课件44张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.11集合的概念与表示笑唐风声制作 一个渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的定义。于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请告诉我，什么是集合？”然而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民。
数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动。他非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？课前引入：同学们能举出一些与集合有关的例吗？1. 自然数的集合 ;
2. 有理数的集合;
3. 不等式 x-7﹤3的解的集合;
4. 到一个点的距离等于定长的点的集合;
5. 到线段两端距离相等的点的集合.新知传授：例1：（1）1～20以内的所有质数；
（2）到线段两端距离相等的所有的点；
（3）福安一中高一(9)班的所有男同学；
（4）所有的三角形;
（5）2008年北京奥运会火炬传递过程中所用的祥云火炬.例2： 一般地，我们把研究的对象统称
元素，把一些元素组成的总体叫做集合
（SET)简称“集”. 集合常用大写字母表示，如A，B，C等，元素常用小写字母表示，如a，b，c等.1、集合的概念：中国的直辖市北京、上海、天津、重庆在这个集合中。
杭州、南京、广州……不在这个集合中。
1、确定性。集合中的元素必须是确定的.
2、集合中元素的特征：例1：“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？
【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象．因此，它们都不能构成集合．训练1：下列指定的对象，能构成一个集合
的是:
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧训练2：下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体；
⑤ 的近似值的全体．
其中能构成集合的组数是 ( )
A．2组 B．3组
C．4组 D．5组[分析] 集合中的元素必须是确定的．
[解析] “接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“ 的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.2、互异性。给定集合中的元素是互补相同的，集合中的一元素是不重复出现的。
例 1、2、3、1组成的集合有几个元素呢？答：三个。例2（1）：“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？
【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象．因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素．例2（2）：已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值．
【解析】 (1)若a2＝1，则a＝±1，
当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；
当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合．
(2)若a2＝0，则a＝0，
此时集合A中有两个相同元素0，舍去．
(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去．
综上可知：a＝－1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．训练1：若A＝{1，a}，a2∈A，求实数a的值．
【解析】 由已知a2∈{1，a}，
(1)若a2＝1，则a＝±1.
当a＝1时，A＝{1,1}，不满足集合中元素的互异性，故a＝1舍去；
当a＝－1时，A＝{1，－1}，满足集合中元素的互异性．
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1.
由(1)知a＝1应舍去．
当a＝0时，A＝{1,0}满足集合中元素的互异性．
综上可知，a＝－1或a＝0.3、无序性。给定集合中的元素的顺序是随便的，没有先后顺序的。
例 由1、2、3组成的集合和由3、2、1 组成的集合是一样吗？答：是⑴确定性:设A是一个给定集合，a是某一具体的对象，则a或者是A中的元素，或者不是，两种情况必具其一。
⑵互异性: 同一集合中不应出现同一元素
⑶无序性: 集合中的元素无顺序，可以任意调换。 构成两个集合的元素完全一样，就称这两个集合是相等的． 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a?A.例如：A表示方程x2＝1的解.
则 2?A，1∈A.3、元素与集合的关系
例3：用符号∈和 填空
1.设A为所有亚洲国家组成的集合,则
中国 A 美国 A 印度 A
Q N Q
R Z N判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．反之，如果一个对象是某个集合的元素，则这个对象必具有这个集合的元素具有的共同特征．N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集4、常见的几类集合根据集合的元素个数可分：有限集和无限集。根据集合的对象可分数集，点集，其他。5、集合的分类方法 如“地球上的四大洋”组成的集合可表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝①列举法：把集合的元素一一列举从来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。6、集合的表示方法用列举法表示下列集合：（１）小于１０的所有自然数组成的集合；解：设小于１０的所有自然数组成的集合为Ａ，那么Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝注：由于集合元素具有无序性，所以集合Ａ可以有不同的列举方法（２）方程 的所有实数根组成的集合；解：方程 的所有实数根组成的集合为Ｂ，那么Ｂ＝｛０，１｝（３）设由１～２０以内的所有素数组成的集合。解：设由１～２０以内的所有素数组成的集合为Ｃ，那么Ｃ＝｛２，３，５，７，１１，１３，
１７，１９｝。Ｐ４ 思考（１）你能用自然语言描叙集合｛２，４，６，８｝吗？解：小于１０的正偶数组成的集合。（２）你能用列举法表示不等式x-7﹤3的解集吗？答：不能，因为这是个无限集。那我们可以怎样来表示这个集合呢？又如，任何一个奇数都可以表示成所以，奇数的集合可以表示为②描述法：用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法。具体方法：在｛｝内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征③韦恩图法:画一个圆圈或长方形。1 234（2）由所有大于10小于20的所有正整数组成的集合。解：设大于10小于的所有正整数为，它满足条件 且 ，因此，用描述法表示为用列举法表示为 一般，列举法适用于有限集，而且所含元素的个数不多；描述法适用于无限集。讨论：应如何根据问题选择适当的集合表示方法？训练1:用描述法表示下列给定的集合
1.不等式 4 x－5 < 3的解集
2.二次函数 的函数值组成的集合
3.反比例函数 的自变量的值组成的集合
4.不等式 的解集{ x | }{ | }{ x | }y{ x | }y=x2-2y≥-22x≥5-3xx≥1训练2：用适当的方法表示下列集合
(1)比4大2的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－2>3的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．{-2，-1，0，1，2}或 {123，132，213，231，312，321}.
