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2.1
圆
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边的一动点，则的最小值为（
）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
3．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知在中，，点D为的中点，点E在上，将沿折叠，使得点C恰好落在的延长线上的点F处，连接，则下列结论不一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O内
B．点在⊙O上
C．点在⊙O外
D．无法确定
6．如图，四边形是菱形，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交边于点，连接，若，，则的长为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．6
7．如图，在扇形中，点A从点M出发沿着向点N运动，当点A到达点N时停止运动．以为边，顺时针方向作正方形，连结．在整个运动过程中，图中阴影部分的面积的大小变化情况是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．变大
B．变小
C．先变大再变小
D．不变
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A(0，1)，点B(0，1+t)，C(0，1﹣t)（t＞0），点P在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．4
D．
9．如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．1
10．如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且，设，，则和满足的关系式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
11．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A．2
B．2
C．
D．
12．“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
14．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点E在内
B．点E在上
C．点E在外
D．无法判断
15．圆外一点P到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（
）
A．4
B．5
C．2或5
D．2
16．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上
D．无法确定
17．在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（
）
A．点D在内
B．点D在上
C．点D在外
D．不能确定
18．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（
）
A．或
B．
C．
D．
20．已知的半径为8cm，如果一点和圆心的距离为8cm，那么点与的位置关系是（
）
A．点在内
B．点在上
C．点在外
D．不能确定
21．如图，点A，B，C在上，若，则的度数等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
22．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（
）
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A．AC的长为
B．CE的长为3
C．CD的长为12
D．AD的长为10
23．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（
）21·世纪
教育网
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A．72
B．96
C．120
D．144
24．的半径为点到圆心的距离为则点与的位置关系是（
）
A．在圆上
B．在圆内
C．在圆外
D．不确定
25．平面内有两点P、O，⊙O的半径为1，若，则点P与⊙O的位置关系是（
）．
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内
D．无法判断
26．如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．4
C．
D．5
27．如图，在扇形OAB中，，，点C为OB的中点，过点C作交弧AB于点D，点E，F均为线段OA上的动点，且点F在点E的下方，，连接ED，FC，则四边形CDEF周长的最小值为（
）【出处：21教育名师】
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A．
B．
C．
D．
28．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．3
D．
29．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
30．在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终
落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，在中，．将绕的中点D旋转得，连接，则的最大值为_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为______．21
cnjy
com
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35．图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．
（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道上滑动的路径长为__________m．
三、解答题
36．如图，点D是△ABC边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC上一点(不与点B、点C重合)，延长BC到E，使CE=BD，点F是直线BC外一点，且EF//AC，DF//AB．
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（1）求证：△ABC≌OFDE；
（2）已知∠ABC=45°，∠E=60°，连接AD．
①若点O是△ABD的外心，求∠BOD的取值范围；
②若BC=+3，求AD的最小值．
37．在平面直角坐标系xOy中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是
；
②若点B在直线y＝x＋6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为
；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝?时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．2·1·c·n·j·y
38．如图，已知．
（1）尺规作图作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆的半径r．
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39．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40．已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是
．21·cn·jy·com
41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
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（1）按下列要求画图；
①将沿轴向左平移个单位长度，得到，请画出；
②将绕点逆时针旋转，得到，请画出．
（2）是
三角形，其外接圆的半径
．
42．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：．
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43．如图，D是的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，．
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（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是的外接圆的圆心．
44．如图，CD是⊙O的直径，O是圆心，E是圆上一点，且∠EOD＝81°，A是DC延长线上一点，AE与圆交于另一点B，且AB＝OC．
（1）求证：∠E＝2∠EAD；
（2）求∠EAD的度数．
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45．已知：△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8，BC=12，求⊙O的半径．
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46．已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：．
