面展开图的圆心角的度数是n，
∴，
解得n=180，
∴圆心角度数为180°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：C．
【点睛】
此题考查圆锥的侧面展开图，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，弧长公式，正确掌握圆锥的侧面展开的扇形与底面圆的关系是解题的关键．
30．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．
D．2
【答案】B
【分析】
易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．
【详解】
解：如图:
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴设弧所对的圆心角的度数为n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．www.21-cn-jy.com
二、填空题
31．如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】80°
【分析】
设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】
解：设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，
根据题意得，
解得n＝80，
即圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
32．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】150
【分析】
根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．
【详解】
设圆锥的母线长为l
cm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l=240π，
解得：l=24，
则=20π.
解得n=150，即扇形的圆心角为150°，
故答案为:150．
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键.
33．如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】120°．
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π?2，然后解方程即可．
【详解】
解：根据题意得＝2π?2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．
34．一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________．
【答案】4cm
【分析】
设扇形的半径长为xcm，根据圆锥的底面周长等于弧长求出侧面扇形的半径，再利用勾股定理求出答案．
【详解】
解：设扇形的半径长为xcm，由题意得
解得x=5，
∴此圆锥的高为
故答案为：4cm．
【点睛】
此题考查扇形的弧长公式，勾股定理，正确理解圆锥侧面的扇形与底面圆之间的关系是解题的关键．
35．已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
【答案】48π
【分析】
首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【详解】
解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长为8π，
∴侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝8π，
解得：r＝12，
∴侧面积为π×4×12＝48π，
故答案为：48π．
【点睛】
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．
三、解答题
36．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先利用扇形面积公式求出扇形半径，再利用扇形弧长公式求出弧长；
（2）先画出图形，求出圆锥的底面圆的半径，再利用勾股定理求高即可．
【详解】
解：（1）设扇形的半径为R，
根据题意，得
∴R2=900，
∵R＞0，
∴R=30．
∴扇形的弧长=．
答：扇形的弧长为．
（2）设圆锥的底面半径为r，
根据题意，得，
∴．
∴圆锥的高h=．
答：圆锥的高为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
．
【点睛】
本题综合考查了扇形的面积公式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、扇形弧长公式、勾股定理等内容，要求学生明白圆锥的高、母线和半径组成了一个直角三角形，同时牢记求解步骤、熟记相关公式等．21世纪教育网版权所有
37．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为
；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为
，∠ADC的度数为
；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
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【答案】（1）圆心D点的位置见解析，（2，0）；（2）2，
90°；（3）．
【分析】
（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO＝∠DCE，可得∠ADO+∠CDE＝90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积＝πr?AD，可求得r．
【详解】
解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
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则OA＝4，OD＝2，在Rt△AOD中，可求得AD＝，
即⊙D的半径为，
且CE＝2，DE＝4，
∴AO＝DE，OD＝CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠ADC＝90°，
故答案为；90°；
（3）弧AC的长＝×＝π，
设圆锥底面半径为r则有2πr＝π，解得：r＝，
所以圆锥底面半径为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公式，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，要能够根据垂径定理作出圆的圆心，根据全等三角形的性质确定角之间的关系，掌握圆锥的底面半径的计算方法．
38．如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．
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【答案】90°，
【分析】
根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．
【详解】
解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：
，，
∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．
全面积＝底面积＋展开侧面积，
全面积为：．
【点睛】
本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．
39．如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为．
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（1）请画出该零件的三视图；
（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）直接根据图形画出三视图即可；
（2）根据公式进行求解即可；
【详解】
（1）
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（2）围成圆锥后圆锥的母线长为：=2cm
圆锥的底面周长为cm
，
底面圆的半径为：
cm，
∴
高=cm
【点睛】
本题考查了三视图以及圆锥的体积公式、正确掌握三视图的画法是解题的关键；
40．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．
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【答案】
【分析】
根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．
【详解】
解：圆锥的底面周长，
由题意可得，解得，
所以该圆锥的母线长为．
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程．
41．在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上）
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（1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留）
（2）请说明方案一不可行的理由．
（3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长．
【答案】（1）；（2）见详解；（3）正方形的边长为
【分析】
（1）由题意易得圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，然后利用圆锥的全面积计算公式直接代入求解即可；
