2021-2022学年人教版七上数学全册教案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版七上数学全册教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 14.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-28 19:01:12 | ||
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文档简介
2021秋人教版七上数学全册电子教案
正数和负数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会判断一个数是正数还是负数；2.能用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
(二)过程与方法：经历从现实生活中的实例引入负数的过程，体会引入负数的必要性与合理性.
(三)情感态度与价值观：感知到数学知识来源于生活并为生活服务.
二、教学重点、难点
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量.
难点：负数的引入.
三、教学过程
创设情境
数的产生和发展离不开生活和生产的需要.
由记数、排序，产生数1、2、3，…
由表示“没有”“空位”，产生数0.
由分物、测量，产生分数，，…
正数和负数
本章引言中，表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数3，1.8%，3.5等，还要用到数-3，-2.7%，-4.5，-1.2等，它们实际意义分别是：零下3摄氏度，减少2.7%，支出4.5元，亏空1.2元.
3，1.8%，3.5等的实际意义吗？
像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数.
像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号.例如，+3，+2，+0.5，+，…就是3，2，0.5，，….
一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
0既不是正数，也不是负数.
中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数.
例
(1)一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%，
德国增长1.3%，
法国减少2.4%，
英国减少3.5%，
意大利增长0.2%，
中国增长7.5%.
写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.
解：(1)这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：
美国
-6.4%，
德国
1.3%，
法国
-2.4%，
英国
-3.5%，
意大利
0.2%，
中国
7.5%.
“负”与“正”相对.
增长-1，就是减少1；增长-6.4%，是什么意思？
什么情况下增长率是0？
1.增长-6.4%，就是减少6.4%；2.这一年商品进出口总额与上一年相同时，增长率是0.
归纳
如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.
练习
1.2010年我国全年平均降水量比上年增加108.7mm，2009年比上年减少81.5mm，2008年比上年增加53.5mm.
用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量.
解：这三年我国全年平均降水量比上年的增长量分别是：
2010年
108.7mm，2009年
-81.5mm，2008年
53.5mm.
2.如果把一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么这个物体又移动了-1m是什么意思？如何描述这时物体的位置？
解：这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动1m；此时物体回到原来的位置.
零的意义
把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量.
随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.
在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准(规定海平面的海拔高度为0m)，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.86m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m.
记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额.
0是正数与负数的分界.
0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.
0的意义已不仅是表示“没有”.
思考
上面的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？
练习
1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数.
-1，2.5，+，0，-3.14，120，-1.732，-.
2.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示____________.
3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作____m，水位不升不降时水位变化记作____m.
4.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作_____℃，夜间平均温度零下150℃，记作______℃.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要.
数学与我们的生活密不可分；经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.
这样教学更能激发学生学习数学的兴趣；提升学生的能力；促进学生的发展.
使每个学生在数学上都能得到不同程度的收获.
有理数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能说出有理数的意义；2.能把给出的有理数按要求分类，知道数0在有理数分类中的作用.
(二)过程与方法：经历按照不同标准对有理数分类的过程，培养归纳概括的数学思想方法.
(三)情感态度与价值观：通过有理数的分类，得到对称美的享受.
二、教学重点、难点
重点：有理数包括哪些数.
难点：有理数的分类.
三、教学过程
创设情境(2004年雅典奥运会)
在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔以12.91秒的成绩夺得金牌，这个成绩打破了12.96秒的奥运会纪录，平了世界纪录，实现了中国男子田径金牌0的突破.
在女子柔道52公斤级的冠军争夺战中，中国选手冼东妹仅用1.1分钟，就为中国柔道队夺得首枚金牌.
女力士唐功红在女子+75公斤级举重比赛中，不负众望，以抓举122.5公斤，挺举182.5公斤，总成绩305公斤夺得第18枚金牌，与获银牌的韩国选手相比，她的抓举重量-7.5公斤，挺举重量+10公斤.
这些数你熟悉吗？你会对它们进行分类吗？
思考
回想一下，我们认识了哪些数？
正整数，如1，2，3，…；
零，0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
正分数，如，，，0.1，5.32，…；
负分数，如-0.5，-，-，-，-150.25，….
