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新课标人教A版必修2
《圆的方程》精品教学课件
圆的标准方程
包艳
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
建系、设点
条件立式
代换
化简方程
查缺补漏
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为 （y≥0）
将x＝2.7代入，得 ．
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
问题二：1、由问题1的探究可不可以得到圆心在原点半径为r的圆的方程？
2、如果圆心在（a, b），半径为r时又如何呢？
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
x
C
M
r
O
y
说明：
1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。
设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(x-3)2+(y-4)2=5
问题三：写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
5
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x－1)2＋y2＝6
(2) (x＋1)2+(y－2)2＝9
(3)(x＋a)2＋y2＝a2
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7＝0 相切的圆的方程。
C
y
x
O
M
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
| 3×1— 4×3 — 7 |
32+(-4)2
=
5
16
r =
因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2
=
25
256
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据点到直线的距离公式，得
练习: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
例2、求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程。
解：设圆的方程为
所以，所求圆的方程是(x+2)2+y2＝25或(x－6)2+y2＝25
∵点A （2，－3）在圆上， ∴把Ａ点的坐标代入圆的方程得a＝－2或a＝6.
点评：求圆的标准方程就是求(x－a)2+(y－b)2＝r2 中的a、b、r，可优先考虑待定系数法。
其中用待定系数法求圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2＝r2
的一般步骤是：
（1）根据题意，设出所求圆的标准方程是(x－a)2+(y－b)2＝r2
（2）根据已知条件，建立a、b、r的关系式；
（3）解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得所求。
变式练习：求圆心在x轴上，且过点A（－1，1）和B（1，3）的圆的方程。
解法二
解法一：设圆的方程为
把点Ａ、点B的坐标分别代入得：
(a＋1)2 +1＝r2
(a－1)2 +9＝r2
解得：a＝2， r ＝
故所求的圆的方程是： (x－2)2+y2＝10
点评：在求圆的标准方程时，尽量运用圆的几何性质，
可大大减少计算量。
本题中主要运用了圆半径，弦长的一半，弦心距三者
之间构成的直角三角形，借助勾股定理解决问题。
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(－1 , 1)、B(1,－1)的圆的方程。
课后思考题：
(x+ )2+(y+ )2=
3
4
3
4
9
50
2、一圆经过点A（2，1）和直线x－y－1＝0相切，且圆心在直线2x－y＝0上，
(1)求该圆的标准方程；
(2)已知点B（ ，1），求过B且有最短弦长的直线l的方程。
(1) (x－1)2+(y－2)2＝2
(2)记圆心为M(1,2)，当l ⊥MB时弦长最短，
易得l的斜率 k＝ ，∴ l的方程为2x＋4y－5＝0
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
作业:导学教程(圆第一课时)
求圆心在x轴上，且过点A(－1，1)和B(1，3)的圆的方程。
解法二：由题意知弦AB的中点C(0，2)，直线AB的斜率为1，所以AB的垂直平分线方程为y＝－x+2．
∵圆心在x轴上，且在弦AB的垂直平分线上
∴由y＝ － x+2和y＝0解得x＝2， y＝0
即圆心坐标是P(2，0)
又圆的半径r＝|PA|＝
所以所求的圆的方程是(x－2)2+y2＝10 返回登陆21世纪教育 助您教考全无忧
圆的标准方程
教学目标
（1） 教学知识点：
圆的标准方程
（2） 能力训练要求：
1、 掌握圆的标准方程；
2、 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；
3、 从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径。
（3） 德育渗透目标：
1、 渗透数形结合思想；
2、 培养学生的思维素质；
3、 提高学生思维能力。
教学重点
圆的标准方程
教学难点：
根据条件，利用待定系数法确定圆的三个a、b、r参数，从而求出圆的标准方程。
教学方法
引导法
引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程。
教学过程
（一）创设情境（启迪思维）
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
[引导] 画图建系
[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）
将x＝2.7代入，得 ．
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）
问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？
2．如果圆心在，半径为时又如何呢？
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 坐标法
（三）应用举例（巩固提高）
下面看一些例子。
例1、 写出下列圆的标准方程：
（1） 圆心在原点，半径为3；
（2） 圆心在（3，4）半径是；
（3） 经过点P（5，1），圆心在点Q（8，－3）.
变式练习：说出下列圆的圆心坐标和半径长（口答）
（1）(x－3)2＋(y＋2) 2＝4
（2）(x＋4)2＋(y－) 2＝7
（3）x2＋(y＋1)2＝16
例2、求圆心在x轴上，半径为5，且过点A（2，－3）的圆的标准方程。
点评：求圆的标准方程就是求(x－a)2＋(y－b) 2＝r2中的a、b、r，可优先考虑待定系数法。
其中用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是：
（1） 根据题意，设出所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b) 2＝r2；
（2） 根据已知条件，建立a、b、r的关系式；
（3） 解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得所求。
变式练习：求圆心在x轴上，且过点A（－1，1）和B（1，3）的圆的方程。
点评：在求圆的标准方程时，尽量运用圆的几何性质，可大大减少计算量。
本题中主要运用了圆半径，弦长的一半，弦心距三者之间构成的直角三角形，借助勾股定理解决问题。
（4）小结反思（拓展引申）
1．课堂小结：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法
2．分层作业：（A）巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
（B）思维拓展型作业：
试推导过圆上一点的切线方程.
3．激发新疑：
问题七：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方程：的曲线是什么图形？
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