（2）由方案一的图可得圆的半径为16，进而可得的长，设圆与正方形相切于点E，连接，进而可求出圆的半径，然后求出圆的周长，进而根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长可进行求证；
（3）设圆与正方形相切于点F，连接，由方案二的图得出圆和圆的半径，然后再利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，
∴圆锥的全面积为：；
（2）设圆与正方形相切于点E，连接，如图所示：
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∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为，圆的周长为，
∵，
∴方案一不可行；
（3）设圆与正方形相切于点F，连接，如图所示：
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设，
∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得：，
解得：，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴正方形的边长为．
【点睛】
本题主要考查圆锥的全面积及弧长计算公式，熟练掌握圆锥全面积及弧长的计算公式是解题的关键．
42．已知圆锥的高为A0，母线为AB，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在弧BC上F点，求弧CF的长与圆锥的底面周长的比值．
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【答案】
【分析】
连接AF，如图，设OB=5，AB=18，∠BAC=°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到，解得得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
【详解】
解：连接AF，如图，
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设OB=5，AB=18，∠BAC=°，
∴
解得=100，
即∠BAC=100°，
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在弧BC上F点，
∴BA=BF，
而AB=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠FAC=40°，
∴弧CF的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了折叠的性质和弧长公式．
43．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为
_________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______
°
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
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【答案】（1）（-2，0）；（2），90；（3）
【分析】
（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，根据题意列得，求解即可．
【详解】
解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；
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（2）圆D的半径长：AD=CD=，
∵AC=，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
故答案为：，90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得．
【点睛】
本题考查圆的对称性，勾股定理及其逆定理、扇形弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
44．如图①是山东舰徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图(如图②)，则该圆锥的母线长为多少?
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【答案】该圆锥的母线长为．
【分析】
根据长为的弧求出底面圆的半径OB=5，再利用勾股定理求出答案.
【详解】
解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长
在中，，
所以该圆锥的母线长为.
【点睛】
此题考查弧长与底面圆的周长的关系，勾股定理，正确理解图形中各数据与圆及圆锥各部分之间的关系是解题的关键.
45．如图所示，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4
，BC=3
．求以直角边所在直线为轴，把△ABC
旋转一周得到的圆锥的侧面积．
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【答案】若以直角边AC所在直线为轴，所得圆锥侧面积为15π，以直角边BC所在直线为轴，所得圆锥侧面积为20π．
【分析】
分两种情况，根据“圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长”，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=4
，BC=3，
∴AB=5，
①若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·BC·AB=15π；
②若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·AC·AB=20π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的求法．注意：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
46．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2
cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长．
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【答案】
【分析】
根据题意，运用弧长公式求出母线的长度，再利用勾股定理计算圆锥的高h．
【详解】
由题意得：，
∴=6(cm)，
∴由勾股定理得：
(cm)，
即该圆锥的高为cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
47．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD．
（2）⊙D的半径为
（结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是
；
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【答案】（1）图见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据垂进定理，作出AB、BC的垂直平分线交点为圆心D．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．
（3）根据圆锥特点，先求出的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．
【详解】
解：（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）⊙D的半径AD
（3）根据图上信息，可知道
的长度l=
=
扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．
圆锥的底面圆半径
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．
48．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．
【详解】
如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形，
此时弧的长为底面圆周长的一半，故，
由，，则，
作，此时即为蚂蚁爬行的最短路径，
在中，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．
49．如图①，已知圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求圆锥的底面半径；
（2）求圆锥的表面积．
【答案】（1）4（2）．
【分析】
（1）根据题意可求出圆锥的底面周长，故可求出圆锥的底面半径；
（2）根据圆锥的表面积特点即可求解．
【详解】
（1）圆锥的底面周长C==
设圆锥的底面半径为r，则
解得r=4
故圆锥的底面半径为4；
（2）圆锥的表面积=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查圆锥的底面半径与表面积，解题的根据是熟知圆锥及侧面展开图的特点．
50．如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）圆锥；（2）16π；（3）3
【分析】
（1）由该几何体的三视图可知，这个几何体是：圆锥；
（2）由图中数据可知，这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，这样根据S表=S侧+S底即可计算出该圆锥的表面积；
（3）如下图，将圆锥的侧面沿母线AB展开得到扇形ABB′，则由题意可知点C′为的中点，点D′为半径AC′的中点，连接BC′，BD′，则BD′的长为所求的最短路程，这样结合已知条件求出BD′的长即可.