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47．已知：如图，△ABC为等边三角形，过A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，交AD于O．到O点距离等于都等于OA的所有点组成图形G．2-1-c-n-j-y
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（1）按要求画出图形G；
（2）连接CO，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC．
48．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．
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（1）在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为
；
（2）最小覆盖圆的面积为
；（用含π的代数式表示）
（3）若点E的坐标(6，0)，点E在外接圆
（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
49．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
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（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
50．如图，∠BCD＝90°，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．www.21-cn-jy.com
（1）判断：∠ABC
∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
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51．将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转60°得线段，连接．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ）如图1，求点的坐标；
（Ⅱ）在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
（Ⅲ）如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．
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52．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
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53．综合与实践
情景再现
我们动手操作：把正方形，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和，21cnjy.com
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（1）问题呈现
我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示，绕点旋转，旋转过程中，
①是一动点，若，，的最大值和最小值分别是__________、__________．
②直接写出线段与的关系是___________．
（2）问题拓展
我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点在直线上，交直线于．
①当点在上时，通过观察、思考易证：；
②当点在的延长线时，如图④所示，线段、、的数量关系是__________，当点在的延长线上时，如图⑤所示，线段、、的数量关系是__________．【版权所有：21教育】
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（3）综合与探究
如图④，连接，当，，其他条件不变，求线段的长__________．
54．如图1，的直径，为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连接，．设的长为，的面积为．小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小华的探究过程，请帮助小华完成下面的问题．
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（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.7
1.7
2.9
4.8
5.2
4.6
0
则表中的值为________；
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应点，画出该函数的大致图像；
（3）结合画出的函数图像，直接写出当的面积为时的长约为多少（结果保留一位小数）．
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精品试卷·第
2
页
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2
页）
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2.1
圆
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边的一动点，则的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
延长CD到G，使GD=CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，CN+MN=GN+MN，当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：延长CD到G，使GD=CD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
CN+MN=GN+MN，
当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，
∵正方形ABCD中，EF=8，点M为EF的中点，
∴BM=EF=4，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，
圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，
∵BC=CD=10，
∴CG=20，
∴GB=．
∴CN+MN的最小值是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到N点的位置是解题的关键．
2．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】
解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】
本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
3．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】
解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．如图，已知在中，，点D为的中点，点E在上，将沿折叠，使得点C恰好落在的延长线上的点F处，连接，则下列结论不一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由折叠的性质，结合点D为的中点，从而可判断
证明△BFC是直角三角形，再证明
从而可判断
再证明是的中点，结合点D为的中点，从而可判断
由
可得
与已知条件不相符，从而可判断
【详解】
解：如图，连接CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，
∴BD=CD=DF，
故正确，不符合题意；
在以为圆心，为直径的圆上，
∴△BFC是直角三角形，
∵BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故A正确，不符合题意；
故正确，不符合题意；
若
又
则四边形为平行四边形，
而从题干已知条件中得不出
故不一定成立，所以符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同圆的半径相等，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．2-1-c-n-j-y
5．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在⊙O内
B．点在⊙O上
C．点在⊙O外
D．无法确定
【答案】A
【分析】
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
【详解】
解：由题意可作图，如下图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r法则是解题的关键．
6．如图，四边形是菱形，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交边于点，连接，若，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．6
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据同圆半径相等、线段垂直平分线的判定与性质可得垂直平分，再根据菱形的性质可得，从而可得，然后设，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由同圆半径相等得：，
垂直平分，
四边形是菱形，
，
，
设，
在中，，
，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