所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合.
0.1，5.23，-0.5，-150.25等为什么被列为分数？
因为这里的小数可化为分数，所以我们也把它们看成分数.
0.1=，5.23=，-0.5=-，-150.25=-
整数和分数统称为有理数(rational
number)
rational
number原意为可写成两个整数的比的数.
例如，分数是2与3的比；整数5可以看作分母为1的分数.
1.5可以看作哪两个整数的比？
从小学开始，我们首先认识了正整数，后来又增加了0和正分数，在认识了负整数和负分数后，对数的认识就扩充到了有理数范围.
选用适当的方法将下列各数进行分类：
110，52，，+10，1.1，，-203，18，-7.5，，305，0，+75，122.5，12.96，，2004，-8，182.5，，12.91，.
圈中的“…”表示填入的数只是集合的一部分.
丹丹在分类时，发现了新的分类方法，她认为：带“+”的数分为一类，带“-”的数分为一类，数的前面没有符号的作为一类.
你认为她的分类方法对吗？为什么？若不对，你发现什么新的分类方法吗？
带“+”的数：+10，+75，…
带“-”的数：，-203，-7.5，，-8，，…
没有符号的数：110，52，1.1，，18，305，0，122.5，12.96，，2004，82.5，12.91，…
练习
1.所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：
15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333.
2.指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：
-15，+6，-2，-0.9，1，，0，，0.63，-4.95.
解：正数集合：{+6，1，，，0.63，…}
负数集合：{-15，-2，-0.9，-4.95，…}
整数集合：{-15，+6，-2，1，0，…}
分数集合：{-0.9，，，0.63，-4.95，…}
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程.
避免教师直接分类带来学习的枯燥性.
要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的.
数轴
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴；2.知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应.
(二)过程与方法：1.从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；2.通过数轴概念的学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想方法；3.会利用数轴解决有关问题.
(三)情感态度与价值观：通过对数轴的学习，体会到数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系性.
二、教学重点、难点
重点：1.数轴的概念；2.能将已知数在
数轴上表示出来，说出数轴上已知点所表示的数.
难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念.
三、教学过程
创设情境
你会读温度计吗？
比2℃低9℃的温度是____℃，比-5℃高11℃的温度是____℃.
温度计上每个刻度值都对应一个温度，那么，我们能不能像温度计表示温度这样把所有的有理数用一个图形表示出来呢？如果能，这个图形该怎么画？
问题
在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一颗槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.
规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长.
思考
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系(方向、距离)？
在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点.
这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.
此时，-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆.
你能说说图中其他数的实际意义吗？
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”.
通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”.)
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，….
数轴定义的三层含义
第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
第二层含义是说数轴有三要素(原点、正方向、单位长度)，三者缺一不可；
第三层含义是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.
分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左个单位长度的点表示分数.
任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示.
(1)写出上面数轴上点A，B，C所表示的数.A:_____，B:_____，C:_____.
(2)在上面数轴上分别找出表示，-3，0，的点.
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点距离是____个单位长度.
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.
练习
1.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数：
解：点A表示0，点B表示-2，点C表示1，点D表示2.5，点E表示-3.
2.画出数轴并表示下列有理数：
1.5，-2，2，-2.5，，，0.
解：
3.数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个___数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个___数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.
让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律.
相反数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.借助数轴理解相反数的意义；2.懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；3.会求任意有理数的相反数.
(二)过程与方法：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
(三)情感态度与价值观：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
二、教学重点、难点
重点：负数的相反数的表示方法.
难点：归纳相反数在数轴上表示的点的特征.
三、教学过程
创设情境
有理数王国的公民“1”，有一天不小心掉进了一个魔瓶里.
谁知出来后竟变成胖乎乎的“0”，你说怪不怪？冷眼旁观的“2”说:“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢？幸好我兄弟不在里面！”同学们，你想知道“1”的相反数兄弟是谁吗？为什么他俩见面后就变成“0”呢？就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!
