江苏省海安市南莫重点中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷A卷数学试题（Word版含答案）

南莫中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷
数
学
（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间向量，，且与垂直，则等于（
）
A．4
B．1
C．3
D．2
2．设点，，，若，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（
）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．如图，是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足
，则P到AB的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
7．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（
）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面，所成角的大小为
11．以下命题正确的是（
）
A．若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
12．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（
）
A．
B．平面
C．
D．向量与向量的夹角是
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知空间直角坐标系中，点，，若，，则________．
14．在△ABC中，，，．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为___________．
15．已知空间向量满足，，则的值
为________．
16．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面（包含边界）．
（1）若点与点重合，则点到平面的距离是________；
（2）若，则线段长度的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
18．（12分）如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，是的中点，为上一点，且平面．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
20．（12分）如图所示，在等腰梯形中，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点，且，是否存在实数，使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点．
（1）求直线与平面的夹角余弦值；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
22．（12分）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值；若不存在，说明理由．
南莫中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷
数
学
（A）答案版
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间向量，，且与垂直，则等于（
）
A．4
B．1
C．3
D．2
【答案】A
2．设点，，，若，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3．如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（
）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】D
4．如图，是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足
，则P到AB的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
5．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
6．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
7．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
8．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】AC
10．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（
）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面，所成角的大小为
【答案】BC
11．以下命题正确的是（
）
A．若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
【答案】BCD
12．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（
）
A．
B．平面
C．
D．向量与向量的夹角是
【答案】BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知空间直角坐标系中，点，，若，，则________．
【答案】或
14．在△ABC中，，，．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为___________．
【答案】或
15．已知空间向量满足，，则的值
为________．
【答案】
16．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面（包含边界）．
（1）若点与点重合，则点到平面的距离是________；
（2）若，则线段长度的取值范围是________．
【答案】，
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在实数使得，
，，，联立解得．
（3），，
即，解得．
18．（12分）如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，．
，，且，
就是点到平面的距离，即平面，
平面，，
又，四边形是平行四边形，
，
是正三角形，，．
（2）解：由（1）得平面，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
，，
则由，得，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，是的中点，为上一点，且平面．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，所以．
由，得，
又，所以，即，
因为平面，平面，所以，
从而，故．
（2）以为原点，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，即，取，则；
设平面的一个法向量为，
由，即，取，则，
所以，所以，
故平面与平面所成角的正弦值为．
20．（12分）如图所示，在等腰梯形中，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点，且，是否存在实数，使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【解析】（1）因为，，
所以四边形ACFE为平行四边形，所以．
在等腰梯形ABCD中，，，
所以，所以．
又平面ABCD，所以，，BC，平面BCF，
所以平面BCF．
因为，所以平面BCF．
（2）依题意，以C为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，
设，所以，，
设为平面MAB的法向量，
由，得，取，所以，
因为是平面ABC的一个法向量，
设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，
所以．
因为，所以，所以，
所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点．
（1）求直线与平面的夹角余弦值；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】因为平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，
所以分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
（1），，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，可得，取，则，，
所以，
记直线和平面的夹角为，
则，所以．
（2）由图可知，平面即平面，所以平面的法向量为，
记面和面的夹角为，则，
由图可知面和面夹角为锐角，所以．
（3），，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为．
22．（12分）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）点O在EA的延长线上，且，证明见解析；（2）存在，或．
【解析】（1）证明：因为直线平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示)．
因为AO∥BF，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，所以OM=MF，AO=BF，
所以点O在EA的延长线上，且AO=2．
连接DF交EC于N，
因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点．
连接MN，所以MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，
又因为平面EMC，所以直线OD∥平面EMC．
（2）存在．由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面ADE，
所以平面ABFE⊥平面ADE．
取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设(0≤t≤4)，则，
设平面EMC的法向量，则，所以，
取，则，，所以．
因为DE与平面EMC所成的角为60°，所以，
所以，解得或，
所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°．
取ED的中点Q，则为平面CEF的法向量．
因为点Q的坐标为，所以，，
设二面角的大小为，
所以，
因为当t=2时，，此时平面EMC⊥平面CDEF，
所以当t=1时，为钝角，所以；
当t=3时，为锐角，所以．