则，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同圆半径相等、菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．
7．如图，在扇形中，点A从点M出发沿着向点N运动，当点A到达点N时停止运动．以为边，顺时针方向作正方形，连结．在整个运动过程中，图中阴影部分的面积的大小变化情况是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．变大
B．变小
C．先变大再变小
D．不变
【答案】D
【分析】
过点作于，于，分别记为，，可知正方形ABCD面积固定，求出△AON和△BCN的面积之和，得到，可得结果．
【详解】
解：如图，过点作于，于，分别记为，，
由题可知，AO为半径，长度不变，则正方形ABCD面积固定，
∵，，
∴，
∴，
∴不变且为正方形面积的一半．
故选D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，解题的关键是能够表示出的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，1)，点B(0，1+t)，C(0，1﹣t)（t＞0），点P在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．4
D．
【答案】A
【分析】
先求出AB，AC进而得出AC＝AB，结合直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP＝t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接AP，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝BC＝AB＝t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内两点间的距离公式，最小值的确定；判断出点A是BC的中点是解本题的关键．是一道基础题．
9．如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
每个小三角形都是正三角形，
，，
，
为直角三角形，
是的中点，，
点是斜边的中点，点是边的中点，
∴，
∵的外心是斜边的中点，
∴即点为的外心，
又∵，，
∴，
∴点E到线段AB的距离，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外心和等边三角形性质、三角形中位线定理，掌握等边三角形的性质、直角三角形的外心的位置是解题的关键．
10．如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且，设，，则和满足的关系式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接OC，OD，根据外角的性质和等边对等角可逐步判定3α+2β=180°．
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=β，
∴∠POD=∠B+∠ODB=2β，
∵CP=CO=OD，
∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC，
∵∠OCD=∠P+∠COP，
∴∠ODC=2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，
∴3α+2β=180
，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等边对等角，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．21
cnjy
com
11．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A．2
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】
由等边三角形三线合一可知，其交点即为△ABC外接圆的圆心O，即可推出∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，再由含角的直角三角形的性质，即可求出OB长．
【详解】
解：如图，等边△ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是△ABC外接圆的圆心，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，
∴OF＝BF＝，
∴OB＝2OF＝．
答案：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外接圆．掌握等边三角形三线合一以及其交点即为该等边三角形外接圆的圆心是解答本题的关键．
12．“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
如图，过作于
交于
则此时最短，由新定义求解的长度即可得到答案．
【详解】
解：如图，过作于
交于
则此时最短，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由新定义可得：
故选：
【点睛】
本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，圆外一点与圆的最短距离，新定义的理解，弄懂新定义的含义是解题的关键．
13．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据圆的性质可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，根据可推出是等腰三角形，根据题意可求出的度数，进而求出的度数，的度数就是的度数．
【详解】
解：连接OC、OD，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
∵，，是等边三角形，
∴，
∴是等腰三角形；
∵是等边三角形的外角，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，圆的性质，等腰三角形性质，根据直角三角形斜边中线求角度是解题关键．
14．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点E在内
B．点E在上
C．点E在外
D．无法判断
【答案】A
【分析】
首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
15．圆外一点P到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（
）
A．4
B．5
C．2或5
D．2
【答案】C
【分析】
分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【详解】
解：∵点P到⊙O的最近距离为3，最远距离为7，则：
当点在圆外时，则⊙O的直径为7-3=4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是7+3=10，半径为5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
16．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上
D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据d，r法则逐一判断即可．
【详解】
解：∵r=3，d=5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握ｄ，ｒ法则是解题的关键．
17．在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（
）
A．点D在内
B．点D在上
C．点D在外
D．不能确定
【答案】A
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：由勾股定理，得
AB==10，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=5，
∴CD=5<⊙C的半径，
∴点D在⊙C内．
故选：A．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
18．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接OD，如图，利用OD＝D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E得到∠DOE＝∠E＝26°，则根据三角形外角性质得到∠ODC＝52°，再利用OC＝OD得到∠C＝∠ODC＝52°，然后根据三角形外角性质得到∠AOC的度数．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵，OD＝OB，
∴OD＝OB＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝26°，
∴∠ODC＝∠DOE+∠E＝26°+26°＝52°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝52°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝52°+26°＝78°．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆的知识，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
19．数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（
）
A．或
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据点与圆的位置关系可得出AB=∣a﹣6∣＜4，解之即可解答．
【详解】
解：∵点A在内，
∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，
解得：2＜a＜10，
故选：B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、数轴上两点间的距离、解一元一次不等式组，熟练掌握点与圆的位置关系是解答的关键．21cnjy.com
20．已知的半径为8cm，如果一点和圆心的距离为8cm，那么点与的位置关系是（
）
A．点在内
B．点在上
C．点在外
D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断即可；
【详解】
∵圆的半径为8cm，P到圆心O的距离为8cm，
即OP=8，
∴点P在圆上
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的位置关系有3种：设OO的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外→d>r；点P在圆上→d=r；点P在圆内→d教育网
21．如图，点A，B，C在上，若，则的度数等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
【答案】D
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°，进而求出∠AOC=140°再，利用等腰三角形与内角和定理得到∠OAC=（180°-∠AOC）．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠OB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=∠OCB．
又∠OBC=40°，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°-2×40°=100°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+100°=140°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠OAC=．
故选D．
【点睛】
考查了圆的性质，等腰三角形的判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与性质，三角形内角和，角的和差运算，掌握圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，角的和差运算是解题关键．
22．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AC的长为
B．CE的长为3
C．CD的长为12
D．AD的长为10
【答案】A
【分析】
连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．
【详解】
解：连接AO，
∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理
,
∵CD为圆O的直径，
∴OC=OD=OA=5，
∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；
在Rt△ACE中，根据勾股定理
，故A选项正确；
在Rt△ADE中，根据勾股定理
，故D选项错误；
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．
23．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．72
B．96
C．120
D．144
【答案】B
【分析】
连接AF，AD，AE，BE，CE，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积．
【详解】
如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10，
AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC=
，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形．
24．的半径为点到圆心的距离为则点与的位置关系是（
）
A．在圆上
B．在圆内
C．在圆外
D．不确定
【答案】C
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断；
【详解】
∵的半径为5cm，点P到圆心O的距离为7cm，
∴OP＞的半径，
∴点P在外；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，准确判断是解题的关键．
25．平面内有两点P、O，⊙O的半径为1，若，则点P与⊙O的位置关系是（
）．
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内
D．无法判断
【答案】A
【分析】
已知圆O的半径为r，点P到圆心O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为1，若，
∴1＜，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系的应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
26．如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（
）
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A．
B．4
C．
D．5
【答案】B
【分析】
首先构造以OB为边的等边△，再证明，证明AO=O’P，因为OA的长度不变，所以动点A在以O为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P的长度不变，O’不动，所以动点P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P共线时，OP最大，即可求得．
【详解】
如图，以OB为边作等边，连接O’P，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴OB=O’B,
∵△PAB为等边三角形，
∴AB=BP,∠1+∠2==60°,
∴∠1=∠3，
在△OBA和中
∴
∴OA=O’P，
点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，
当O,O’,P三点共线时，OP最大，
此时OP,
故选：B．
【点睛】
本题考查构造手拉手全等三角形和求线段最大值，通过构造全等发现动点在圆上运动，进而求得线段最值，通过构造手拉手全等是解题关键．
27．如图，在扇形OAB中，，，点C为OB的中点，过点C作交弧AB于点D，点E，F均为线段OA上的动点，且点F在点E的下方，，连接ED，FC，则四边形CDEF周长的最小值为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
作C点关于OA的对称点C′，则CC′=4，然后作C′D′∥OA，且C′D′=，连接DD′交OA于E，在点E的下方截取EF=，连接CF、C′F，此时，四边形C′D′EF是平行四边形，则CF=CF′=D′E，四边形CDEF周长的最小，最小值为EF+CD+DD′．
【详解】
解：作C点关于OA的对称点C′，则CC′=4，然后作C′D′∥OA，且C′D′=，连接DD′交OA于E，在点E的下方截取EF=，连接CF、C′F，此时，四边形C′D′EF是平行四边形，则CF=CF′=D′E，四边形CDEF周长的最小，最小值为EF+CD+DD′，
连接OD，则OA=OB=OD=4，
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∵OC=OB=2，
∴CD=，
作D′M⊥CD于M，则CM=C′D′=，D′M=CC′=4，
∴DM=DC-CM=2-=
∵，
∴四边形CDEF周长的最小值为：EF+CD+DD′=，
故选：
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用，明确四边形CDEF周长的最小值为EF+CD+DD′是解题的关键．
28．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（
）
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A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】
连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．
【详解】
解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点D是边的中点，
∴,
在Rt△ACD中，
∴．
故选：B
【点睛】
本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键．
29．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
【答案】D
【分析】
连接半径OB、OC、OF，可通过HL证明，得到OD=，最后运用勾股定理求解即可．
【详解】
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解：如图，连接半径OB、OC、OF，则OB=OC=OF，
在正方形ABCD中，AB=CD，
（HL），
∴OA=OD，OD=，
E是CD中点，小正方形的边长为4cm，
∴DE=4cm，CD=8cm，OD=4cm，
，
∴该半圆的直径为2OC=cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形、勾股定理，属于综合题，能够熟练掌握各个知识点，并运用数形结合的思想是解题的关键．
30．在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终