训练5：用适当的方法表示下列集合：
(1)24的正约数组成的集合；
(2)大于3小于10的整数组成的集合；
(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；
(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；
[分析] 首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合．[解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}；
(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；
(3){x|x2＋ax＋b＝0}；
(4){(x，y)|x<0且y＞0}；1.集合的定义
2.集合元素的性质
3.集合与元素的关系
4.集合的分类
5.集合的表示课堂小结：课件33张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.12集合间的基本关系笑唐风声制作一、知识与技能
1. 了解集合间包含关系的意义；
2. 理解子集、真子集的概念和意义；
3. 理解空集的定义；
4. 会判断简单集合的包含关系.
二、过程与方法
1.类比实数间的关系,联想集合间的关系；
2.分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念.
三、情感、态度与价值观
1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式;
2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系;
3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辨证的观点.三维目标N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、 {x|x=2n+1,n∈Z}、 RQ列举法、描述法 {x | p(x) }、图示法 有限集、无限集、 空集 。 确定性、互异性、无序性 x是集合A的元素则记作x∈A，若元素x不是集合A的元素则记作x A。课前复习问：福建省在什么地方？新课引入问：中国的区域与福建省的区域有何关系？ 如果我们把福建省的区域用集合A来表示，中国区域用集合B来表示，则A在集合B内；也就是说集合A的每一个元素都在集合B内。 对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A?B（或B?A）。读作：“A包含于B”（或B 包含A） 数学语言表示形式：
若对任意x?A，有x ?B，则 A?B。若A不是B的子集，则记作：A?B（或B ?A）
例：A={2，4}，B={3，5，7} ； 则A?B。
A ={1，2}，B ={1，2}；则A?B新知讲授1、子集的概念图示法表示子集
BA用平面上封闭的曲线的内部表示集合这图叫Venn图A?B的图形语言包含关系{a}?A与从属关系a∈A有什么区别？
【提示】 两者的区别是(1)从符号上看，“?”表示的是两个集合之间的关系，“∈”表示的是元素与集合之间的关系；(2){a}是有一个元素的集合，而a通常表示一个元素；(3){a}?A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素． 对于C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，因此集合C，D都是表示等腰三角形组成的集合，即集合C中任一元素都是集合D中的元素。集合C等于集合D。
用子集概念描述：如果集合A 是集合B的子集（ A?B）且集合B也是集合A的子集（ B?A）就说A与B相等，记A=B。
即 A?B， B?A?A=B。等腰三角形的定义是？2、集合相等结论：任何一个集合是它本身的子集设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2-3a,0}，若A＝B，求a的值．记作： 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，
我们称集合A是集合B的真子集。子集与真子集的区别呢?注意区分
“?， ∈”3、真子集的概念问题1：方程x2+1=0的实数解组成的集合用描述法可以表示为_________________.问题2:你能说出上述集合的元素是什么吗?!因为方程x2+1=0没有实数解,所以上述集合中没有元素.我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作: 规定:空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集。问题3:你能举出几个空集的例子吗?试试看.4、空集的概念1、下列命题正确的有几个
（1）空集没有子集；
（2）任何集合至少有两个子集；
（3）空集是任何集合的真子集；
（4）若 的元素个数为零
A 0 B 1 C 2 D 3（B）（空集是任何非空集合的真子集）2、下列写法中正确的是（ ）6问题:根据子集的概念,结合Venn图,你能得到子集的一些特性吗?(1)任何一个集合都是它本身的子集.即(2)空集是任何集合的子集( )；是任何非空集合的真子集。那么 .5、子集的性质例题1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N； A＝BA?BA?B③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.② A＝{长方形}，
B＝{平行四边形方形}； 典例精讲②④⑤⑨变2.以下六个关系式：① { }
∈{ } ③ {0} φ ④0 φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序号是：①②③④⑤例题2
⑴写出集合{a，b}的所有子集；
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；
⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集. 一般地，集合A含有n个元素，
则A的子集共有2n个，A的真子集
共有2n－1个.⑴{a}，{b}，{a，b}， ? ；⑵{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}，
{a，c}，{b， c}，?；⑶{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}，
{a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}，
{a，b，c}，{a，b，d}， {b，c，d}，
{a，d，c} {a，b，c，d}，?；变1：
1、设集合A={x|1≤x<4}，B={x|x-a<0}
若A是B的真子集，求实数a的取值范围。2、已知集合 ，
且B A，求实数m的取值范围。讨论B是否为空集→（借助数轴）列不等式→求得m的取值范围．变2： 若A={x －3≤x≤4}, B={x 2m－1≤x≤m+1},当B A时,求实数m的取值范围．变3：已知集合A＝{x|－3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①集合A是一个定集合，可以在数轴上标出其取值范围；
②集合B是一个动集合，其范围随参数m的变化而变化．
解答本题可先求出集合A中变量x的取值范围，此时需注意对参数m进行讨论，然后借助于数轴分析A?B成立的条件．1、已知集合P＝{x︱x2+x-6=0},
S ＝{x︱ax+1=0},若S P，
求实数a的取值集合。2、已知集合A＝{x︱ax2+2x+1=0,a、x∈R},
至多只有一个真子集，求实数a的取值
集合。能力拔高已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},
则这样的集合M共有_______个？82n-m3.课堂小结课件24张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.13集合的基本运算（1）笑唐风声制作教学目标重点难点 我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以”相加“呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；（2）A={x | x是有理数}，B={x | x是无理数}，C={x | x是实数}。ABC+=ABC+=新知探究一——并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集（union set），记作
