江苏省海安市南莫重点中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷A卷数学试题（Word版含答案解析）

南莫中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷
数
学
（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数，，则的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
3．“点，到直线的距离相等”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（
）（参考数据：，，）
A．
B．
C．
D．
5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（
）
A．AB与CF成45°角
B．BD与EF成45°角
C．AB与EF成60°角
D．AB与CD成60°角
6．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（
）
A．
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（
）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
11．已知函数的图象经过点，则（
）
A．点是函数的图象的一个对称中心
B．函数的最小正周期是
C．函数的最大值为2
D．直线是图象的一条对称轴
12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，，则的取值范围是________．
14．已知关于，的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________．
15．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．
16．已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求证：三内角，，成等差数列；
（2）若的面积为，，求的周长．
18．（12分）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，．
（1）证明：；
（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值．
20．（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46．
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
附：若随机变量T服从正态分布，则，，．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上?下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P?Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）若，求证．
南莫中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷
数
学
（A）答案版
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2．已知复数，，则的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3．“点，到直线的距离相等”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（
）（参考数据：，，）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（
）
A．AB与CF成45°角
B．BD与EF成45°角
C．AB与EF成60°角
D．AB与CD成60°角
【答案】D
6．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（
）
A．
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
【答案】BD
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（
）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
【答案】AB
11．已知函数的图象经过点，则（
）
A．点是函数的图象的一个对称中心
B．函数的最小正周期是
C．函数的最大值为2
D．直线是图象的一条对称轴
【答案】ACD
12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，，则的取值范围是________．
【答案】
14．已知关于，的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________．
【答案】
15．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．
【答案】
16．已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_________．
【答案】
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求证：三内角，，成等差数列；
（2）若的面积为，，求的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，
，，
又，所以，所以，，所以，
所以，所以成等差数列．
（2）由题意，，
又，由正弦定理得，
由，解得（边长为正，负的舍去），
，
所以三角形周长为．
18．（12分）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】
（1）因为，
所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以．
（2）令，
所以数列前项和．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，．
（1）证明：；
（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴平面，
∵平面，∴，
在中，∵垂直平分，∴，
∵，，∴，∴．
（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的高，
∵，解得，
∵，则，即O为正方形的中心，
以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，
所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，，
；
设平面的一个法向量，
则，取，
，
则，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为．
20．（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46．
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
附：若随机变量T服从正态分布，则，，．
【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819．
【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即10:04．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，
所以X的可能取值为0，1，2，3，4．
所以；；；；，
所以X的分布列为：
0
1
2
3
4
（3）由（1）得，．
所以，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，
得，
所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上?下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P?Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
1）由题意，椭圆，
可得，，，，则，，
所以，即，
又因为椭圆过，所以，联立可得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意设直线的方程为，，，，
联立方程组，整理得，
所以，，
若轴为的平分线，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，
因为直线l为动直线，所以，即，
故存在满足条件的定点M，其坐标为．
22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）若，求证．
【答案】
1）函数的定义域为，
因为，
，所以，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
则当时，取得极小值，也是它的最小值，
所以，所以，
则在上单调递增．
（2）因为，所以不妨设，
所以要证，只需证．
因为，所以只需证，
只需证，只需证．
设，
则，
，
则，
所以当时，，在上单调递减，则，
所以在上单调递增，则，
即，所以．