江苏省海安市南莫重点中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷B卷数学试题（Word版含答案）

南莫中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷
数
学
（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（
）
A．A?B?D
B．A?B?C
C．B?C?D
D．A?C?D
3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（
）
A．
B．97
C．
D．61
4．已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（
）
A．5
B．14
C．
D．
5．已知，，，若三向量共面，则实数等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（
）
A．
B．
C．
D．
7．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（
）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．在长方体中，??分别为棱??的中点，，，则正确的选项是（
）
A．异面直线与所成角的大小为60°
B．异面直线与所成角的大小为90°
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（
）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点，，，，则在上的投影向量的长度为________．
14．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．
15．如图，在直三棱柱中，，，点??分别是??的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．
16．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题：
（1）求与所成的角；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求两点间的距离．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．
20．（12分）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为棱上的中点．
（1）若，求的长度；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度．
21．（12分）已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1．沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．
22．（12分）在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．
（1）求点到平面的距离；
（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
南莫中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷
数
学
（B）
答案版
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（
）
A．A?B?D
B．A?B?C
C．B?C?D
D．A?C?D
【答案】A
3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（
）
A．
B．97
C．
D．61
【答案】C
4．已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（
）
A．5
B．14
C．
D．
【答案】C
5．已知，，，若三向量共面，则实数等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（
）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
【答案】ABD
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
11．在长方体中，??分别为棱??的中点，，，则正确的选项是（
）
A．异面直线与所成角的大小为60°
B．异面直线与所成角的大小为90°
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
【答案】BC
12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（
）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点，，，，则在上的投影向量的长度为________．
【答案】
14．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．
【答案】
15．如图，在直三棱柱中，，，点??分别是??的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．
【答案】
16．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．
【答案】，
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），①，②
，③，
①+②+③得．
（2）因为，
所以
．
18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题：
（1）求与所成的角；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求两点间的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
（1）因为，，
所以，
所以，故，
即与所成的角为．
（2）因为，所以，
因为，且，所以，
即与所成角的余弦值为．
（3）因为是的中点，所以，
又因为，所以，
即两点之间的距离为．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）依题意可得，．
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，平面，∴．
在中，，是棱的中点，所以，
又，，平面，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）如图，取的中点，连接，，
则，，
由（1）知平面，∴平面，
∴是直线与平面所成角，
∴，
∴，∴，∴是棱的中点，
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，令，则；
有，令，则，
∴，
∴锐二面角的余弦值为．
20．（12分）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为棱上的中点．
（1）若，求的长度；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）设，
∵，
∴，
∴．
（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，
，，，，
则，，，
设面的法向量为，则，
令，得；
设面的法向量为，则，
令，得，
所以，
，．
21．（12分）已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1．沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．
【答案】（1）；（2）当时，平面．
【解析】（1）因为平面平面，，
所以．
又，
所以建立如图1所示的空间直角坐标系，
因为为等腰直角三角形，，
，分别为和上的点，且，，
则，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2）方法一：设，
因为，所以．
设为平面的一个法向量，则，即，
因此可取，
所以．
因为平面，所以，即，
所以当时，平面．
方法二：当时，平面．证明如下：
如图2，在平面内过作交于，连接．
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，所以，
又，所以．
因为平面，所以平面．
又因为，平面，所以平面．
因为，所以平面，
因为平面，所以平面．
22．（12分）在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．
（1）求点到平面的距离；
（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在三棱锥中，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，∴，，两两垂直．
∴，
又，
∴，
∴点到平面的距离为．
（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．
以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）
在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
即，即，
不妨令，则；
同理可求得平面的法向量，
（选条件①）因为平面，平面，
∴，即，
即，∴，
又，∴，∴，
又平面，∴是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
令，，，
∴，
令，则，
∴在上单调递增，
∴，∴，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
选条件②，条件③结果相同．