A∪B（读作“A并B”），即
A∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}1、并集的定义已知集合A={ x | x>1},B={ x | x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C。例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}
={3，4，5，6，7，8}在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。如元素5，8。强 调：；例2：设集合A={x | -1B={x | x是新华中学2004年9月在校的高一年级同学}，
C={x | x是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}新知探究二——交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为
A与B的交集(intersection set)，记作A∩B（读作“A”交
“B”），即
A∩B={x | x ∈ A，且x ∈ B}1、交集的定义2、交集的性质例1：已知A={x | x是等腰三角形}，B={x | x是直角三角
形},求A∩B，A∪B。A∩B= {x | x是等腰直角三角形}A∪B= {x | x是等腰直角三角形或是直角三角形} 解:平面内直线a，b可能有三种位置关系，即：相交，平行或重合。例2：设平面内直线a上点的集合为A,直线b上点的集合为B ,试用集合的交集运算表示a,b的位置关系。A ∩B={点P} A ∩B=①②③A ∩B=A=B 例3：设A={ x | 2x-4<2 } ,B ={ x | 2x-4>0},求A∪B,A∩BA∪B=R，A∩B={ x | 2A=10或a=±3，
当a=10时，a-5=5,1-a=-9;
当a=3时，a-1=2不合题意
当a=-3时，a-1=-4不合题意
故a=10，此时A={-4，2，9，100}，
B={9，5，-9），满足A∩B={9}典例精讲变式训练：变式训练ABAB课堂小结课件23张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.13集合的基本运算（2）笑唐风声制作 在下面的范围内求方程 的解集：（1）有理数范围； （2）实数范围． 并回答不同的范围对问题结果有什么影响？ 解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：（2）在实数范围内有三个解2， ， ，即：新知传授 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合全集，通常记作U．1、全集概念U 对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集．Venn图表示： 说明：补集的概念必须要有全集的限制．2、补集概念记作： A
即： A={x| x ∈ U 且x A}全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的
所有元素，那么称这个集合为全集
(universe set)，通常记作U.
补集：对于一个集合A，由全集U不属于集合A的 所有元素组成的集合，称为集合A相对于全 集U 的补集(complementary set)，简 称
为集合A的补集，记作，即
可用Venn图表示，
如右图所示：用数学的三种语言互译表示全集、补集
对于一个集合A，由全集U不
属于集合A的所有元素组成
的集合，称为集合A相对于
全集U的补集
文字语言符号语言图形语言例1．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3，4，5，6}，求 A， B． 解：根据题意可知：
U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以： A={4，5，6，7，8}，
B={1，2，7，8}．说明：可以结合Venn图来解决此问题．典例精讲变式：已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A={ 2, 4, 5 }, B={ 1, 3, 7 },求A，B的补集。2 4 5AB1 3 76U例2：不等式 的解集为A，
U＝R，求A和 ? U A，将它们表示在数轴上.变式1 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}， A={2，4，5}，B={1，3，5，7}求 A∩(CUB)， (CUA)∩ (CUB).解：由题意可知
CUA={1，3，6，7}， CUB={2，4，6}，
则A∩(CUB)={2，4}，
(CUA)∩ (CUB)={6}.变式2 设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},B={x|(x-4)(x-1)=0}，求A∪B，A∩B.解：由题意可知
B={1，4}， A={a，3}
若a=1，则A∪B={1，3，4} ，A∩B={1}，
若a=4，则A∪B={1，3，4} ，A∩B={4}，
若a=3，则A∪B={1，3，4} ，A∩B= ，
若a≠1，且a≠4，a≠3，则
A∪B={1，3，4，a}， A∩B= ，变式3、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，
A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，求A∪B，
CU(A ∪ B)， CUA，CUB，( CUA)∩(CUB)3、 解： A∪B={1，2，3，4，5，7}Cu (A∪B)={6}Cu A={1，3，6，7}CuB={2，4，6}( CuA)∩(CuB)={6}变式3、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，
A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，求A∪B，
CU(A ∪ B)， CUA，CUB，( CUA)∩(CUB)例3．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B， （A∪B） 解：根据三角形的分类可知A∩B＝ ，A∪B＝ {x|x是锐角三角形或钝角三角形}，（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．例4、设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，则 CUA ={5}，求m=__________.解：由补集的定义m2+2m-3=5且|m+1|=3m2+2m-3=5 有m=-4或m=2当m=-4时，|m+1|=3 当m=2时，|m+1|=3所以符合题目条件的m=-4或2变式：设全集U={2，3，a2＋2a－3}，
A={b，2}, ? U A={5},求实数a、b的值.例5 设全集 ，已知 , , ,求集合A、B.1，62，30，54 , 7{2,3}UA (C B)=I{1,6}UA) B=I（C{0,5}U=(A B)UC（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；
（2）若B＝ ? UA，则A＝? UB，
即? U(?UA)＝A；
（3） ? UU＝?， ? U?＝U．
（4） ? U(A∪B)=(? UA) ∩(? UB)
? U(A∩B)=(? UA) ∪(? UB)拓展提高 1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合． 3．注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 2．区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件．课堂小结小结:1.本节课我们学习了全集、补集的概念，要求同学
