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2.2
圆的对称性
【基础训练】
一、单选题
1．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】
解：在过点P的所有⊙O的弦中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
【点睛】
此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】
连接OC，求出OC，CE，根据勾股定理求出OE，即可求出答案．
【详解】
解：连接OC，
∵AB＝20，
∴OC＝OA＝OB＝10，
∵AB⊥CD，AB过O，
∴CE＝DE＝CD＝8，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6，
∴BE＝10﹣6＝4．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．21
cnjy
com
3．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．10
C．16
D．20
【答案】D
【分析】
连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CE=CD=8，
∵OE=6．
在Rt△OEC中，由勾股定理得：
OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82
解得：OC=10
∴直径AB=2OC=20．
故选D．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M．若AB=12，OM∶MD=5∶8，则⊙O的周长为 ( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．26π
B．13π
C．
D．10π
【答案】B
【分析】
连接OA，根据垂径定理得到AM＝AB＝6，设OM＝5x，DM＝8x，得到OA＝OD＝13x，根据勾股定理得到OA＝×13，于是得到结论．
【详解】
连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM＝AB＝6，
∵OM：MD＝5：8，
∴设OM＝5x，DM＝8x，
∴OA＝OD＝13x，
∴AM＝12x＝6，
∴x＝，
∴OA＝×13，
∴⊙O的周长＝2OA?π＝13π，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
5．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】
由垂径定理可得，直径CD垂直平分AB，即AE=AB．
【详解】
解：∵AB是圆O的弦，CD⊥AB
∴AE=AB=5．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，垂径定理是垂直与弦的直径平分这条弦.
6．下列判断正确的是（
）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦
C．弦的中垂线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
【答案】C
【分析】
根据垂径定理逐项判断即可．
【详解】
A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，此项错误
B、平分弧的直径必定平分这条弧所对的弦，此项错误
C、弦的中垂线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，此项正确
D、平分弦（非直径）的直径必平分弦所对的两条弧，此项错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题关键．
7．如图，在中，垂直弦于点则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接，先根据求出勾股定理的长，再根据垂径定理求出的长即可．
【详解】
解：连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
在中，
，
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．2
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
连接BO,根据垂径定理得出BD,在△BOD中利用勾股定理解出OD,从而得出AD,在△ABD中利用勾股定理解出AB即可．【版权所有：21教育】
【详解】
连接OB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的垂径定理及勾股定理的应用,关键在于熟练掌握相关的基础性质．
9．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．8
C．7
D．5
【答案】D
【分析】
根据垂径定理可得出AE的值，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=4，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是垂径定理，根据垂径定理得出AE的值是解此题的关键．
10．如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据已知比例式、直径长求出OP、OC的长，再根据勾股定理求出CP的长，然后根据垂径定理即可得．
【详解】
，AB是的直径
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟记垂径定理内容是解题关键．
11．如图，在中弦的长为8，圆心到的距离为3，则的半径为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
由垂径定理可得AC的长，在RtAOC中，利用勾股定理即可求出OA的长，即为圆的半径．
【详解】
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=
AB=4，
又∵OC=3，
∴,
故选C.
【点睛】
此题考查了垂径定理、勾股定理的知识，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
12．如图，在半径为5的中，圆心到弦的距离为3，则弦的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
先利用勾股定理求出BC的长，再根据垂径定理即可得．
【详解】
如图，连接OB
在中，
由垂径定理得：
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握理解垂径定理是解题关键．
13．在中，直径，弦于点，若，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【分析】
根据已知条件求出，利用勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：，
，
又，
，
在中，
，
又为半径且，
，
的周长为：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解题的关键是：利用题目条件求出相应边长，再结合勾股定理和垂径定理求解．21·cn·jy·com
14．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
15．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”
．下列判断正确的是（
）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】
根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
16．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．2
【答案】B
【分析】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2，
∴OM=，
ON=，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP=OM=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E.