落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
如图（见解析），先根据矩形的性质、直角三角形斜边上的中线可得，从而可得出中点P的运动轨迹，再利用矩形的面积公式和圆的面积公式即可得．
【详解】
如图1，连接BP，
四边形ABCD是矩形，
，
点P是EF的中点，，
，
当点E在AB边上，点F在BC边上时，中点P的运动轨迹是在以点B为圆心、长为半径的圆上，
又，且，
木棒的中点在运动过程中所围成的图形为图2中的阴影部分，
则所求的面积为矩形ABCD的面积减去四个圆的面积，
即所求的面积为，
则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线、圆的面积公式等知识点，依据题意，正确得出中点P的运动轨迹是解题关键．21教育网
二、填空题
31．如图，在中，．将绕的中点D旋转得，连接，则的最大值为_________．
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【答案】
【分析】
如图所示，在旋转的过程中，点A的对应点E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)始终在以点D为圆心，DA为半径的圆上．延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．为此，求出CM的长即可．
【详解】
解：如图所示，连接DA，以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点D为圆心，DA为半径画圆．在旋转的过程中，点A的对应点E始终在⊙D上．延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵D是BC的中点，
∴．
在Rt中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴CE的最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟知旋转和圆的有关性质是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
32．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】≤m≤
【分析】
作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
【详解】
解：作AB的中点M，连接CM、QM．
在以为圆心，为半径的圆上运动，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在直角△ABC中，AB＝，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝AB＝5．
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，
∴MQ＝AP＝．
∴在△CMQ中，5?≤CQ≤＋5，即≤m≤．
故答案是：≤m≤．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
33．如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】25
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】
解：连接OC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
34．如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
如图（见解析），先根据轴对称的性质可得，再根据两点之间线段最短可得点共线时，周长最小，然后利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则，
的周长为，
由两点之间线段最短得：当点共线时，周长最小，最小值为，
，，
，
由同圆半径相等得：，
，
在中，，
即周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、同圆半径相等、勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
35．图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．
（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道上滑动的路径长为__________m．
【答案】100cm≤OP≤170cm
900m
【分析】
（1）连接OP，求出OQ和PQ，再根据两种情况求出OP的最值，可得取值范围；
（2）求出AP的取值范围，可得磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑动的路径长，再乘以500即可．
【详解】
解：（1）连接OP．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得：OQ=OM+MQ=35cm，PQ=135cm，
当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，OP取得最小值，
此时OP=PQ-MQ-OM=135-15-20=100cm；
当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，OP取得最大值，
此时OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=170cm，
∴100cm≤OP≤170cm；
（2）当OP=170cm时，
∵OA⊥AP，OA=80cm，
∴AP==150cm，
当OP=100cm时，AP==60cm，
∴60cm≤AP≤150cm，
∴若磨盘转动500周，
则点P在轨道AB上滑动的路径长=500×2×（150-60）=90000cm=900m．
【点睛】
本题考查轨迹，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
36．如图，点D是△ABC边BC上一点(不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与点B、点C重合)，延长BC到E，使CE=BD，点F是直线BC外一点，且EF//AC，DF//AB．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：△ABC≌OFDE；
（2）已知∠ABC=45°，∠E=60°，连接AD．
①若点O是△ABD的外心，求∠BOD的取值范围；
②若BC=+3，求AD的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①0°＜∠BOD＜150°；②3．
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠FED，∠B=∠FDE，继而可证明△ABC≌△FDE（ASA）；
（2）①连接AD，解得∠BAC=75°，由外心性质解得∠BOD=2∠BAD，由此可知0°＜∠BOD＜150°；
②根据正切定义解题．
【详解】
解：（1）证明：∵BD=CE，
∴BC=DE，
∵EF//AC，
∴∠ACB=∠FED，
∵AB//DF，
∴∠B=∠FDE，
∴△ABC≌△FDE；
（2）①连接AD，
∵∠ACB=∠FED=60°，∠B=45°，
∴∠BAC=75°，
∵点D是△ABC边BC上一点(不与点B、点C重合)
∴0°＜∠BAD＜75°
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOD=2∠BAD
∴0°＜∠BOD＜150°；
②当AD⊥BC于D时，AD最小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠B=45°，
∴BD=AD
∵∠ACB=∠E=60°，
∴tan∠ACB=，
∴CD=AD
∵BC=BD+CD=AD+AD=+3，
∴AD=3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、涉及平行线的性质、正切、三角形的外心等知识，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
37．在平面直角坐标系xOy中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是
；
②若点B在直线y＝x＋6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为
；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝?时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）①1或2；②2≤r≤
【分析】
（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；
（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为2，从而确定r的最小值，根据CD长度确定r的最大值．
【详解】
解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②点B在直线y＝x＋6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．
故答案为①E、F；②（﹣3，3）；
（2）①∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，
∴t1＝﹣k﹣3，t2＝4k﹣3.
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k＋3＞3，4k﹣3＞﹣3.
依据“等距点”定义可得：
当﹣3＜4k﹣3＜4时，k＋3＝4，解得k＝1；
当4k﹣3≥4时，k＋3＝4k﹣3，解得k＝2.
综上所述，k的值为1或2.