能熟练求解一个给定集合的补集.同时，希望同学
们注意符号之间的区别与联系.2.Venn图对理解集合概念有重要作用.3.注意一些特殊结论在以后解题中的应用. 请自行阅读P13)的<阅读与思考-集合中元素的个数>课堂小结ABABUA课件38张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.21函数的概念（1）笑唐风声制作 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。1、初中学习的函数概念是什么？思考？课前回顾2、请问：我们在初中学过哪些函数？3、请同学们考虑以下两个问题：显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面
击中目标. 炮弹的射高为845m, 且炮弹距
地面的高度h(单位:m)随时间 t (单位: s )
变化的规律是h=130t-5t2.实例分析1新课引入 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层
空洞的面积从1979～2001年的变化情况.实例分析2“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况仿照实例(1)(2)，试描述上表中恩格尔系数和时间(年)的关系.A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}B={53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}实例分析3不同点实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；问题探究(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中
都有唯一确定的数和它对应.(1)都有两个非空数集A，B；记作： 你能用集合与对应的语言
来刻画函数，抽象概括出函数
的概念吗？归纳概括共同点 设A,B是非空的数集，如果按照某种
确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)
和它对应，那么就称 为从集合A
到集合B的一个函数.记作 . 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做
函数的定义域. 与x的值对应的y值叫做函数
值,函数值的集合 叫做函数的值域.新知传授1、函数的概念定义域、值域、对应法则①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；
②值域由定义域、对应法则惟一确定；
③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积。RRRRR判断下列对应能否表示y是x的函数（1） y=|x| （2）|y|=x
（3） y=x 2 （4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 (1)能 (2)不能 (5)不能 (3)能 (4)不能 (6)不能 概念理解：归纳小结：判断一个对应关系是否是函数的方法1.定义法：对于定义域内的每一个数，若有唯一的一个函数值与之对应则是函数 2.图像法：在定义域内，对任意一个数，过它做x轴的垂线，若垂线与y轴有且只有一个交点，则是函数，否则不是（是）（不是）（不是） 变式训练1：变式训练2：下列图象是函数图象吗？√×√变式训练3：模拟试验 设下图表示从A到B的函数是( )ADCBD变式训练4：设a,b是两个实数，而且a(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)、满足不等式a(3)、满足不等式a≤xa ,x ≤b, x（1）{x|2 ≤ x<3}
（2） {x|x ≥15}
（3） {x|x ≤ 0} ∩{x| -3 ≤ x<8}
（4） {x|x < -10}∪{x| 3< x<6}注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示③实用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。①定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际背景决定,若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.实数集R 使分母不等于0的实数的集合使根号内的式子大于或等于0的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)使实际问题有意义的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式,则定义域是(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的,则定义域是(1)如果y=f (x)是整式,则定义域是(2)如果y=f (x)是分式,则定义域是(5)如果是实际问题,是典例精析 自变量x在其定义域内任取一个确定的值 时,对应的函数值用符号 表示.例2 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？如何判断两个函数是否相同？ 如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一样，则称这两个函数相等.例2. 求下列函数的定义域解:得函数的定义域为得函数的定义域为小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（6）满足实际问题有意义（4）如果求 ，那么函数的定义域是使 f(x)不等于0的实数的集合.变式训练1：变式训练2：(1)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求:f(x)的定义域； 解:⑴∵ -1≤x≤1,∴ -1≤2x+1≤3.∴ 函数f(x)的定义域为:[-1,3].(3) f(x)的定义域为(-2,3],求f(2x-1)的定义域.(2)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.解:由题0≤2x≤2, ∴ 0≤x≤1.故f(2x)的定义域为[0,1].(4)已知y=f(x+3)的定义域为[1,3],求:f(x)的定义域. 令t=2x+1,则-1≤t≤3. ∴f(t)的定义域为 [-1,3].(4) [4,6]求下列函数的定义域.变式训练3： 例3.下列函数哪个与函数y=x相等? 解（1） ，这个函数与y=x（x∈R）
对应一样，定义域不不同，所以它和y=x (x∈R)不相等. （2） 这个函数和y=x （x∈R）
对应关系一样 ，定义域相同x∈R，所以它和y=x (x∈R)相等. （3） 这个函数和y=x（x∈R）定义域相同x ∈R，但是当x<0时，它的对应关系为y=-x
所以它和y=x（x∈R）不相等.（4） 的定义域是{x|x≠0}，与函数 y=x（x∈R）
的对应关系一样，但定义域不同，所以它和y=x(x∈R)不相等.下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y=
（2） y=
（3） y=
（4） y=变式训练1：
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，
说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 2 ； g ( x ) = 1
② f ( x ) = x ； g ( x ) =
③ f ( x ) = x 2 ；f ( x ) = (x + 1)2
④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 变式训练2：例4：变式训练 (１)把下列集合用区间表示出来:
1、{x|22、 {x|x≤2}
3、 {x|24、 {x|x≠0}
5 、{x|2≤x<3}
(2)把下列区间用集合表示出来：
(1,5)
[2, 3.4)
(-∞,0]
(-∞,1]∪(3,7)