【详解】
解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；
（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝π
r
l＋π
r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；
（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．
设∠BAB′的度数为n，则由可得：
，解得：，
∵点C′为的中点，
∴∠BAC′=60°，
又∵AB=AC′，
∴△ABC′是等边三角形，
又∵D′是AC′的中点，
∴∠AD′B=90°，
∴sin∠BAD′=，
∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
（1）熟记圆锥的表面积计算公式：S表=S侧+S底=（其中为圆周率、是圆锥底面圆的半径、是圆锥母线长）是解答第2小题的关键；（2）画出如图所示的圆锥侧面展开图，知道图中BD′的长是所求的最短路程，并能证明△ABC′是等边三角形是解答第3小题的关键.
51．如图线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
⑴请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
⑵若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(-2，
-1)，则点C的坐标为
；
⑶线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为
；
⑷若有一张与⑶中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为
.
【答案】⑴略；⑵（5，0）；⑶；⑷；
【解析】
（1）线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．线段AC及点B经过的路径是一段弧，根据弧长公式计算路径；
（2）根据点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（-2，-1），可建立直角坐标系，从直角坐标系中读出点C的坐标为（5，0）；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为一个扇形，根据扇形公式计算；
（4）将它围成一个几何体即圆锥的侧面，则该几何体底面圆的周长就等于弧长，利用此等量关键可计算出半径．
52．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．
【详解】
解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母线l==80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．
【点睛】
本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．
53．扇形的半径为，圆心角为.若将它卷成一个无底的圆锥形筒．
（1）求这个圆锥形筒的高；
（2）以的比例画出这个圆锥的三视图．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【分析】
（1）首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形的弧长，然后根据圆的周长公式即可求解圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高；
（2）再根据圆锥的三视图的作法作出即可．
【详解】
解：（1）扇形的弧长是：，
设底面半径是，则，
解得：，
则圆锥的高为：（厘米），
（2）以的比例画出这个圆锥的三视图如下图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查作三视图，圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．
54．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心的坐标为_____；
（2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）该圆锥底面圆的半径长为．
【分析】
（1）连接、，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，进而即可求解；
（2）根据网格结构，可得，，根据勾股定理的逆定理，可得，结合弧长公式与圆周长公式，即可求解．
【详解】
（1）连接、，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，可知点的坐标为．
故答案是：；
（2）∵圆的半径长．
∴，，
，
．
设圆锥的底面圆的半径长为，
∴，
解得：，
答：该圆锥底面圆的半径长为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查垂径定理以及弧长公式，掌握圆锥的底面周长与侧面扇形弧长的关系，是解题的关键．
55．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
将圆锥的侧面展开，转化出平面几何图形，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上的面积即为所求．
【详解】
解：过点作交于点，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，
∴在中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布．
故答案是：
【点睛】
本题解决的关键在于将立体图形转化
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为平面图形，涉及到的知识点有圆的周长、面积公式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，特殊的锐角三角函数，扇形的面积公式等知识点；解决问题时切入点不同则思路方法略有不同，不管哪种思路都要条理清晰的推理演算．
56．如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．
（1）圆锥的母线长（）与底面半径（）之比；
（2）求的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）；（3）圆锥的侧面面积．
【分析】
（1）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得比值；
（2）利用圆锥的高，母线和底面半径构造的直角三角形中的勾股定理和等腰三角形的基本性质解题即可；
（3）圆锥的侧面积是展开图扇形的面积，直接利用公式解题即可，圆锥的侧面积为
．
【详解】
解：（1）根据题意得，
所以
即：
（2）
为等边三角形，
（3）在中,
，
，
所以圆锥的侧面面积（）
【点睛】
此题考查圆锥的特点和圆锥侧面面积的计算，解题关键在于找到圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面面积公式．
57．如图，蒙古包可近似
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)地看作由圆锥和圆柱组成，现在准备用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，求需要毛毡的面积是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（30π+5π）m2．
【分析】
根据圆的面积得到底面圆的半径，再利用勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)计算出母线长，根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，求它们的和，得到答案．
【详解】
解：设底面圆的半径为R，
则πR2＝25π，
解得，R＝5，
由勾股定理得，圆锥的母线长＝＝，
所以圆锥的侧面积＝×2π×5×＝5π；
圆柱的侧面积＝2π×5×3＝30π，
所以需要毛毡的面积为（30π+5π）m2．
故答案为：（30π+5π）m2．
【点睛】
本题考查了圆柱、圆锥的侧面积计算的实际应用，熟练掌握计算公式是解题的关键.
