第一章 §4 4.2
A 组·自测
一、选择题
1．不等式6－x－2x2＜0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
2．不等式≥0的解集是( B )
A．
B．
C．
D．
3．已知0＜a＜1，关于x的不等式(x－a)＞0的解集为( )
A．
B．{x|x＞a}
C．
D．
4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )
A．{x|x＞3或x＜－2}
B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－3＜x＜2}
5．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．－2≤k≤2
B．k≤－2，或k≥2
C．－2＜k＜2
D．k＜－2，或k＞2
6．已知不等式ax2＋bx＋12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a＋b＝( )
A．－4
B．0
C．2
D．4
二、填空题
7．函数y＝的定义域为____．
8．(2021·北京朝阳期末)若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围____．
三、解答题
9．解不等式－1＜x2＋2x－1≤2．
10．已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
B 组·提升
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则?RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab等于( )
A．－28
B．－26
C．28
D．26
4．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1＜a＜4}
C．{a|a＜－1}
D．{a|a＞4}
二、填空题
5．已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围为____．
6．若不等式x2＋x－1＜m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____．
三、解答题
7．解不等式＞1(a∈R)．
8．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0．
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
第一章 §4 4.2
A 组·自测
一、选择题
1．不等式6－x－2x2＜0的解集是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 不等式变形为2x2＋x－6＞0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为．故选D．
2．不等式≥0的解集是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原不等式可化为
解得－≤x＜，
故其解集为．故选B．
3．已知0＜a＜1，关于x的不等式(x－a)＞0的解集为( A )
A．
B．{x|x＞a}
C．
D．
[解析] 因为0＜a＜1，所以＞1，所以a＜，
所以不等式的解集为．故选A．
4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( C )
A．{x|x＞3或x＜－2}
B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－3＜x＜2}
[解析] 由已知得a(x＋2)(x－3)＞0，
∵a＜0，∴(x＋2)(x－3)＜0，∴－2＜x＜3．
∴所求不等式的解集为{x|－2＜x＜3}．
5．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( A )
A．－2≤k≤2
B．k≤－2，或k≥2
C．－2＜k＜2
D．k＜－2，或k＞2
[解析] 由不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2．
6．已知不等式ax2＋bx＋12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a＋b＝( A )
A．－4
B．0
C．2
D．4
[解析] 由不等式的解集为{x|－3＜x＜2}易知a＜0，且方程ax2＋bx＋12＝0的两根为x1＝－3，x2＝2，由根与系数的关系可得解得所以a＋b＝－4．
二、填空题
7．函数y＝的定义域为__{x|－3＜x＜4}__．
[解析] 由－x2＋x＋12＞0，得x2－x－12＜0，解得－3＜x＜4，所以定义域为{x|－3＜x＜4}．
8．(2021·北京朝阳期末)若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围__[－2，2]__．
[解析] 由Δ＝a2－8≤0，得－2≤a≤2，∴a的范围是[－2，2]．
三、解答题
9．解不等式－1＜x2＋2x－1≤2．
[解析] 原不等式可化为
即即
所以
如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．
10．已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解析] 因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3．即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
B 组·提升
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则?RA＝( B )
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] 解不等式x2－x－2＞0得x＜－1或x＞2，即A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}．
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
[解析] y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，
即x2＋50x－30
000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．
3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab等于( C )
A．－28
B．－26
C．28
D．26
[解析] 由已知得
所以a＝4，b＝7，
所以ab＝28．
4．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( CD )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1＜a＜4}
C．{a|a＜－1}
D．{a|a＞4}
[解析] 若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，
所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4．
所以题中a可以取的范围为{a|a＜－1}∪{a|a＞4}．
二、填空题
5．已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围为__(－5，－4]__．
[解析] 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则一元二次函数y＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ≥0，当x＝2时函数值y＞0，函数对称轴x＝－＞2，即
解得－5＜m≤－4．
6．若不等式x2＋x－1＜m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为__(－∞，－1]∪__．
[解析] 原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1＜0．
①当1－m2＝0时，m＝±1．
当m＝－1时，不等式可化为－1＜0，显然成立；
当m＝1时，不等式可化为2x－1＜0，解得x＜，
故不等式的解集不是R，不合题意；
②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得
解得m＜－1或m＞，
综上可知：实数m的取值范围为(－∞，－1]∪．
三、解答题
7．解不等式＞1(a∈R)．
[解析] 原不等式等价于－1＞0，即＞0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)＞0．①
当a＝1时，①式可以转化为x＞2；
当a＞1时，①式可以转化为(x－2)＞0；
当a＜1时，①式可以转化为(x－2)＜0．
又当a≠1时，2－＝，所以当a＞1或a＜0时，2＞；
当a＝0时，2＝；当0＜a＜1时，2＜．
故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集是；当0＜a＜1时，原不等式的解集是；当a＝0时，原不等式的解集是?；当a＜0时，原不等式的解集是．
8．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0．
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
[解析] (1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8．
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b＞0?x2－ax－(a＋1)＜0，即[x－(a＋1)](x＋1)＜0．
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为?；
当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；
当a＋1＞－1，即a＞－2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
综上所述：当a＝－2时，原不等式的解集为?；
a＜－2时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；
a＞－2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．(共34张PPT)
第一章 预备知识
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.2 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式
(1)定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式________的所有__________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
成立
知识点1
基础知识
未知数
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
知识点2
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
思考2：如何用图解法解一元二次不等式？
提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)求Δ＝b2－4ac；
(3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集；
(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．
( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．
( )
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．
( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
( )
×
×
×
√
[解析] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?．
(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．
(4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为
( )
A．?
B．R
C．{x|x≠1}
D．{x|x＞1或x＜－1}
[解析] 将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，
∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．
B
3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为_______________________．
题型探究
题型一
解一元二次不等式?
解下列不等式．
(1)2x2－3x－2＞0；
(2)－x2＋2x－3＜0；
(3)－3x2＋5x－2＞0．
[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．
例
1
[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【对点练习】? 不等式6x2＋x－2≤0的解集为_______________．
题型二
三个“二次”的关系?
已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．
[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
例
2
【对点练习】? 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
题型三
解含有参数的一元二次不等式?
解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．
[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
例
3
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R．
[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0．
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
【对点练习】? 解关于x的不等式ax2－x＞0．
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12．
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－5＜x＜5时，函数值大于0；当x＞5或x＜－5时，函数值小于0．
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0．
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0．