(2,3)(-∞,2)(2,3)或（5，9）(-∞，0)或(0，+ ∞)[2,3)例5：3.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式表示的数集转化为区间。课堂小结课件35张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.21函数的概念（2）笑唐风声制作 几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（6）满足实际问题有意义（4）如果求 ，那么函数的定义域是使 f(x)不等于0的实数的集合.例1：求下列函数的定义域：分析：解题的关键就是明确使各函数表达式有意义的条件。1、函数的定义域【1】求函数 的定义域.解: 依题意,有解之,得即所以函数的定义域是变式训练C解析:函数的定义域满足解之,得变式训练(1)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求:f(x)的定义域； 解:⑴∵ -1≤x≤1,∴ -1≤2x+1≤3.∴ 函数f(x)的定义域为:[-1,3].(3) f(x)的定义域为(-2,3],求f(2x-1)的定义域.(2)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.解:由题0≤2x≤2, ∴ 0≤x≤1.故f(2x)的定义域为[0,1].(4)已知y=f(x+3)的定义域为[1,3],求:f(x)的定义域. 令t=2x+1,则-1≤t≤3. ∴f(t)的定义域为 [-1,3].(4) [4,6]变式训练：求下列函数的定义域.2、函数的解析式特别需要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域。变1.已知，求解：分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数
f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件
下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。方法一：配凑法方法二：令换元法注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围变2.已知函数f(x)是一次函数，且经过 （1，2），（2，5）求函数y=f(x)的解析式分析：与上一题不同的是这一题已知函数是什么类型的函数，那么我们只需设出相应的解析式模型，通过方程组解出系数即可——待定系数法变3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式 分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程值域为 ____________.值域为 ____________________________; 例.求下列函数的值域：值域为 ________R{-1, 0, 1 }(－∞,0 )∪(0, + ∞ )[0, + ∞ )值域为 ____________直接法:由函数解析式直接看出.3、函数的值域变式1：求函数 的值域.解：设 则 x = 1- t 2 且 t ≥ 0.∴ y = 1-t 2+ t 由图知：故函数的值域为换元法:利用换元化单一函数变式2：求函数 的值域.由图知:故函数的值域为：变式3： 求函数 y=|x+1|－|1－x| 的值域.解:由 y = | x + 1 |－|1－x |,知当x<－1时,当-1≤x≤1时, 当x＞1时,由图知:－2≤y≤2.故函数的值域为[－2, 2 ].=－2;=2x;=2.变式4：求函数的值域：故函数的值域为解：由分离常数法:可将其分离出一个常数. 变式5：y = x2－2x+3(－1≤x≤2)．解: 由 y = ( x －1 ) 2 + 2,∵ －1 ≤ x ≤ 2,由图知:2≤y≤6.故函数的值域为[2,6].配 方 法变式6：已知y=2x2-x+5(0≤x≤15),
求值域.①故由① ②可知②(1) y=2x–1(32.了解分段函数概念，
掌握分段函数的表示；
3.掌握映射的概念，
会判断一个“对应关系”是否为映射．学习目标1.函数的定义
2.初中学过哪些函数的表示方法？设A,B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数．
记作：y=f(x)，x∈A ．解析法:
图象法:
列表法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系.就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.实例课前回顾(1)炮弹发射（解析法）h=130t-5t2 （0≤t≤26）(2)南极臭氧层空洞（图象法）(3)恩格尔系数(列表法)1.解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.一、函数的表示方法解析式优点:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.新知传授 如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数．ABCD针对练习12.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.优点:能直观地表示出函数的变化情况。 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事．
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
(A) (B) (C) (D)DAB针对练习2试用列表法表示角的正弦、余弦.003004506009003.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点:不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.00300450600900解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,(2)用列表法可将函数表示为例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5}) 个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).典例精析(3)用图象法可将函数表示为下图 (1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？ (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？ 函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域. 列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.想一想例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?......▲▲
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■■■■■??????王伟■张城班平均分赵磊 解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来.可以看出:王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.赵磊王伟张城解:由绝对值的几何意义,知例3.画出函数 的图象.图像如下-2 比较例3的做图方法与例1、例2有何不同？ 例1、例2采用的是描点法;例3是借助于已知函数画图象. 描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.想一想例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1) 5公里以内(含5公里),票价2元；