动手操作——体验数学活动充满探索
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
+3，-4，，-5.5，-3，5.5，，+4
认真观察，在数轴上，+4与-4所表示的点有什么相同与不同之处，像这样关系的两个数你还能找出多少对？
相同之处：它们在数轴上的位置到原点的距离相等.
不同之处：+4的点在原点的右边，-4的点在原点的左边.
探究
数轴上与原点的距离是2的点有___个，这些点表示的数是______；与原点的距离是5的点有___个，这些点表示的数是______.
设a是一个正数，数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
归纳
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a.
我们说这两点关于原点对称.
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数是2；5的相反数是-5，-5的相反数是5.
一般地，a和-a互为相反数.
特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
当a=2.5时，-a=-2.5，2.5的相反数是-2.5；同时，-2.5的相反数是2.5.
数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？(关于原点对称)
思考
设a表示一个数，-a一定是负数吗？
不一定，如果a是一个负数，那么-a就是一个正数。
容易看出，在正数前面添上“-”号，就得到这个正数的相反数.
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就是表示原数的相反数.
例如，-(+5)=___，-(-5)=___，-0=___.
+5的相反数是-5，-5的相反数是5，0的相反数是0.
你能借助数轴说明-(-5)=+5吗？
-5和+5关于原点对称，它们互为相反数.
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)-3是相反数；(
)
(2)+3是相反数；(
)
(3)3是-3的相反数；(
)
(4)-3与+3互为相反数.(
)
2.写出下列各数的相反数：
6，-8，-3.9，，，100，0.
解：相反数依次是-6，8，3.9，，，-100，0.
3.如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？______.
4.化简下列各数：
-(-68)=____，-(+7.5)=______，-(-)=___，-(+3.8)=_____.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义.
通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义.
让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
绝对值
一、教学目标
(一)知识与技能：1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；2.能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列；3.能正确运用符号“＜”“＞”“因为”“所以”写出表示推理过程中简单的因果关系.
(二)过程与方法：1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力；2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念；3.经历由实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小，
特别是比较两个负数的大小的过程，渗透数形结合思想.
(三)情感态度与价值观：通过学生自己动手操作，观察、思考，使学
生亲身体验探索的乐趣，培养学生合作交流能力和观察、归纳、用
数学语言表达数学规律的能力；同时培养学生逻辑思维能力和推理论证能力.
二、教学重点、难点
重点：给出一个数会求它的绝对值；运用法则借助数轴比较两个有理数的大小.
难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数；利用绝对值概念比较两个负分数的大小.
三、教学过程
创设情境
(1)在数轴上表示出这一情景.
(2)它们所要跑的路线相同吗？
解：路线不同.
(3)它们所要跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？
解：路程一样，到原点的距离相等(不管方向)，OA=OB.
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
例如，图中A，B两点分别表示-3和3，它们与原点距离都是3个单位长度，所以-3和3的绝对值都是3，即
|-3|=3，|3|=3.
显然|0|=0.
这里的数a可以是正数、负数和0.
例1
求下列各数的绝对值：
-21，12，，，0，-7.8.
解：|-21|=21，|12|=12，||=，||=，|0|=0，|-7.8|=7.8.
归纳
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
即
(1)如果
a＞0，那么|a|=___；(2)如果
a=0，那么|a|=___；(3)如果
a＜0，那么|a|=___.
例2
求下列各数的绝对值：
(1)
4，-4；
(2)
0.8，-0.8；
(3)
，.
解:
(1)
|4|=4，|-4|=4
(2)
|0.8|=0.8，|-0.8|=0.8
(3)
||=，||=
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？(相
等)
思考
如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是____℃，最高气温是____℃.
你能将这七天中每天的最低温度按从低到高的顺序排列吗？
-4，-3，-2，-1，0，1，2
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的.
按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的.
数学中规定：在数轴上表示有理数，它从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
由这个规定可知，-6＜-5，-5＜-4，-4＜-3，-2＜0，-1＜1，….
