第一章 §4 4.1
A 组自测
一、选择题
1．将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5(x－3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是( )
A．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．
D．
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( C )
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
A．x＝0
B．x＝1
C．x＝1.5
D．x＝2
4．(2021·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是( )
5．(2021·山东省青岛市调研)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是( )
A．[0,1]
B．[1,2]
C．[0,2]
D．[2,4]
二、填空题
7．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1____y2(填＞，＜，＝)．
8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为__
__．
9．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是____．
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
B 组·提升
一、选择题
1．(2021·辽宁大连八中高一月考)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( )
A．6
m
B．10
m
C．8
m
D．12
m
2．(2021·山西大同一中高一月考)已知m＞2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
3．(2021·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y＝x2＋x＋a(a＞0)，若当x＝m时，y＜0，则当x＝m＋1时，y的值为( )
A．正数
B．负数
C．零
D．符号与a有关
4．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( )
A．a＋b＋c＜0
B．a－b＋c＞1
C．abc＞0
D．4a－2b＋c＜0
二、填空题
5．(2021·内江统考)函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是____．
6．(2021·广西桂林一中高一月考)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为____．
三、解答题
7．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
8．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a的值．
第一章 §4 4.1
A 组自测
一、选择题
1．将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5(x－3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是( D )
A．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( D )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．
D．
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( C )
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
A．x＝0
B．x＝1
C．x＝1.5
D．x＝2
4．(2021·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是( A )
[解析] 由a＞b＞c，且a－b＋c＝0可以分析出a＞0，c＜0，即函数图象开口向上，当x＝－1时y＝a－b＋c＝0，当x＝0时y＝c＜0．结合各选项可知选A．
5．(2021·山东省青岛市调研)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )
[解析] 由于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c的图象的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即它们的图象的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab＜0，于是－＞0，－＞0，即两函数图象的对称轴都位于y轴右侧，排除C，选D．
6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是( D )
A．[0,1]
B．[1,2]
C．[0,2]
D．[2,4]
[解析] ∵函数y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，∴当x∈(－∞，2]时，y随x的增大而减小，当x∈[2，＋∞)时，y随x的增大而增大，而且x＝0或x＝4时y＝5，x＝2时y＝1，由图象(如图所示)可知，若函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是[2,4]．
二、填空题
7．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1__＜__y2(填＞，＜，＝)．
8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为__y＝3x2－12x＋10__．
[解析] 由题意可知所求一元二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2＝3x2－12x＋10．
9．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__y＝3x2＋5x＋2__．
[解析] 函数y＝3x2－x＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2．
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
[解析] (1)作出这三个函数的图象，如图：
(2)y＝－(x＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，当x＝－1时，ymax＝－1．在区间(－∞，－1]上函数值y随x增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y随x增大而减小．
B 组·提升
一、选择题
1．(2021·辽宁大连八中高一月考)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( B )
A．6
m
B．10
m
C．8
m
D．12
m
[解析] 当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x＝10或x＝－2(舍去)，故选B．
2．(2021·山西大同一中高一月考)已知m＞2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则( A )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
[解析] 因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，且m－1，m，m＋1均在[1，＋∞)内，所以y1＜y2＜y3．
3．(2021·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y＝x2＋x＋a(a＞0)，若当x＝m时，y＜0，则当x＝m＋1时，y的值为( A )
A．正数
B．负数
C．零
D．符号与a有关
[解析] 因为a＞0，所以x＝0时，y＝a＞0．
因为函数图象的对称轴为直线x＝－，所以x＝－1时y的值与x＝0时y的值相等．
又因为x＝m，y＜0，所以－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以y＞0．
4．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( ABC )
A．a＋b＋c＜0
B．a－b＋c＞1
C．abc＞0
D．4a－2b＋c＜0
[解析] 由题图可知x＝1时y＜0，x＝－1时y＞1，所以AB正确．
因为－＝－1，且a＜0，所以b＝2a＜0．
因为x＝0时，c＝1＞0，所以C正确．
因为x＝－2，x＝0时，y＝1，所以当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，所以D不正确．
二、填空题
5．(2021·内江统考)函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是__{－3,0,1}__．
[解析] 当m＝1时，y＝4x－1，其图象和x轴只有一个交点．当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0．
所以m的取值集合为{－3,0,1}．
6．(2021·广西桂林一中高一月考)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__8__．
[解析] 由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝×4×4＝8．
三、解答题
7．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
[解析] 函数y＝3－2x－x2的图象的对称轴为直线x＝－1．
画出函数y＝3－2x－x2，x∈的大致图象，如图所示，由图可知，当x＝－1时，ymax＝4；当x＝时，ymin＝－．
所以函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值为4，最小值为－．
8．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a的值．
[解析] (1)∵y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴
为直线x＝，
∴＝1，解得a＝0．