若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．16
B．13
C．10
D．6
【答案】C
【分析】
连结OC，由垂径定理可得CE=DE=，由OE∶OB＝3∶5，可得OE：OC=3:5，设OE=3x，OC=5x，在Rt△OEC中，可求OC=5即可；
【详解】
解：连结OC，
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，
∴CE=DE=，
∵OB=OA=OC，OE∶OB＝3∶5，
∴OE：OC=3:5，
设OE=3x，OC=5x，
在Rt△OEC中，
由勾股定理，即，
整理得，
解得（舍去），
∴OC=5，
∴AB=2OC=10．
故选择C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，圆的性质，掌握垂径定理，圆的性质，连辅助线构造直角三角形利用勾股定理求半径是解题关键．21cnjy.com
18．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
19．如图，是的直径，弦于点，，，则的长是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出的长度．
【详解】
解：弦于点，cm，
cm，
在中，cm，
（cm），
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．
20．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足为，且cm，cm，则⊙O的半径为（
）
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A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
【答案】A
【分析】
连接OA，如图，设⊙O的半径为r，由CD⊥AB得到∠APO=90°，在Rt△OAP中根据勾股定理得到方程，然后解方程求出r即可．
【详解】
解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，
∴∠APO=90°，AP=BP=AB=，
在Rt△OAP中，∵OP=OD-PD=r-3，OA=r，AP=，
∴，
解得r=6，
即⊙O的半径为6cm．
故选：A．
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【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（
）
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A．0.2
B．2.6
C．2.4
D．4
【答案】B
【分析】
连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1?，
解得R=2.6．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
22．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8cm
B．10cm
C．14cm
D．16cm
【答案】D
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=48cm，
∴BD=AB=×48=24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．如图，武汉晴川桥可以近似地
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
【答案】A
【分析】
设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．
【详解】
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200（m），
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
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【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
24．如图所示，在圆内有折线，其中，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．19
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】
延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，由∠A=∠B=60°，可判断△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质有∠ADB=90°，AD=BD=AB=10，则OD=AD-OA=4，在Rt△ODH中，由∠ODH=60°得∠DOH=30°，则DH=OD=2，则可得到BH=BD-DH=8，根据垂径定理由OH⊥BC得BH=CH=8，所以BC=2BH=16．
【详解】
解：延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，如图，
∵∠A=∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=10，
∴OD=AD-OA=10-6=4，
在Rt△ODH中，∠ODH=60°，
∴∠DOH=30°，
∴DH=OD=2，
∴BH=BD-DH=10-2=8，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=8，
∴BC=2BH=16．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等边三角形的判定与性质．21
cnjy
com
25．如图，C、D是以为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则x的最大值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．
C．2.5
D．
【答案】C
【分析】
如图：延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM=
DN，所以当DN为直径时，PM的值最大．
【详解】
解：如图：延长交于，连接．
，
，
，
，
当为直径时，的值最大，最大值为．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
26．如图，拱桥可以近似地看作直径为2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)50m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50m
B．40m
C．30m
D．25m
【答案】D
【分析】
设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝75m，再由勾股定理求出OC＝100m，然后求出CD的长即可．
【详解】
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），
∴OC＝＝＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
27．如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．2.5
D．3
【答案】B
【分析】
根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】
解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5-x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AD=4，
由勾股定理可知：52=42+（5-x）2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
28．如图，在半径为5的中，半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．8
C．
D．
【答案】D
【分析】
由垂径定理和勾股定理得，再证OC是△ABE的中位线，得，然后由勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴，
∵OD⊥AB，
∴，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
29．如图，的半径为6，是的内接三角形，连接，若与互补，则线段的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【分析】
作弦心距，先根据已知求出，由等腰三角形三线合一的性质得：，利用角所对的直角边是斜边的一半可求得的长，根据勾股定理得的长，最后利用垂径定理得出结论．
【详解】
解：与互补，
，
，
，
过作，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
30．如图，是某供水管道的截面图，里面尚
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6cm
B．5.5cm
C．5cm
D．4cm
【答案】C
【分析】
连接，设圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
∵AB＝8cm，
，
设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径构建直角三角形，根据勾股定理列方程.