思考
对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？
一般地，(1)
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；(2)
两个负数，绝对值大的反而小.
例如：1____0，0____-1，1____-1，-1____-2.
例3
比较下列各对数的大小：
(1)
-(-1)和-(+2)；(2)
和；(3)
-(-0.3)和||.
解：(1)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2
因为正数大于负数，所以1＞-2，即
-(-1)＞-(+2)
(2)这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值.
||=，||==
因为＜，即
||＜||，所以
＞
(3)先化简，-(-0.3)=0.3，||=
0.3＜，即-(-0.3)＜
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.
练习
比较下列各对数的大小：
(1)
3和-5
(2)
-3和-5
(3)
-2.5和-|-2.25|
(4)
和
解：(1)
3＞-5
(2)
因为|-3|＜|-5|，所以-3＞-5
(3)
先化简，-|-2.25|=-2.25
因为|-2.5|＞|-2.25|，所以
-2.5＜-|-2.25|
(4)
||==，||==
因为＞，所以＞
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容.
教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义的.在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合.
本课中，我们有意识地突出“分类讨论”、“因为，所以”这些数学思想方法，以期使学生对此有一个初步的认识与了解.
有理数的加法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算.
(二)过程与方法：通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法，培养学生观察、比较和概括的思维能力.
(三)情感态度与价值观：在传授知识、培养能力的同时，注意培养学生勇于探索的精神.
二、教学重点、难点
重点：有理数的加法法则的理解和运用.
难点：异号两数相加的法则.
三、教学过程
引言导入
在小学，我们学过正数及0的加法运算.
引入负数后，怎样进行加法运算呢？
实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算.
例如，在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算8.5+(-4.5)，4+(-5.2)等.
思考
小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加.
引入负数后，加法有哪几种情况？
正数
+
正数
正数
+
0
负数
+
负数
负数
+
正数
负数
+
0
探究方法
某赛季，凯旋足球队第一场比赛赢了1个球，第二场比赛输了1个球，该队这两场比赛的净胜球数是多少？
我们可以把赢一个球记为＋1，输一个球记为－1，此时该队的净胜球数为：
(＋1)＋(－1)＝0
思考
如果该队第一场比赛输了1个球，第二场比赛赢了1个球，那么该队这两场比赛的净胜球数是多少？
(－1)＋(＋1)＝0
如果我们用1个表示+1，用1个表示-1，那么就表示0.
同样，也表示0.
(1)计算
5＋3
即(＋5)＋(＋3)
因此
5＋3＝8
我们也可以利用数轴来表示加法运算过程.
以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向.
因此
5＋3＝8
(2)计算
(－5)＋(－3)
因此
(－5)＋(－3)＝－8
归纳
从算式5＋3＝8、(－5)＋(－3)＝－8可以看出：符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加.
(+5)+(+13)=____
8+5=____
(+7)+4=____
(-4)+(-1)=____
(-12)+(-5)=____
(-3)+(-13)=____
(3)计算
(－3)＋5
因此
(－3)＋5＝2
(4)计算
3＋(－5)
因此
3＋(－5)＝－2
归纳
从算式(－3)＋5＝2、3＋(－5)＝－2可以看出：符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(-9)+(+13)=____
5+(-8)=____
(-7)+2=____
(+4)+(-1)=____
12+(-5)=____
3+(-13)=____
(5)计算
5＋(－5)
因此
5＋(－5)＝0
互为相反数的两个数相加，结果为0.
思考
一个数同0相加，结果如何？仍得这个数
5＋0＝____，(－5)＋0＝____.
归纳
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
例1
计算：
(1)
(-3)+(-9)
(2)
(-4.7)+3.9
(先定符号，再算绝对值.)