②∵k＝?，
∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（6，0），线段CD＝．
N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为2，
若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为2，
r的最大值为CD长度,
如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
所以r的取值范围为2≤r≤．
故答案为：E、F；（﹣3，3）．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
38．如图，已知．
（1）尺规作图作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆的半径r．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．
（2）连接OB，连接OA交BC于点E．利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）连接OB，连接OA交BC于点E，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=16，腰AB=10，
∴BE=CE=8，AE==6，
在Rt△BOE中，r2=82+（r-6）2，
解得：r=．
【点睛】
此题主要考查的是三角形外接圆的作法，勾股定理等知识，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心，利用参数构建方程解决问题．
39．如图，菱形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
由题意易得，BE＝1，AF＝2，进而把问题转化为求PB＋PA－3的最小值，即为求PB＋PA的最小值，过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得BE＝1，AF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴，，
欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如图5-2），
过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，如图5-3，
∴，
∵，，BC∥AD，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点B与关于DC对称，
∴PB＋PA的最小值为，，
∴PE＋PF的最小值等于3．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及圆的基本性质，熟练掌握菱形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
40．已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是
．
【答案】（1）±2；（2）①m2+n2＝5；②5﹣．
【分析】
（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可；
（2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP=＝，则点P在以O点为圆心，为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【详解】
解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
解得n＝±2，
即n的值为±2；
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，
整理得m2+n2＝5；
②∵OH＝|m|，PH＝|n|，
∴OP＝＝，
即点P在以O点为圆心，为半径的圆上，
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，
∵原点到点（3，4）的距离为＝5，
∴点P到点（3，4）的距离最小值是5﹣．
故答案为5﹣．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按下列要求画图；
①将沿轴向左平移个单位长度，得到，请画出；
②将绕点逆时针旋转，得到，请画出．
（2）是
三角形，其外接圆的半径
．
【答案】（1）①如图即为所画，见解析；②如图即为所画，见解析；（2）直角，．
【分析】
（1）①根据平面直角坐标系中图形平移规律向左平移2个单位长度，即A、B、C三点的横坐标均减2，得到的新坐标点，并把其首尾相连即可得到平移后；
②根据图形旋转的特点，逆时针旋转90°，旋转后的图形与原来图全等，且对应边相互垂直，依据此作图即可；
（2）连接，得到三角形，在网格中，利用勾股定理逆定理，可证明为等腰直角三角形；本等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，即可求出其外接圆的半径．
【详解】
（1）①向左平移2个单位后，可得，然后在坐标系中描点、连线，如图即为所画.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②如图即为所画.
解：∵，
，
∴，
∴为等腰三角形
又∵
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∵等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，
∴
即外接圆的半径．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的图形平移与旋转，勾股定理逆定理以及三角形外接圆的有关知识，解答关键是利用数形结合思想解决问题．
42．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等．
【详解】
证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，同圆半径相等．正确理解三角形的判定定理是关键．
43．如图，D是的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是的外接圆的圆心．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证；
（2）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，由此即可得证．
【详解】
（1），
，
又点D是的边BC的中点，
垂直平分BC，
；
（2）如图，连接BO，
由（1）已证：AD垂直平分BC，
点O在AD上，
，
又，
，
∴点O是的外接圆的圆心．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形外接圆的圆心，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．【来源：21cnj
y.co
m】
44．如图，CD是⊙O的直径，O是圆心，E是圆上一点，且∠EOD＝81°，A是DC延长线上一点，AE与圆交于另一点B，且AB＝OC．
（1）求证：∠E＝2∠EAD；
（2）求∠EAD的度数．
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【答案】（1）证明见解析；（2）∠EAD＝27°．
【分析】
（1）连接BO，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换即可证明；
（2）由三角形外角性质可得∠EOD＝∠E+∠EAD，然后将（1）中所得结论代入即可解答．
【详解】
（1）证明：如图，连接
OB．
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠EAD＝∠2，
∴∠1＝∠2+∠EAD＝2∠EAD．
又∵
OE＝OB，
∴∠1＝∠E，
∴∠E＝2∠EAD；
（2）解：∵∠EOD＝∠E+∠EAD＝3∠EAD＝81°，