(2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象． 解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：解:函数解析式为 有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．2345问：此函数能用列表法表示吗？此分段函数的定义域为此分段函数的值域为①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段上的函数解析式是怎样求出的？例5.某质点在30s内运动速度v (cm/s)是时间t(s)的函数,它的图像如下图.用解析式表示出这个函数, 并求出9s时质点的速度.解:解析式为v(t)=t+10, 0 ≤ t<5,3t, 5 ≤ t＜10,30, 10 ≤t ＜20,-3t+90,20 ≤ t≤30.t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s).例6. 函数f (x)=2x+3, x＜－1,x2, －1≤x＜1,x－1, x≥1 .求f{f[f(－2)]} ;（复合函数）(2) 当f (x)=－7时,求x ;解 （1） f{f[f(－2)]} = f{f[-1]} = f{1}
= 0 (2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与
f (x)=－7相符，由
2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=-5 【1】已知函数若 f(x)=3, 则x的值是……………( ).A. 1B. C. D. D 变式训练 分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”;解：由题y = | x + 5 | + | x －1 | 当 x ≤－5 时，y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4当 －5 ＜ x ≤ 1 时，y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6当 x ＞1 时，y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4【2】 化简函数变式训练函数的三种表示法的优点：1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。1.理解函数的三种表示法及其各种的优点；3. 分段函数的表示方法及其图象的画法.2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.课堂小结课件26张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.22函数的表示方法(2)笑唐风声制作函数的三种表示法的优点：1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。课前回顾人椅票座位 对应是两个集合的元素之间的一种关系,对应关系可用图示的方法或文字描述等来表示.一个对应由两个集合和对应关系三部分组成.对应的含义新课引入a2)对于坐标平面内的任何一点Ａ,都有唯一的一个有序实数对(x, y)和它对应;(x,y)3)对于任何一个三角形,都有唯一的面积和它对应;4)本班每一个学生和教室内的座位对应;5)本班每一个学生和班主任对应;6)某人和他的书对应.P1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点P和它对应. 研究这些对应，看你有什么发现一对一一对多研究这些对应，看你有什么发现多对一研究这些对应，看你有什么发现一对一研究这些对应，看你有什么发现 观察图(1)、(3)、(4),想一想这三个对应有什么共同的特点？ 对于左边集合A中的任何一个元素,在右边集合B中都有唯一的元素和它对应.观察 设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 f :A→B为从集合A到集合B的一个映射(mapping).1.映射 映射是从集合A到集合B的一种对应关系,函数是从非空数集A到非空数集B的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.新知传授映射三要素集合A集合BA到B的对应关系 f对应(2)为什么不是映射？ 根据映射的定义可知:映射不能一对多,只能一对一或多对一.(1)映射三要素(4)映射概念小结集合B中的每一个元素不一定在集合A中都有元素与之对应;如有也不一定唯一.集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之相对应,并且是唯一的.A,B必须是非空集合,它可以是有限集,也可以是无限集,可以是数集,也可以是点集或其它集合. A到B的映射与B到A的映射是不同的；集合A,B与对应法则f是一个整体,一个系统,对应关系f 可以用文字叙述,也可用一个式子或其他形式来表示.b1
b2
b3
a1
a3
a2
a4 a1
a3
a2
a4
b1
b2
b3
b4
a1
a3
a2
a4
b1
b2
b3
b4
(1)(2)(3)2
4
-1
04
8
-2
00
1
-1
2
-20
1
2
3(4)(5)是不是不是是
是
例1.下面7个对应,其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射?典例精析是不是是例2.下列对应是不是A到B的映射？
（1） A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}, f :乘2加1.
（2） A=N+，B={0,1}, f : x 除以2得的余数.
（3） A={x|x>0},B=R，f :求平方根.
（4） A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1}, f :取倒数.解（1） 是
（2） 是
（3）不是.B中有两个元素与A中一个元素对应
（4） 不是.A中元素0在B中无元素与之对应例3.判断下列对应是否为从集合A到B的映射:
(1) A=R,B={y|y>0},对应关系f:平方.
(2) A=N,B=N,对应关系f:乘2减1.
(3) A={1,2,3,4},B=R,对应关系f:平方.解:(1)0∈A,在对应关系f 的作用下,02=0?B,故不是.(2)0∈A,在对应关系f的作用下,2×0-1=-1?N,故不是.(3)对于任意x∈A,依对应关系f都有x2∈B,故是映射.(7)设A={x|x＞0},B={y|y＞0},对应关系是f:x→y =x2,x∈A,y∈B.(5)设A={x|x＞0},B=R,对应关系是“求算术平方根”；(6)设A={三角形},B=R,对应关系是“求面积”;注意：集合A到集合B的映射与集合B到集合 A的映射一样吗？例3.判断下列对应是否为从集合A到B的映射: 【1】已知集合下列对应中,不能看成是M到P的映射的是( ).C变式练习 【2】下面的对应,不是从M到N的映射的是( ). B变式练习例4.以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点},集合B＝{(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形},集合B＝{x|x是圆},对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级},集合B＝{x|x是新华中学的学生},对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；例5.(1)A={a,b},B={e,f},由集合A到集合B可以构成多少个不同的映射？
(2)A={a,b},B={c,d,e},由集合A到集合B可以构成多少个不同的映射？例6.以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，
对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，
集合B＝{(x,y)|x∈R,y∈R},
对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，
对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，
集合B＝｛x|x是新华中学的学生｝，
对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；
思考：对于例７中的(3),(4)作如下改编.