58．有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）BC是圆O的直径，求出AC的值，进而
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
（2）求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
【详解】
解：（1）连接BC，AO，
∵∠BAC=90°，OB=OC，
∴BC是圆O的直径，AO⊥BC，
∵圆的直径为2，
∴AO=OC=1，
则AC=m，
故S扇形==πm2．
∴S阴影=π-π=π（m2）．
（2）弧BC的长l==πm，
则2πR=π，
解得：R=，
故该圆锥的底面圆的半径是m.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式及弧长的计算公式是解答本题的关键．
59．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图中作出△ABC的外接圆⊙P（保留必要的作图痕迹，不写作法）
（2）
若在x轴的正半轴上有一点D（异与C点），且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为
．
（3）若用扇形PAC围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面半径为
．
【答案】（1）如图所示即为△ABC的外接圆⊙P；见解析；（2）（7，0）；（3）
．
【分析】
（1）三角形外接圆的圆心即为三边垂直平分线的交点，找出AB与BC的交点即为圆心；
（2）根据条件可得点D在⊙P上，即圆与x轴的交点，根据图形即可得D点坐标；
（3）根据圆锥底面圆的周长＝扇形弧长求解.
【详解】
解：（1）AB和BC的垂直平分线的交点即为△ABC的外接圆的圆心P，
以P为圆心，PA为半径作⊙P.
如图所示即为△ABC的外接圆⊙P；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵∠ADB＝∠ACB，
∴D点在⊙P上，点D为圆与x轴的交点，
如图所示：点D的坐标为（7，0）；
故答案为：（7，0）．
（3）设底面圆半径为r，圆锥母线长为l，
圆锥底面圆的周长＝扇形弧长，
即2πr＝
∵PA＝＝，
∴r＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆的相关知识，掌握外接圆的圆心的确定及圆的相关性质和相关计算是解答此题的关键.
60．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．
（1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义
；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）已知OB＝2
cm，SB＝3
cm，
①计算容器盖铁皮的面积；
②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是
．
A．6
cm×4
cm
B．6
cm×4.5
cm
C．7
cm×4
cm
D．7
cm×4.5
cm
【答案】（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.
【分析】
（1）根据平面内图形的旋转，给
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．
【详解】
解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；
（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积
∴
即容器盖铁皮的面积为6πcm?；
②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n度，
则2π×2=
解得：n=240°，
如图：∠AOB=120°，
则∠AOC=60°，
∵OB=3，
∴OC=1.5，
∴矩形的长为6cm，宽为4.5cm，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．
2.5
直线与圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．【来源：21·世纪·教育·网】
2．下列说法中，正确的是（
）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．
【答案】C
【分析】
根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】
A、经过半径的外端并且垂直于这条半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交或相切
【答案】B
【分析】
利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，
，
∴直线l与⊙O相离，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
4．如图，点E是△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．128°
B．126°
C．122°
D．120°
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】
在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】
考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
5．如图，
PA，PB，D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．
【详解】
连接OA．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
∴△PDE的周长为2AP＝8
∴AP＝4
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO＝=3，
∴⊙O的半径为3．
故选B．
【点睛】
本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．
6．如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出的度数．
【详解】
连接CO，∵
∴
∵切于点，
∴
故=
故选B．
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【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理与切线的性质．
7．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是4cm，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
【答案】B
【分析】
先确定圆的半径为5cm，而圆心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到直线的距离为4cm，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】
∵圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离为4cm，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．
8．如图，已知正方形ABCD的边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．
∵D′C′＝8，OC′＝12
∴D′O＝
∴D′G＝
∴PD＋PG的最小值为
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
9．如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵∠B＝25°，
∴∠COD＝2∠B＝50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠D＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理以及三角形的内角和定理，属于基础题目，易于掌握．
10．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：①
；②；③点是的外心，其中正确结论是（
）
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A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】C
【分析】
由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
【详解】
∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故②正确；
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为的中点，即，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故选C．
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【点睛】
此题是圆的综合题，其中涉及到切
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（ ）
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A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】B
【分析】
先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：B．
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【点睛】
本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.
12．下列关于三角形的内心说法正确的是（
）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【分析】
根据三角形内心定义即可得到答案.
【详解】
∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A正确，B、C、D均错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.
13．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】
设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】
解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】
此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
14．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
15．如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，交圆于点，连接.若，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质可得:
∠BAP=90°,然后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC,最后根据圆周角定理即可求出．
【详解】
解:∵直线与圆相切
∴∠BAP=90°
∵
∴∠AOC=180°－∠BAP－∠P=48°
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是切线的性质和圆周角定理,掌握切线的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
16．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d17．已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么(
)
A．0＜OP＜3
B．OP＝3
C．OP＞3
D．OP≥3
【答案】D
【分析】
由相切的性质可知，圆心到直线的距离d=r，而p可能是切点，也可能是其他点，因此OP≥3
【详解】
解：切点到圆心的距离等于半径，出切点外直线上任一点到圆心的距离都大于半径即大于3，所以OP≥3
故选
D
【点睛】
此题主要考查了切线的性质，熟练掌握基本性质是解题的关键.