(2)由(1)知y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝1－，
①当1－≤0，即a≥2时，ymin＝－2a＝2，解得a＝－1，不符合题意，舍去；
②当1－∈(0,1)，即0＜a＜2时，ymin＝＝2，无解；
③当1－≥1，即a≤0时，ymin＝－1－a＝2，解得a＝－3，符合题意．
综上所述，a＝－3．(共33张PPT)
第一章 预备知识
§4 一元二次函数与一元二次不等式
【素养目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)
5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
【学法解读】
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．
4.1 一元二次函数
一元二次函数
1．定义：一般地，把形如_____________________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为______________、一次项系数和__________．
2．三种不同形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
知识点1
基础知识
二次项系数
常数项
一元二次函数的性质
知识点2
性质
抛物线开口向______，并向上无限延伸
抛物线开口向______，并向下无限延伸
对称轴是x＝______；顶点坐标是____________
在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间_____________上函数值y随x的增大而增大
在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间__________上函数值y随x的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝______
抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝______
上
下
h
(h，k)
[h，＋∞)
[h，＋∞)
k
k
思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换就能得到函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象？
提示：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
基础自测
1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为
( )
A．－7
B．1
C．17
D．25
D
2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是
( )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
3．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是______________．
4．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为__________________．
C
(－1，－3)
y＝x2－6x＋5
题型探究
题型一
一元二次函数的图象问题?
(1)将抛物线y＝(x－1)2＋2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是
( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－3
C．y＝(x＋2)2＋7
D．y＝(x＋2)2－3
(2)已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3．
①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；
②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；
③根据①②画出此函数图象的草图．
例
1
A
[解析] (1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7．
(2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1．
③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：
[归纳提升] 1．利用关键点和对称轴画一元二次函数图象
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按顺序用平滑曲线连接起来．
2．参数“a，h，k”对y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的影响
(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小．
(2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置．
(3)k决定了二次函数图象的顶点的高度．
16
题型二
一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理)?
试述一元二次函数y＝3x2－6x－1函数值的变化趋势．
[分析] 配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，结合图象叙述．
[解析] 配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4．
该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以此函数在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．
[注意] 书写的规范性：
①配方变形，以便得出函数图象的对称轴；
②结合函数图象叙述函数值的变化趋势．
例
2
【对点练习】? (1)在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为
( )
A．[4，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，4]
D．(－∞，2]
(2)一元二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点．
①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标；
②试述函数值的变化趋势．
C
(2)①因为y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点，
得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7；
则y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，
(x－7)(x＋1)＝0，
所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1，
所以此函数的图象与x轴的交点为(7,0)，(－1,0)．
②因为y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以对称轴为直线x＝3，所以在区间(－∞，3]上，y随x的增大而增大；在区间[3，＋∞)上，y随x的增大而减小．
题型三
一元二次函数的最大值和最小值?
例
3
[归纳提升] 求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤
(1)“化”：采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(2)“求”：当a＞0时，函数在x＝h处y有最小值，ymin＝k；当a＜0时函数在x＝h处y有最大值，ymax＝k．
【对点练习】? (1)一元二次函数y＝－x2＋6x－3的最大值是_____．
(2)若一元二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值为0，则m＝_________．
6
9或25
1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是
( )
?
?
?
[解析] 由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C．又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D．
B
2．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，下列说法正确的是
( )
A．开口向上，顶点坐标为(3,1)
B．开口向下，顶点坐标为(3,1)
C．开口向上，顶点坐标为(－3,1)
D．开口向下，顶点坐标为(－3,1)
[解析] 因为y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2＞0，所以抛物线的开口向上，顶点坐标为(3,1)．
A
3．将函数y＝－3x2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪个函数的图象
( )
A．y＝－3(x＋1)2－1
B．y＝－3(x＋1)2＋3
C．y＝－3(x－1)2＋1
D．y＝－3(x－1)2＋3
[解析] 函数y＝－3x2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点为(1,3)，则y＝－3(x－1)2＋3．
D
4．若函数y＝x2－2ax在区间(－∞，5]上y随x增大而减小，在[5，＋∞)上y随x增大而增大，则实数a＝_____．
[解析] 由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5．所以a＝5．
5
5．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－4x－3；(2)y＝－5x2－20x－26．
[解析] (1)配方得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，所以该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1；
当x＝1取得最小值，最小值为ymin＝－5；
(2)配方得y＝－5x2－20x－26＝－5(x＋2)2－6，所以该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝－2；
当x＝－2取得最大值，最大值为ymax＝－6．