(3)
对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)
对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；
每一个圆都对应它的内接三角形;集合B＝｛x|x是圆｝，集合A＝｛x|x是三角形｝，每一个学生都对应他的班级；集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x是新华中学的学生｝，不是是映射是有方向的，从A到B的对应关系是映射，从B到A的对应
关系不一定是映射，如果是，那么两个映射往往是不一样的．结论2.判断映射的方法1.映射的定义、表示方法、象及原象的概念； 映射由三个部分组成：两个集合和一个对应关系；映射的记号是：②A中每个元素在B中必有唯一的元素和它对应.③A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.①映射有三个要素：两个集合、一个对应关系，三者缺一不可.课堂小结3.函数与映射的关系 函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f:A→B,其中A,B都是非空的数集,对于自变量在定义域内的任何一个值x,在集合B中都有唯一的函数值和它对应;自变量的值是原象,和它对应的函数值是象;原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域,很显然,C?B.课件31张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.31单调性与最值（1）笑唐风声制作新课引入艾宾浩斯（关于时间间隔与记忆保持量） 函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了相应事物的变化规律.请您观察下列函数图象,说下对图象的认识.新知探究分析下列函数图象的变化情况：由左至右是上升的在y轴左侧是下降的在y轴右侧是上升的由左至右函数图像的“上升”“下降”反映了函数的
一个基本性质——单调性那么，如何描述函数的
“上升”“下降”呢？04116941916在y轴左侧下降,也就是，在区间 上，
随着x的 增大，相应的f(x)随着减小，在y轴右侧上升,也就是，在区间 上，
随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。思考：如何利用函数解析式
描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”“随着x的 增大，相应的f(x)也随着增大”函数值随着自变量的增大而增大具有这种性质的函数叫做增函数.图形语言符号语言新知传授具有这种性质的函数叫做减函数.图形语言符号语言判断1：函数f (x)= x2 在 是单调增函数；（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：(不是)（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；（3）x 1, x 2 取值的任意性例1．下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 其中y=f(x)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数. [-5,2),[-2,1),
[1,3),[3,5]. [-5,-2), [1,3)[-2,1), [3,5]图像法典例精析数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚变式1：看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.图1图3图2没有单调区间减区间
增区间没有单调区间【分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数f(x)= 的图象，并指出函数f(x)的单调区间.【解析】原函数可化为
f(x)=|x-3|+|x+3|
-2x,x≤-3,
6,-3 2x,x>3.变式2：返回目录【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.显然函数的增区间为［x2,x3］,［x4,x5］,减区间为［x1,x2］,［x3,x4］,［x5,x6］.（ 2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象如下图所示：求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间.如图所示，在(-∞,-1］，［0,1］上，函数是增函数；在［-1,0］,［1,+∞)上，函数是减函数.变式3：④定号:（判断符号）小结：证明函数单调性的步骤①取值：对于x1,x2∈D，且x1(－1,1)上的单调性.（1）已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围;
（2）已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围.【分析】二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，就会给我们研究问题带来方便.对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.例3【解析】（1）要使f(x)在(-∞,4］上是减函数，由二次函数的图象可知，
只要对称轴x 即可，
解得a≥5.
（2）设00,
f(x2)-f(x1)=(- +ax2)-(- +ax1)=( - )+a(x2-x1)
=(x1-x2)( +x1x2+ -a)>0,
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
又∵x2-x1>0,
∴ +x1x2+ -a<0,
则a> +x1x2+ ,
又∵0∴ +x1x2+ <3,
∴a≥3.变式：若函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在［1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
（ 1）当a=0时,f(x)=x在［1,+∞)上是增函数.
（ 2）当a>0时，要使f(x)在［1,+∞)上是增函数，
a>0
≤1?
（ 3）当a<0时，由二次函数图象可知f(x)不能在［1,+∞)上是增函数.
综上所述，a的取值范围为［0,1］.例4：己知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围.【分析】从两点考虑：一是常数2与f(3)是什么关系？
可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式f(a)>f(a-1)+2
中怎样“脱”去“f”.【解析】∵f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3)=1,
∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.
又∵f(a)>f(a-1)+2, ∴f(a)>f(a-1)+f(9),
即f(a)>f［9(a-1)］,变式1：【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性“脱号”.
（2）“脱号”时莫忘定义域对自变量的限制.
由单调函数的概念得
解得1∴a的取值范围是10,求实数m的取值范围.由f(m)+f(2m-1)>0得f(m)>-f(2m-1),
∵f(-x)=-f(x)，∴f(m)>f(1-2m).
由f(x)是(-2,2)上的减函数可得
解得- < m < .
∴所求实数m的取值范围是- < m < .变式2：课堂小结课件24张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.31单调性与最值（2）笑唐风声制作画出下列各函数的图像并指出下列函数图象的
最高点或最低点. （5分钟）(2,9)新知探究一
已知y=x2-2x-1,求下列区间上的最大值和最小值，
（1）当x∈[-1,2]时；
（2）当x∈[2,3]时。（3）当x∈[1,3)时。ymin=f(1)=-2ymax=f(3)=2ymin=f(2)=-1ymin=f(1)=-2在[1,3)内无最大值ymax=f(-1)=2新知探究二请您观察下列图象,比较两个函数图象及其值域,您能发现什么?新知传授请您观察函数图象,说明最大值的含义课本例题变式其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值． 对于不熟悉的函数,可以先画出图象,观察其单调性,再用定义证明,然后利用单调性求出函数的最值.变式：变式2例1：求函数f(x)=x2-2ax-1在区间［0,2］上的最值.由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为x∈［0,2］,
(1)当0≤a≤2时，f (x) min=f(a)= -a2-1.