18．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
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A．0个
B．1个
C．2个
D．无法确定
【答案】C
【分析】
过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：过O作OD⊥OA于D，
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∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
19．如图，交于点，切于点，点在上.
若，则为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．21教育网
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，，点在射线上，的半径为2，当与相切时，的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】
设与的切点为点Q，连接OQ，根据圆的切线性质可得，，则是直角三角形，且有一角等于，根据直角三角形的性质即可得.
【详解】
设与的切点为点Q，连接OQ，OQ为半径
是直角三角形，且有一锐角
.
故答案为：B.
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【点睛】
本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、直角三角形的性质（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半），熟练运用这些性质是解题关键.
21．如图，AB是⊙O的切线，A为切点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝27°，则∠B的度数等于（
）
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A．28°
B．36°
C．44°
D．56°
【答案】B
【分析】
连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，再根据圆周角定理得出∠AOB＝54°，然后根据直角三角形的性质求出∠B．
【详解】
解：连接OA，
∵∠ADC＝27°，
∴∠AOB=2∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=90°-∠AOB=36°，
故选：B
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【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握相关的知识是解题的关键．
22．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙
O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．65°
B．55°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得出AC⊥B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，求出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A=∠ADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】
解：∵BC切⊙O于C，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠A=90°-∠ABC=25°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=25°，
∴∠COD=∠A+∠ADO=50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．
23．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙О相切，切点为B，如果∠A＝40°，那么∠C等于（
）
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A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】
连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据圆周角定理计算
的度数．
【详解】
解：如图示，连接，
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边与相切，切点为，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
24．如图，点，，在O上，，过点作的切线交的延长线于点，则（
）
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A．30°
B．56°
C．28°
D．34°
【答案】D
【分析】
分别求出∠AOC和∠OCD，利用三角形内角和为180°，即可求出∠D．
【详解】
解：因为CD是的切线，
∠OCD=90°，
∵∠ABC=28°，
∴∠AOC=56°，
∴∠D=180°∠AOC∠OCD=34°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的内角和公式求出∠D的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查．
25．如图，AD，CD为⊙O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若∠D＝29°，则∠B的度数为（
）
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A．22°
B．26°
C．29°
D．32°
【答案】D
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到△OCB为直角三角形，再根据圆周角定理，推出∠AOC=2∠D，从而求解∠B即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
如图所示，连接OC，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，△OCB为直角三角形，
根据圆周角定理，∠AOC=2∠D=58°，
∴∠B=90°-∠AOC=90°-58°=32°，
故选：D．
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【点睛】
本题考查切线的性质以及圆周角定理，熟记圆中的基本性质和定理是解题关键．
26．如图，已知与相切于点，的延长线交于点，连接，的半径为3，，则的长为（
）
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A．6
B．9
C．
D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质定理，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半可求OC，在加上OA即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，
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∵BC与⊙O相切于点B
∴OB⊥BC
∵⊙O的半径为3，∠C＝30°
∴OC＝6，OA＝3
∴AC＝9
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等内容，解题关键是熟知性质定理，熟练运用性质定理．
27．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
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A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
28．如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
29．如图，的半径为4，切于点是直径．若于点且，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．4
C．6
D．
【答案】D
【分析】
根据切线的性质求出∠ODE=30°，可知OF=2，勾股定理可求ED．
【详解】
解：∵切于点D，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠ODE=30°
∵，OD=4，
∴EF=DF，OF=OD=2，
EF=，
,
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质，解题关键是根据切线的性质求出30°角，再用勾股定理解决问题．
30．如图，P为O外一点，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
根据切线长定理求解即可
【详解】
解：∵PA、PB分别切O于点A、B，CD切O于点E，PA=4，
∴PA=PB=4，AC=CE，BD=DE，
∴△PCD的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．
二、填空题
31．如图，分别切于点D，E，F，若的周长为36，则的长是___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】18
【分析】
根据切线长定理得，，，即可得到，就可以求出AD的长．
【详解】
解：∵AD、AE是的切线，
∴，
同理：，，
∵，
∴．
故答案是：18．
【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