∴∠EAD＝27°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．21·cn·jy·com
45．已知：△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8，BC=12，求⊙O的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）作图见解析；（2）10．
【分析】
（1）分别做AB、BC的垂直平分线且交于O，然后以O为圆心、OA为半径画圆即可；
（2）如图：连接OB，然后根据垂径定理求得BD，最后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴⊙O即为所求作的外接圆；
（2）如图：连接OB
∵已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8
∵线段BC的垂直平分线交BC于点D，
∴BD=CD=
BC=6，
在Rt△BOD中，OB==10，
∴⊙O的半径长10．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆的作法和垂径定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
46．已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据已知可以证得△OAD≌△OBC，从而得到AD=BC．
【详解】
证明：∵C
、
D
分别为
OA
、
OB
的中点，∴OD=OC，
∴在△OAD和△OBC中，，
∴△OAD≌△OBC，
∴AD=BC．
【点睛】
本题考查圆与三角形的综合运用，灵活运用圆的性质和三角形全等的判定和性质是解题关键．
47．已知：如图，△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为等边三角形，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，交AD于O．到O点距离等于都等于OA的所有点组成图形G．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按要求画出图形G；
（2）连接CO，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC．
【答案】（1）图形见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意和等边三角形的性质得图形G为等边三角形ABC的外接圆，点O为圆心；
（2）由OA=OB=OC和AB=BC=AC知△AOB≌△BOC△AOC，则∠AOB=∠COB=∠AOC，得证．
【详解】
（1）∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴BD=CD，AE=CE，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴OA=OB=OC，
故图形G为等边三角形ABC的外接圆，点O为圆心，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，
又∵OA=OB=OC，
∴△AOB≌△BOC≌△AOC（SSS），
∴∠AOB=∠COB=∠AOC．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)垂直平分线的判定与性质、三角形的外接圆、全等三角形的判定与性质，熟练运用相关知识，能判定出图形G为等边三角形ABC的外接圆是解答的关键．www.21-cn-jy.com
48．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．
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（1）在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为
；
（2）最小覆盖圆的面积为
；（用含π的代数式表示）
（3）若点E的坐标(6，0)，点E在外接圆
（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
【答案】（1）（5，5）；（2）；（3）内
【分析】
（1）根据网格的性质画出AB和BC的垂直平分线，交点即为点D；
（2）求出△ABC的外接圆的面积即可；
（3）求出DE的长，再与圆D的半径比较即可．
【详解】
解：（1）如图所示，
点D的坐标为（5，5），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）△ABC的最小覆盖圆的面积即为外接圆的面积，
∵D（5，5），A（0，7），
∴AD=，
∴△ABC的最小覆盖圆的面积为=；
（3）∵E（6，0）
则DE=＜，
∴点E在△ABC外接圆内，
故答案为：内．
【点睛】
此题主要考查了三角形外接圆，勾股定理，解题的关键是能根据网格的性质找到圆心D．
49．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】
（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；【出处：21教育名师】
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．21教育名师原创作品
50．如图，∠BCD＝90°，BC＝D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC
∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
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【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】
（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【详解】
解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
51．将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转60°得线段，连接．
（Ⅰ）如图1，求点的坐标；
（Ⅱ）在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
（Ⅲ）如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．
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【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【分析】
（Ⅰ）由为等边三角形，先求解
再利用勾股定理求解，再利用中点的含义可得答案；
（Ⅱ）如图，连接
先证明是等边三角形，再由为等边三角形，
证明
并求解
再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：是等边三角形，且边长为
结合题意可得在以为圆心，为半径的圆上运动，连接
证明
从而最长，则最长，最短，则最短，再利用圆外一点到圆的最短距离与最长距离的含义可得答案．
【详解】
解：（Ⅰ）为等边三角形，
为的中点，
（Ⅱ）如图，连接
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是等边三角形，
为等边三角形，
为的中点，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：是等边三角形，且边长为
在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接
延长交于
记与交于
分别为的中点，
最长，则最长，最短，则最短，
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由圆的性质可得：当旋转到与重合，最长，
此时
当旋转到与重合，最短，
此时
的取值范围是：
【点睛】