解：(1)
(-3)+(-9)=-(3+9)=-12
(2)
(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8
练习
1.用算式表示下面的结果：
(1)温度由-4℃上升7℃；__________________
(2)收入7元，又支出5元.__________________
2.口算：
①(-4)+(-6)=_____
②4+(-6)=_____
③(-4)+6=_____
④(-4)+4=_____
⑤(-4)+14=_____
⑥(-14)+4=_____
⑦6+(-6)=_____
⑧0+(-6)=_____
3.计算：
(1)15+(-22)
(2)(-13)+(-8)
(3)(-0.9)+1.5
(4)+()
解：(1)原式=-(22-15)
=-7
(2)原式=-(13+8)
=-21
(3)原式=+(1.5-0.9)
=0.6
(4)原式=-(-)=-(-)=
4.请你用生活实例解释5+(-3)=2，(-5)+(-3)=-8的意义.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学，使学生在情境中提出问题，并寻找解决问题的途径，因此不知不觉地进入学习氛围，使学生从被动学习变为主动探究.
在本节教学中，要坚持以学生为主体，教师为主导，致力联系学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
有理数的加法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能运用加法运算律简化加法运算；2.理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练.
(二)过程与方法：经历探索有理数加法运算律过程，培养观察思维逻辑推理能力.
(三)情感态度与价值观：问题分析解决过程中，感受数学的魅力.
二、教学重点、难点
重点：如何运用加法运算律简化运算.
难点：灵活运用加法运算律.
三、教学过程
创设情境
有人养了一群猴子，每天早晨，给每只猴子4个栗子，晚上再给3个，猴子大吵大闹起来，它们想不通，为什么晚上比早晨少了一个呢？
这个人希望猴子愉快一点，可他又没有更多的栗子，于是改成早晨给3个，晚上给4个.
从此，猴子高兴了，它们发现：每天晚上，都比早晨吃到更多的栗子.
3+4=4+3，猴子到底是猴子，它们不懂得交换律，所以朝3暮4和朝4暮3得到了不同的效果.
探究
计算
30+(-20)，(-20)+30；(-15)+28，28+(-15)；13+(-32)，(-32)+13；(-41)+14，14+(-41).
[8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)]；[14+(-3)]+23，14+[(-3)+23]；
[(-3)+16]+(-16)，(-3)+[16+(-16)]；[15+(-30)]+13，15+[(-30)+13].
两次所得的和相同吗？
从上述计算中，你能得出什么结论？
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律：a
+
b
=
b
+
a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律：(a
+
b)
+
c
=a
+
(b
+
c)
例2
计算
16+(-25)+24+(-35)
解：原式=16+24+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20
例2中是怎样使计算简化的？根据是什么？
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化.
认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
例3
10袋小麦称后记录如图所示(单位：kg).
10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4
再计算总计超过多少千克：905.4-90×10=5.4
解法2：每袋小麦超过90kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.
10袋小麦对应的数分别为：
+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1
1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1
=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
=5.4
90×10+5.4=905.4
答：10袋小麦一共905.4kg，总计超过5.4千克.
练习
1.计算：
(1)
23+(-17)+6+(-22)
(2)
(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
解：(1)原式=23+6+[(-17)+(-22)]=29+(-39)=-10
(2)原式=[(-2)+2]+[3+(-3)]+[1+(-4)]=0+0+(-3)=-3
2.计算：
(1)
(2)
解：(1)原式===
(2)原式==9+(-11)
=-2
实验探究
填
幻
方
有人建议向火星发射如下左图的图案.
它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9.
每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数和都是15.
如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种"数学语言"了解到地球上也有智能生物(人).
你能将-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入右图的幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课教学以故事引入，在学生已有的知识经验上建构新知，主动探索有理数加法交换律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动地接受学习变成一种主动探索获取知识.
课堂中学生通过自主互助交流，不断地总结规律、方法和解题技巧.
有理数的减法
一、教学目标
(一)知识与技能：经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算.
(二)过程与方法：经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想.
(三)情感态度与价值观：在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习.
二、教学重点、难点
重点：有理数的减法法则的理解和运用.
难点：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题.
三、教学过程
创设情境
下面是北京冬季某天的气温(-3～3℃).
根据你的生活经验，你能说出这天的温差吗？____℃.
温差是指最高气温减最低气温.
你还能从温度计上看出3℃比-3℃高多少℃吗？
你会列式求这一天北京的温差吗？__________.
