5.3 利用导数研究函数的单调性（第一课时）（含答案）

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利用导数研究函数单调性（第一课时）
一．选择题
1．函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
2.函数f(x)=cos
x-x在(0,π)上的单调性是
(
)
A.先增后减
B.先减后增
C.单调递增
D.单调递减
3．函数的单调增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的单调递减区间是（
）
A．B．C．
D．
6．函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数在（
）
A．内是增函数
B．内是增函数，在其余区间内是减函数
C．内是减函数
D．内是减函数，在其余区间内是增函数
9．函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
10.
已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1,f'(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f'(x)的图像如图所示,则不等式f(x)<1的解集是
(　　)
11．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________________．
12.函数的一个单调递减区间是________
13．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
三．解答题
14．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．
15.已知函数．若，求的单调区间．
16.已知函数f(x)＝－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
17．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
判断函数f(x)的单调性．
利用导数研究函数单调性（第一课时）
一．选择题
1．函数的单调递减区间是（
D
）
A．
B．
C．
D．
2.函数f(x)=cos
x-x在(0,π)上的单调性是
(D
)
A.先增后减
B.先减后增
C.单调递增
D.单调递减
3．函数的单调增区间是（
D
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（
C
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的单调递减区间是（
B
）
A．B．C．
D．
6．函数的单调递减区间为（
A
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的单调递减区间为（
C
）
A．
B．
C．
D．
8．函数在（
B
）
A．内是增函数
B．内是增函数，在其余区间内是减函数
C．内是减函数
D．内是减函数，在其余区间内是增函数
9．函数的单调递减区间是（
A
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为__∪[2，＋∞)______________．
12.函数的一个单调递减区间是__（答案不唯一）
______
13.已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
三．解答题
14．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，所以f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．
15.已知函数．若，求的单调区间．
解：，
①当时，当，，单调递增，当，，单调递减，
当，，单调递增．
②当时，在恒成立，所以在上单调递增；
③当时，当，，单调递增，
当，，单调递减，当，，单调递增，
综上所述，①当时，单调递增区间为，．单调递减区间为；
②当时，单调增区间为，无减区间；
③当时，单调递增区间为，，单调递减区间为．
16.
已知函数f(x)＝－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
17.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
判断函数f(x)的单调性
17.解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln
a，
∴当0＜x＜ln
a时，f′(x)＜0，当x＞ln
a时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，f(x)在(0，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
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