江苏省海安市南莫重点中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷B卷数学试题（Word版含答案解析）

南莫中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷
数
学
（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数满足条件（为虚数单位），则（
）
A．1
B．5
C．
D．25
3．已知直线，．则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设双曲线的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
5．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知数列中，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列结论中，所有正确的结论是（
）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，，则的最小值为
11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（
）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（
）
A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．为定值
D．存在点，使得
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．的展开式中常数项是________．
14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，
则第4次摸出的是白球的概率为________．
15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为_________．
16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，且，，求的值．
19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，，点在线段上，平面．
（1）证明：；
（2）若点是底面内的动点，且，求三棱锥体积的最小值．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点．
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
南莫中学2022届高三上学期第一次月考备考金卷
数
学
（B）答案版
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2．复数满足条件（为虚数单位），则（
）
A．1
B．5
C．
D．25
【答案】A
3．已知直线，．则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
4．设双曲线的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
5．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
6．已知数列中，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
10．下列结论中，所有正确的结论是（
）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，，则的最小值为
【答案】BC
11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（
）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
【答案】AC
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（
）
A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．为定值
D．存在点，使得
【答案】AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．的展开式中常数项是________．
【答案】481
14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，
则第4次摸出的是白球的概率为________．
【答案】
15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为_________．
【答案】
16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．
【答案】，
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
又，作差得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，则有．
（2）由题得，
所以．
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，根据正弦定理得，
整理得，
即．
因为，所以，
又，所以．
（2）如图，作，垂足为，
则，
所以．
设，因为，，
所以，，．
在中，，
在中，，
所以，，
所以
．
19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．
【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．
因此，的可能值为0，1，2，3，4，
则，，，，．
故的分布列为
0
1
2
3
4
所以的数学期望．
（2）由题意可知，，
，所以．
由服从正态分布，
得，
则，
，，
所以此次竞赛受到奖励的人数为50．
20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，，点在线段上，平面．
（1）证明：；
（2）若点是底面内的动点，且，求三棱锥体积的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，连接，设，再连接．
由题知四边形是正方形，所以是的中点．
因为平面，平面，平面平面，
所以，
在中，因为是的中点，
所以是的中点，所以．
（2）连接，在直三棱柱中，平面，
平面，所以．
又，，所以平面．
又平面，所以，
所以点的轨迹是以为直径的半圆（不包含，点）．
又，所以点到直线的最小距离．
又点是的中点，所以点到平面的距离．
又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥体积的最小值为．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，，
，，，
椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去并整理得．
设点，，则，．
，且由题意知和必存在，
．
又，，即，
整理得，
得，
即，解得，
的方程为．
，
即，，解得，
，位于椭圆轴上方，，
此时直线过轴上的定点．
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）当时，，其导函数为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
（2）由，由，所以，
所以在上单调递增，
所以在恒成立，
即，恒成立，
设，，所以，
由（1）知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为．