这里用到正数与负数的减法.
结果分析
减法是加法的逆运算，计算3-(-3)，就是要求出一个数x，使得
x
与-3相加得3.
因为6与-3相加得3，所以
x
应该是6，即
3-(-3)=6
①
另一方面，我们知道
3+(+3)=6
②
由①②，有
3-(-3)=3+(+3)
③
探究
从3-(-3)=3+(+3)能看出减-3相当加哪个数吗？把3换成0，-1，-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3).这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？
0-(-3)
=
0+3
=
3，(-1)-(-3)
=
(-1)+3
=
2，(-5)-(-3)
=
(-5)+3
=
-2
计算9-8，9+(-8)；15-7，15+(-7).从中又能有什么发现吗？
9-8
=
9+(-8)
=
1，15-7
=
15+(-7)
=
8
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a
-
b
=
a
+
(-b)
例4
计算：
(1)
(-3)-(-5)
(2)
0-7
(3)
7.2-(-4.8)
(4)
-
解：(1)
(-3)-(-5)=(-3)+5=2
(2)
0-7=0+(-7)=-7
(3)
7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12
(4)
-=+=
思考
在小学，只有当
a
大于或等于
b
时，我们才会做
a
-
b(例如2-1，1-1).
现在，当
a
小于
b
时，你会做
a
-
b(例如1-2，(-1)-1)吗？
一般地，较小的数减较大的数，所得的差是_____数.
练习
1.计算：
(1)
6-9
(2)
(+4)-(-7)
(3)
(-5)-(-8)
(4)
0-(-5)
(5)
(-2.5)-5.9
(6)
1.9-(-0.6)
解：(1)
6-9=6+(-9)=-3
(2)
(+4)-(-7)=4+7=11
(3)
(-5)-(-8)=(-5)+8=3
(4)
0-(-5)=0+5=5
(5)
(-2.5)-5.9=(-2.5)+(-5.9)=-8.4
(6)
1.9-(-0.6)=1.9+0.6=2.5
2.计算：
(1)
比2℃低8℃的温度；
(2)
比-3℃低6℃的温度.
解：(1)
2-8=2+(-8)=-6℃
(2)
(-3)-6=(-3)+(-6)=-9℃
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从实际问题出发，创设教学情境，有效调动学生学习的兴趣和积极性.
通过实例计算，激发学生的探索精神.
通过大量的数学练习，使学生在计算中巩固解题技能，在小组交流中体验有理数的减法运算的运算魅力，并在教师的指导下自行归纳运算法则；学生亲身体验知识的形成过程，感悟数学的转化思想.
有理数的加减混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解加减法混合运算统一为加法运算的意义；2.学会把加减法统一成加法；3.会正确熟练地进行有理数加减混合运算.
(二)过程与方法：通过有理数的加减法的运算，发展学生的运算能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生的程序意识,提高学生的学习积极性与学习数学的兴趣,以及学好数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：把加、减混合运算统一成加法运算.
难点：把加、减法统一成加法运算,并用加法运算律合理地进行运算.
三、教学过程
创设情境
一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？
方法一：4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4)
=2.4+(-1.4)
=1(千米)
方法二：4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1-1.4=2.4-1.4=1(千米)
比较以上两种算法，你发现了什么？
下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算.
例5
计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
分析：这个算式中有加法，也有减法.
可以根据有理数减法法则，把它改写为
(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
使问题转化为几个有理数的加法.
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+5)+(+3)]
=(-27)+(+8)
=-19
这里使用了哪些运算律？(加法交换律与加法结合律)
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.a
+
b
-
c
=
a
+
b
+
(-c)
算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20，3，5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为-20+3+5-7这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3加5减7”.
互相出算式，并读出两种读法.
例5
计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19
探究
在数轴上，点A，B分别表示数a，b.
利用有理数减法，分别计算下列情况下点A，B之间的距离：
a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=-6；a=-2，b=-6.
你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
A，B之间的距离分别为：6-2=4；6-0=6；2-(-6)=8；(-2)-(-6)=4.