二、填空题
31．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】26
【分析】
延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意易得DE即为⊙O的直径，寸，寸，则有寸，设OA=x寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．
【详解】
解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点，寸，寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴寸，
设OA=x寸，则寸，
∴在Rt△AOC中，，即，
解得：，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
32．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
33．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】cm
【分析】
在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可．
【详解】
如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据题意得：OD＝OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，
由垂径定理得：AB＝2cm．
故答案为：cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
34．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼?考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝__cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】75
【分析】
先根据垂径定理可得，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：由题意得：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
35．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】25
【分析】
根据题意，可以推出AD=BD=20，若设半径为r，则OD=r-10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：连接OD，∵点C是的中点，D是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=DB=20m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=（r-10）2+202，
解得：r=25m，
∴这段弯路的半径为25m，
故答案为：25．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
三、解答题
36．已知如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，半径为2，则弦的长为多少？
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【答案】2
【分析】
根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵的直径垂直于弦，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴．
【点睛】
本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
37．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可．
（2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）证明：是直径，，
，
，
，
．
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
38．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）8；（2）
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】
解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝，
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CFAB，得，
则．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
39．如图，一宽为2cm的刻度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】圆的半径为cm
【分析】
设OB=rcm，由于刻度尺的宽
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为2cm，所以OE=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BE的长，在Rt△OBE中利用勾股定理即可得出r的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
解
：连接OC，交AB于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，
∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
设OB=r，
∴（r﹣2）2+9=r2
解得r=，
∴该圆的半径为cm．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BE=3是解答此题的关键．
40．如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过的圆心，若AB＝200
cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，，AB平行于地面EF，最顶端与AB的距离为2
cm．
（1）求的半径；
（2）若台面AB与地面EF之间的距离为72
cm，求E，F两点之间的距离．（精确到1
cm，参考数据：≈1.7，≈137）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）168
cm；（2）274
cm．
【分析】
（1）延长AC，BD交于点O，作OM⊥AB于点M，交于N，利用等边三角形的定义、结合勾股定理进行求解即可；
（2）连接OF．利用平行线的性质，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】
解：（1）延长AC，BD交于点O，作OM⊥AB于点M，交于N，
连接EF交OM于点K．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝200
cm，
∵OM⊥AB，
∴cm，
∵MN＝2，
∴ON＝100－2≈168
cm，
∴的半径为168
cm．
（2）连接OF．
∵EF∥AB，OM⊥AB，
∴OK⊥EF，
在Rt△OFK中，
OK＝OM－KM≈170－72≈98，
∴FK＝＝≈137
cm，
又∵OK⊥EF，
∴EK＝KF，
∴EF＝2KF＝274
cm．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、平行线的性质应用，考查了圆的垂径定理的应用、勾股定理的应用．
41．如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形．
【详解】
解：证明：过点O点作OM⊥AB，垂足为M；
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
∵AC=BD，
∴CM=DM，
又∵OM⊥AB，
∴OC=OD，
∴△OCD为等腰三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了垂径定理和等腰三角形的判定等知识，解题的关键是合理作出辅助线．
42．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）的半径为5cm；（2）到的距离为cm
【分析】
（1）连接，设半径为，则，构建方程即可解决问题．
（2）根据，求解即可．
【详解】
解：（1）连接，设半径为，则，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
是的直径，弦于，，
，
在中，，
．
（2），
，，，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
43．如图，，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
如图，记圆的圆心为
过作于
过作于
连接
再证明
证明
可得
再证明
从而可得答案．
【详解】
证明：如图，记圆的圆心为
过作于
过作于
连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是直角三角形的全等的判定与性质，弧，弦，圆心角的关系定理，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．21教育网
44．如图，是的直径，弦于点E，若，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
【详解】
解：如图,连接OC.