本题考查的是坐标与图形，等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，圆外一点与圆的最长距离与最短距离，灵活运用以上知识解题是解题的关键．
52．如图1，在△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）利用“两角法”进行推理论证即可；
（2）首先证明A、B、D、G四点共圆，即可得解；
（3）△CDE的等腰直角三角形，推知DE是△ABC的中位线，则DE∥AB，△CDE∽△CBA，即可得证；
【详解】
（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝45°，
∵∠EGD＝135°，
∴∠BGD＝45°，
∴∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，
∴△BGD∽△BCE．
（2）由（1）知△BGD∽△BCE．
∴∠BEC＝∠BDG．
∵∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝90°＋∠ABE，∠BDG＝90°＋∠ADG，
∴∠ABE＝∠ADG．
∴A、B、D、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°．
（3）△CDE的等腰直角三角形，理由如下：
在直角三角形ABG中，，，
∴，
由射影定理可知：＝BG?GE．
则有：，＝GE?BE．
则有：，CE＝AC﹣AE＝10﹣5＝5，
故点E是AC的中点．
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE的等腰直角三角形．
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【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质，结合圆的性质和勾股定理计算是解题的关键．
53．综合与实践
情景再现
我们动手操作：把正方形，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和，21世纪教育网版权所有
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（1）问题呈现
我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示，绕点旋转，旋转过程中，
①是一动点，若，，的最大值和最小值分别是__________、__________．
②直接写出线段与的关系是___________．
（2）问题拓展
我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点在直线上，交直线于．
①当点在上时，通过观察、思考易证：；
②当点在的延长线时，如图④所示，线段、、的数量关系是__________，当点在的延长线上时，如图⑤所示，线段、、的数量关系是__________．
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（3）综合与探究
如图④，连接，当，，其他条件不变，求线段的长__________．
【答案】（1）①8；2；②AE=BD，AE⊥BD；（2）AD+CE=MF；AD+MF=
CE；（3）2
【分析】
（1）①P为一动点，，则点P在以C为圆心，以3为半径圆上运动，则PB最大为BC+PC，最小为PC-BC；②根据△ACE≌△DCB，问题得解；
（2）类比①；通过添加辅助线FG⊥BE，交BE延长线于G，证明△ABE≌△EGF，进行线段转移，得出结论；针对图⑤，方法类似；
（3）根据前序步骤可证得四边形CMFG为正方形，从而结合题意求出其边长，然后结合△AEF的面积求出EF，最终求出EG即可得出结论．
【详解】
1）①由题意可知，点P在以C为圆心，以3为半径圆上运动，
∴PB最大为BC+PC=5+3=8，最小为PC-BC=5-3=2；
故答案为：8；2；
②AE=BD，AE⊥BD；
证明：∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
即：∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，
∵∠BFC+∠DBC=90°，∠BFC=∠EFD，
∴∠AEC+∠EFD=90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE=BD，AE⊥BD；
（2）②对于图④，AD+CE=MF；
证明：如图，作FG⊥BE，交BE延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠MCG=∠G=90°，AD=AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∴△ABE≌△EGF，
∴AB=EG，
∵AB=BC，
∴EG=BC，
∴EG+CE=BC+CE，
即：CG=BC+CE=AD+CE，
∵∠G=∠MCG=90°，FM⊥CD，
∴四边形CMFG为矩形，
∴MF=CG，
∴AD+CE=MF；
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对于图⑤，AD+MF=
CE；
证明：如图，作EH⊥MF延长线于H点，则四边形EHMC为矩形，
∴∠BEH=∠BEF+∠FEH=90°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠HEF，
∴△ABE≌△EHF，
∴AB=FH，
∴CE=HM=FH+FM=AB+FM，
∴AD+MF=
CE；
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故答案为：AD+CE=MF；AD+MF=
CE；
（3）∵CG=BC+CE=FG，四边形CMFG为矩形，
∴四边形CMFG为正方形，
∵，
∴，
∴，
∵△AEF为等腰直角三角形，，
∴，，
∴在Rt△FEG中，，
∴，
故答案为：2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及点与圆的位置关系等，掌握基本的全等模型，灵活运用基本图形的性质是解题关键．【版权所有：21教育】
54．如图1，的直径，为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连接，．设的长为，的面积为．小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小华的探究过程，请帮助小华完成下面的问题．
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（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.7
1.7
2.9
4.8
5.2
4.6
0
则表中的值为________；
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应点，画出该函数的大致图像；
（3）结合画出的函数图像，直接写出当的面积为时的长约为多少（结果保留一位小数）．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）或
【分析】
（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题；
（2）利用描点法即可解决问题；
（3）利用图象法，确定y＝4时x的值即可；
【详解】
解：（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，y＝×4×2＝4．即a的值是4，
故答案是：4；
（2）函数图象如图所示．
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（3）观察图象可知：当△ADE的面积为4cm2时，AC的长度约为2.0cm或3.7cm．
【点睛】
本题考查圆的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，利用庙殿发画出函数图像，难度一般．
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