32．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1.5
【分析】
根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为1.5．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
33．如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为_____________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】34°
【分析】
连接OA，根据切线性质可得∠PAO=90°，根据圆周角和圆心角的关系可得∠O，继而利用互余即可求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示：
∵PA
与
⊙O
相切
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠ABC=56°，
∴∠P=90°－56°=34°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．
34．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
【答案】相离
【分析】
根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【详解】
圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
35．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为_____．【来源：21cnj
y.co
m】
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【答案】48°
【分析】
根据圆周角定理得出，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
解：，
，
是的直径，直线与相切与点，
，
．
故答案为48°.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题
36．如图，在⊙O中，是直径，是切线，B为切点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）41°
【分析】
（1）先根据是直径得∠ADB＝∠CBD＝90°，AB＝CD，利用HL进行证明即可；
（2）根据切线和直径的性质得，则可得，再由同弧所对的圆周角相等得∠ADC＝∠ABC＝41°．
【详解】
解：（1）证明：∵是直径，
∴
在和中，
（2）解：是切线，是直径，
∴，
∴．
即．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，熟练掌握直径所对的圆周角是直角、切线的性质、圆周角定理是解答此题的关键．
37．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2，求BC的长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）45°；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质求解即可；
（2）在（1）的基础上，推出等腰直角三角形，进而求解即可．
【详解】
（1）连接，则，，，
，
，
（2），，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟悉基本辅助线的添加，灵活计算证明是解题关键．
38．如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O
的切线；
（2）求点O到直线DE的距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)周角定理得到∠BDC＝90°，则CD⊥AB，再利用等腰三角形的性质得AD＝BD，于是可判断OD为△CAB的中位线，所以OD∥CA，然后证明DE⊥AC，于是利用切线的判定定理可得到结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离．
【详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，
∵CD为直径，
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∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CB＝CA，
∴AD＝BD，
而BO＝CO，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥CA，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接OD，
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【出处：21教育名师】
39．如图，在中，，点D是AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，点E在AB上，NE为⊙O的切线．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为5，，求BN的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接ON，DN，由题意易得，，进而可证，由切线定理可得，最后根据平行线的性质可求证；
（2）由题意易得，然后根据勾股定理及（1）可求解．
【详解】
（1）证明：如图，连接ON，DN，
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，点D是AB的中点，
，
CD为⊙O的直径，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
，
NE是⊙O的切线，
，
，
；
（2）解：⊙O的半径为5，
，
，CD是斜边AB上的中线，
，
，
．
由（1），得，
．
【点睛】
本题主要考查切线定理及圆周角，熟练掌握切线定理及圆周角是解题的关键．
40．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
【详解】
（1）和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
41．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA=CP，．
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（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求弦AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，由CA=CP，∠A＝30，可得出∠P＝30°，则∠ACP＝120°，OA＝OC，则∠OCA＝30°，因为∠PCO＝∠ACP∠OCA，所以∠PCO＝＝90°，即OC⊥CP，则
PC为⊙O的切线；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得OP＝2OC＝4，再运用勾股定理可求出CP的长，即为AC的长．
【详解】
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（1）证明：如图，连接OC．
∵CA=CP，∠A＝30°，
∴∠P＝∠A＝30°．
∴∠ACP＝180°2∠A
＝120°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠PCO＝∠ACP∠OCA
＝120°30°＝90°．
∴OC⊥CP．
∴CP是⊙O的切线．
（2）解∵OA=2，OA＝OC，
∴OC=2
在Rt△OCP中，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝4．
∴CP＝＝．
∴AC＝CP＝．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定及圆的性质的应用，解决此题的关键是熟练掌握圆的相关性质、判定和勾股定理的应用．
42．如图，在△ABC中，∠C=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
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（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，证明见解析（2）4
【分析】
（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2，
即（R＋2）2＝（2）2＋R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点，能求出BC是⊙O的切线是解此题的关键．
43．已知：如图，中，，以AC为弦作⊙，交的延长线于点，且．过点作⊙的切线，交的延长线于点．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的度数为________°．
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【答案】（1），理由见解析；（2）30．
【分析】
（1）连接，由已知条件及平角的定义，计算，根据圆周角90°所对的弦是直径得到为⊙的直径，再由三线合一的性质，可得，，最后根据切线的性质，及同角的余角相等，可证明，结合等量代换可解题；
（2）根据题意，直径AD所对的圆周角为90°，及DC=BC，可由线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等，证明AB=AD，若AB=BE，即点B是AE的中点，由切线性质知，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证明AD=AB=BD，进而证明是等边