A，B之间的距离就是a，b中较大的减较少的差.
练习
计算：
(1)
1-4+3-0.5
(2)
-2.4+3.5-4.6+3.5
(3)
(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
(4)
解：(1)
原式=1+3-4-0.5=4-4-0.5=-0.5
(2)
原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
(3)
原式=-7-5-4+10=-16+10=-6
(4)
原式======
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的.
通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.
本节课本着“扎实、有效”的原则，既关注课堂教学的本质，又注重学生能力的培养，且面向全体学生来设计教学.
有理数的乘法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解并掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算.
(二)过程与方法：在探索有理数乘法法则的教学活动中，体会有理数乘法的实际意义,发展学生应用数学知识的意识能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生的语言表达能力，通过合作学习调动学生学习的积极性，增强学习数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点：含有负因数的乘法.
三、教学过程
创设情境
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总的变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为:
3+3+3+3=3×4=12(厘米)
乙水库的水位变化量为:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=___(厘米)
思考
观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3=9
3×2=6
3×1=3
3×0=0
随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(-1)=___
3×(-2)=___
3×(-3)=___
观察下面的算式，你又能发现什么规律吗？
3×3=9
2×3=6
1×3=3
0×3=0
随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-1)×3=___
(-2)×3=___
(-3)×3=___
3×3=9
3×3=9
3×2=6
2×3=6
3×1=3
1×3=3
3×(-1)=-3
(-1)×3=-3
3×(-2)=-6
(-2)×3=-6
3×(-3)=-9
(-3)×3=-9
从符号和绝对值两个角度观察以上算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数.
积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
思考
利用刚才归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律吗？
(-3)×3=____
(-3)×2=____
(-3)×1=____
(-3)×0=____
随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3.
按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
(-3)×(-1)=___
(-3)×(-2)=___
(-3)×(-3)=___
可归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
例如，(-5)×(-3)，……………同号两数相乘
(-5)×(-3)=+(
)，………………得正
5×3=15，………………把绝对值相乘
所以，(-5)×(-3)=15.
又如，(-7)×4，……………_______________
(-7)×4=-(
)，……_______________
7×4=28，……………______________
所以，(-7)×4=____
有理数相乘，可以先确定积的_______，再确定积的________.
例1
计算：
(1)
(-3)×9
(2)
8×(-1)
(3)
(-)×(-2)
解：(1)
(-3)×9=-27
(2)
8×(-1)=-8
(3)
(-)×(-2)=1
要得到一个数的相反数，只要将它乘-1.
(-)×(-2)=1，我们说-和-2互为倒数.
一般地，在有理数中仍然有：
乘积为1的两个数互为倒数.
数a(a≠0)的倒数是_____.
想一想
倒数和相反数有什么异同？
相同点：它们都是成对出现的.
不同点：①互为相反数的两个数和为0；互为倒数的两个数积为1.
②正数的相反数是负数，正数的倒数是正数；
负数的相反数是正数，负数的倒数是负数；
零的相反数是零，零没有倒数.
例2
用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高
1
km气温的变化量为-6℃，攀登
3
km后，气温有什么变化？
解：(-6)×3=-18
答：气温下降18℃.
练习
1.计算：
(1)
6×(-9)=______
(2)
(-4)×6=______
(3)
(-6)×(-1)=_____
(4)
(-6)×0=____
(5)
×(-)=_____
(6)
(-)×=____
2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：(-5)×60=-300(元)，即销售额减少300元.
3.写出下列各数的倒数：
1，-1，，-，5，-5，，-.
解：倒数分别是：1，-1，3，-3，，-，，-.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容，它与有理数的加法运算一样，也是建立在小学算术运算的基础上.
“有理数乘法”的教学，在性质上属于定义教学，历来是一个难点课题，教学时应略举简单的事例，尽早出现法则，然后用较多的时间去练法则，背法则.
本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下，最大限度地使教学的设计过程面向全体学生，充分照顾不同层次的学生，使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
有理数的乘法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律；2.能应用运算律使运算简便.