∵弦于点E，，
∴．
∵在中，，，，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查圆的性质与勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
45．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）证明：如图，过点作于点．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
46．如图，在中，直径垂直弦，垂足是点M，，求弦的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】CD=24．
【分析】
连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出，即可求出答案．
【详解】
解：连接，则，
，
在中，，
∵于点M，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD＝2CM．
47．如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD=6，BE=1，求△AOF的面积．
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【答案】；
【分析】
利用垂径定理先求解
如图，连接
设的半径为，则
利用勾股定理求解
再求解的面积，再利用
利用垂径定理可得
从而可得答案．
【详解】
解：是的直径，弦CD⊥AB，
如图，连接
设的半径为，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．
48．已知的半径为，弦，，，求与间的距离．
【答案】或
【分析】
有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论．
【详解】
解：如图①，过作于交于，连接，，
，
；
由垂径定理得，，
，，
；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图②，过作于，于，连接，，
同理可得，，
当，在圆心的两侧时，
，
与的距离为或．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解．
49．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连结交于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：
（2）连结，交于点G，若，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）AE的长为
【分析】
（1）连接AD，证OD
，因为AB是直径，所以，则得证；
（2）若，则AE=DF，由OF是的中位线，则，所以，最后证得问题得解．
【详解】
（1）证明：连接AD，
是的直径，
，
，
，
又，
，
；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）
解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，圆的有性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的性质等知识，运用等腰三角形“三线合一”的性质及垂径定理是解本题的关键．
50．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求弦
的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
根据题意，由垂径定理解得，再根据题意解得OC、OM的长，结合勾股定理解得CM的长，即可解题．
【详解】
连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵的直径，
，
，
∴，
在中，
∴
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
51．（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长．2·1·c·n·j·y
（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）2；（2）2
【分析】
（1）根据垂径定理即可得到CE的长，在直角三角形OCE中，根据勾股定理即可求解；
（2）过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行内错角相等，可得：∠AOP＝∠COP，利用外角等于与它不相邻的两个内角和可得：∠AOB＝30°，再根据直角三角形角对应的直角边等于斜边的一般即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．
∴CE＝CD＝4．
在直角△OCE中，OE＝＝＝3．
则AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2；
（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠PCE＝∠BOP+∠COP＝∠BOP+∠AOP＝∠AOB＝30°，
又∵PC＝4，
∴PE＝PC＝×4＝2，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
本题主要考查的是垂径定理，勾股定理解三角形，解答本题的关键是作辅助线构造含有角的直角三角形．
52．已知：如图，在中，，，以点C为圆心、AC为半径作，交AB于点D，求的度数．
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【答案】50°．
【分析】
过点C作于点E，交于点F，则有，由题意易得，进而可得的度数为，然后问题可求解．
【详解】
解：如图，过点C作于点E，交于点F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
又，，
，
的度数为，
的度数为．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及圆心角与弧的关系，熟练掌握垂径定理及圆心角与弧的关系是解题的关键．
53．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】桥拱的高度为8m．
【分析】
过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，由垂径定理得AD＝BD24＝12（m），设CD＝x(m)，则OD＝（13﹣x）m，在
中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
如图所示：过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则AD＝BD24＝12（m），
设CD＝x(m)，则OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：，即，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为8m．
【点评】
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
54．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
作半径OE⊥AB交圆于E点，利用垂径定理得到相等的弧，两边相减即可得证．
【详解】
证明：作半径OE⊥AB交圆于E点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴，
∴
即：．
【点睛】
本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是正确地作出垂直于弦的半径．
55．如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
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【答案】
【分析】
连接OC，如图，根据垂径定理得到CE=DE，然后利用勾股定理计算出CE，从而得到CD的长．
【详解】
解：连接OC，如图，
∵AB为直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵AB=8，
∴OA=OC=4，
∴OE=OA-AE=4-1=3，
在Rt△OCE中，CE=，
∴CD=2CE=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
56．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】分米
【分析】
连接过圆心，为中点，由垂径定理得为中点求出的长在中，由勾股定理即解方程即可．
【详解】
解：连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过圆心，为中点，
，
为中点，
，
设半径为分米，则，
，
，
在中，
，
，
．
拱门所在圆的半径是分米．
【点睛】
本题考查圆的半径问题，掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)垂径定理，与勾股定理，会利用垂径定理求线段的长度，会利用等量关系用代数式表示线段，会利用勾股定理构造方程，会解方程是解题关键．【来源：21cnj
y.co
m】
57．如图，为弦，半径，垂足为，如果，，求的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【分析】
连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理得AD=BD=AB=4，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：连接OA，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵半径OC⊥AB，AB=8，
∴AD=BD=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OD=r-2，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
58．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
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（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）根据垂径的求得AE=4，设
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得半径；
（2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE．
【详解】
解：（1）于点且
，
设半径为，则
在中有
解得：
即半圆的半径为5
（2）为半圆的直径
则
在中有
【点睛】
此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键．
59．如图，中，，，，以为半径的交于，求的长．
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【答案】
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，过C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝＝＝25．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
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∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CM＝＝12，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2＋CM2，即225＝AM2＋144，
解得：AM＝9，
∴AD＝2AM＝18．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
60．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．
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（1）若，求的度数．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）；（2）8
【分析】
（1）根据垂径定理可得，然后根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论；
（2）设半径是，根据垂径定理即可求出AE，根据勾股定理列出方程即可求出r，从而求出结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）设半径是，则，
∴，
在直角中，，
则，
解得，
则．
【点睛】
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握结合垂径定理和勾股定理求解是解题关键．
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精品试卷·第
2
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2.2
圆的对称性
【基础训练】
一、单选题
1．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（
）
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A．4
B．6
C．8
D．10
3．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）
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A．8
B．10
C．16
D．20
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M．若AB=12，OM∶MD=5∶8，则⊙O的周长为 ( )
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A．26π
B．13π
C．
D．10π
5．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（
）
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A．4
B．5
C．6
D．8
6．下列判断正确的是（