①当0≤a≤1时，f (x) max=f(2)=22-4a-1=3-4a；
②当1(2)当a<0时，f (x) min=f(0)=-1, f (x) max=f(2)=3-4a.
(3)当a>2时，f(x)min= f(2)=3-4a, f(x) max=f(0)= -1.典例精析【分析】利用函数单调性求函数最值.例2：已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞).
(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(1)当a= 时,f(x)=x+ +2.任取x2>x1≥1，则
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+
=(x2-x1)（1- ）.
∵x2>x1≥1,
∴x2-x1>0,x1x2>1,
∴ < 1,【评析】函数f(x)在区间［a,b］(a∴1- >0,
∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)在区间［1,+∞)上为增函数,
∴f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为f(1)= .
(2)在区间［1,+∞)上,f(x)= ＞0恒成立?x2+2x+a＞0恒成立. 设y=x2+2x+a ,x∈［1,+∞),则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增. ∴当x=1时,ymin=3+a, 于是,当且仅当ymin=3+a＞0时,函数f(x)＞0恒成立,故a＞-3.小结：判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 函数单调性练习：A.{b|b≥4} B.{4} C.{b|b≤4} D.{-4}A巩固练习A通过此题可将对称语言推广如下：（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，
则x=a是函数f(x)的对称轴。故实数a的取值范围是{a|0A、a≥3 B、a≤3
C、a≥-3 D、a≤-3D8、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________.[21,49]-113利用图象求函数
的最大(小)值 课堂小结课件33张PPT。新人教A版数学必修一全套课件1.32函数的奇偶性笑唐风声制作观察图片新课引入这些图形有什么共同点？新知传授偶函数的定义函数奇偶性对定义域有什么要求?奇函数或偶函数的定义域在数轴上表示的区间关于原点对称 也就是说,如果函数的定义域在数轴上表示的区间不关于原点对称的话,函数就不具备奇偶性的特性.奇函数的定义☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件（2） 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。课本例题 用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)
= - f(x)∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2
= f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R☆ 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。典例精析变式1. 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1∴f(x)为偶函数解：定义域为﹛x|x≠0﹜解：定义域为R= - f(x) = f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解: f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数解: 定义域为R
∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x)
∴f(x)为既奇又偶函数结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5) f(x)=x2+x解: ∵f(-1)=0,f(1)=2
∴f(-1)≠f(1) ，f(-1)≠-f(1)
∴f(x)为非奇非偶函数解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
小结：根据奇偶性,
函数可划分为四类: 奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数变式2：判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=(x-1)· ;
（2）f(x)= .【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.【解析】（1）先确定函数的定义域，
由 ≥0得-1≤x<1，其定义域不关于原点对称，
∴f(x)=(x-1) 既不是奇函数,也不是偶函数.
（2）函数f(x)的定义域为［-1,0)∪(0,1］,关于原点对称，
∵f(x)= =
∴f(-x)= = = -f(x),
即函数f(x)是奇函数.例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.解：画法略变式、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析式间的联系.【解析】当x<0时，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上
的奇函数，
∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
x2+x+1，x>0，
∴ 0，x=0，
-x2+x-1，x<0.【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.
（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.变式1：已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求当x<0时，f(x)的表达式.
设x<0，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2|.
又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)= -f(x),
∴-f(x)= -x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.变式2：
已知f(x)是偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x+1)，
求当x>0时，f(x)的表达式。 （1）定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围；
（2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴ 1-a>a2-1
-1<1-a<1
-1（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)又当x≥0时，g(x)为减函数，得到 |1-m|≤2
|m|≤2 解之得-1≤m<
|1-m|>|m|,.变式：已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f（ ） = -1，当且仅当
0f（ ），试证明：
（1）f(x)为奇函数；
（2）f(x)在(-1,1)上单调递减.
变式：证明:（1）由f(x)+f(y)=f（ ）,
令x=y=0，得f(0)=0.
令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（ ）=f(0)=0,
∴f(x)=-f(-x)，
∴f(x)为奇函数.
（2）先证f(x)在(0,1)上单调递减，
令00,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（ ） ,∵00,1-x1x2>0,
∴ >0,
又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,
∴0∴0< <1,
由题意知 <0，即f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)在(0,1)上为减函数.
又∵f(x)为奇函数，且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数2、两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称课堂小结函数奇偶性和单调性的关系
(1)如果函数f(x)是一个奇函数,那么它在关于原点对称的区间上的单调性是相同的.
(2)如果函数f(x)是一个偶函数,那么它在关于原点对称的区间上的单调性是相反的.2. 研究一个函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在其中一部分的性质和图象,就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图象. 一般有下列结论:
偶函数与偶函数的和函数是偶函数; 奇函数与奇函数的和函数是奇函数.
偶函数与偶函数的积函数是偶函数; 偶函数与奇函数的积函数是奇函数.
奇函数与奇函数的积函数是偶函数; 偶函数与奇函数的和函数是非奇非偶函数.课外拓展