）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦
C．弦的中垂线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
7．如图，在中，垂直弦于点则的长是（
）
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A．
B．
C．
D．
8．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
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A．2
B．2
C．4
D．5
9．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径为（ ）
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A．10
B．8
C．7
D．5
10．如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
11．如图，在中弦的长为8，圆心到的距离为3，则的半径为（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
12．如图，在半径为5的中，圆心到弦的距离为3，则弦的长为（
）
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A．2
B．4
C．8
D．10
13．在中，直径，弦于点，若，则的周长为（
）
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A．13
B．14
C．15
D．16
14．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（
）21教育网
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A．
B．
C．
D．
15．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”
．下列判断正确的是（
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A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
16．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（
）
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A．
B．
C．4
D．2
17．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E.
若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
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A．16
B．13
C．10
D．6
18．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
19．如图，是的直径，弦于点，，，则的长是（
）
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A．
B．
C．
D．
20．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足为，且cm，cm，则⊙O的半径为（
）
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A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
21．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（
）
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A．0.2
B．2.6
C．2.4
D．4
22．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（
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A．8cm
B．10cm
C．14cm
D．16cm
23．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
24．如图所示，在圆内有折线，其中，，，则的长为（
）
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A．19
B．16
C．18
D．20
25．如图，C、D是以为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则x的最大值是（
）2·1·c·n·j·y
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A．3
B．
C．2.5
D．
26．如图，拱桥可以近似地看
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．50m
B．40m
C．30m
D．25m
27．如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（
）
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A．1
B．2
C．2.5
D．3
28．如图，在半径为5的中，半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（
）21·世纪
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A．
B．8
C．
D．
29．如图，的半径为6，是的内接三角形，连接，若与互补，则线段的长为（
）
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A．
B．3
C．
D．6
30．如图，是某供水管道的截面图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（
）www-2-1-cnjy-com
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A．6cm
B．5.5cm
C．5cm
D．4cm
二、填空题
31．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
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32．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
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33．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．
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34．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼?考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝__cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
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35．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m．
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三、解答题
36．已知如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，半径为2，则弦的长为多少？
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37．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
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38．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝22-1-c-n-j-y
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
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39．如图，一宽为2cm的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．
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40．如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过的圆心，若AB＝200
cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，，AB平行于地面EF，最顶端与AB的距离为2
cm．
（1）求的半径；
（2）若台面AB与地面EF之间的距离为72
cm，求E，F两点之间的距离．（精确到1
cm，参考数据：≈1.7，≈137）21
cnjy
com
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41．如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形．
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42．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．
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43．如图，，求证：．
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44．如图，是的直径，弦于点E，若，，求的长．
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45．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
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（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
46．如图，在中，直径垂直弦，垂足是点M，，求弦的长．
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47．如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD=6，BE=1，求△AOF的面积．【来源：21cnj
y.co
m】
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48．已知的半径为，弦，，，求与间的距离．
49．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连结交于点F．
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（1）求证：
（2）连结，交于点G，若，且，求的长．
50．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求弦
的长．
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51．（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长．【出处：21教育名师】
（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．
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52．已知：如图，在中，，，以点C为圆心、AC为半径作，交AB于点D，求的度数．
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53．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）【版权所有：21教育】
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54．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：
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55．如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
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56．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．21教育名师原创作品
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57．如图，为弦，半径，垂足为，如果，，求的半径．
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58．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
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（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
59．如图，中，，，，以为半径的交于，求的长．
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60．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．
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（1）若，求的度数．
（2）若，，求的长．
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