(二)过程与方法：使学生在合作交流中对运算定律的认识由感性认识逐步发展到理性认识，合理构建知识.
(三)情感态度与价值观：培养学生分析、推理能力，培养学生探索规律的欲望和学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律.
难点：灵活运用乘法的运算律简化运算.
三、教学过程
复习巩固
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
口算：
(1)
-2×3
(2)
3×5
(3)
2.5×(-2)
(4)
(-2.5)×(-2)
(5)
-1.37×0
(6)
-1×(-1)
(7)
-5×6
(8)
-8×(-2)
思考
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(-5)
___
2×3×(-4)×(-5)
___
2×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)×(-6)
___
几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
归纳
几个不是0的数相乘，当负因数的个数是_____时，积是正数；当负因数的个数是_____时，积是负数.
例3
计算：
(1)
(-3)××(-)×(-)
(2)
(-5)×6×(-)×
解：(1)
(-3)××(-)×(-)=-3×××=-
(2)
(-5)×6×(-)×=5×6××=6
多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
多个不是0的数相乘，先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值.
思考
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由.
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
-3.5×0×213×(-13.5)
-16×(-23.6)×1.58×0×6
5×(-3.1)×(-2.8)×0.65×0
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
练习
1.口算：(1)
(-2)×3×4×(-1)
(2)
(-5)×(-3)×4×(-2)
(3)
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
(4)
(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
2.计算：
(1)
(-5)×8×(-7)×(-0.25)
(2)
(-)×××(-)
(3)
(-1)×(-)×××(-)×0×(-1)
解：(1)
原式=-5×8×7×0.25=-70
(2)
原式=×××=
(3)
原式=0
观察归纳
5×(-6)=____，(-6)×5=____
即5×(-6)=(-6)×5
[3×(-4)]×(-5)=____________=____，3×[(-4)×(-5)]=____________=____
即[3×(-4)]×(-5)=
3×[(-4)×(-5)]
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
乘法交换律：ab=ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
a×b也可以写为a·b或ab.
当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略.
5×[3+(-7)]=___________=_____，5×3+5×(-7)=__________=_____
即5×[3+(-7)]=
5×3+5×(-7)
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
分配律：a(b+c)=
ab+ac
例4
用两种方法计算：(+-)×12
解法1：原式=(+-)×12=-×1=-1
解法2：原式=×12+×12-×12=3+2-6=-1
思考
比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？
练习
计算：(1)
(-85)×(-25)×(-4)
(2)
(-)×30
(3)
(-)×15×(-1)
(4)
(-)×(-)+(-)×(+)
解：(1)
原式=-85×(25×4)=-85×100=-8500
(2)
原式=×30-×30=27-2=25
(3)
原式=××15=1×15=15
(4)
原式=(-)×(-+)=(-)×5=-6
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导学”是教学的重点.
因此，在本节课的教学中，不要直接将结论告诉学生，而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.
学生经历探索知识的过程，最后总结得出有理数乘法的运算律.
整个教学过程要让学生积极参与，独立思考和合作探究相结合，教师适当引导，以达到预期的教学效果.
有理数的除法
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握有理数除法的计算法则，并能够进行正确的计算.
(二)过程与方法：通过观察、归纳、概括以及运算的过程，提析问题和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：在解决问题的过程中，体会数学与生活的联系，提高对数学的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：正确应用法则进行有理数的除法运算.
难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商.
三、教学过程
知识回顾
倒数的定义你还记得吗？
乘积是1的两个数互为倒数.
你能很快地说出下列各数的倒数吗？
情境一：
小明从家里到学校，每分钟走70米，共走了20分钟，问小明家离学校有多远？
70×20=1400(米)
放学后，小明仍然以每分钟70米的速度回家，应该走多少分钟才会到家？
1400÷70=20(分)
情境二：
经统计，某商场一年共亏损3.6万元，那么该商场平均每月亏损多少万元？
规定盈利为正，亏损为负.
则列式为：(-3.6)÷12=
？(万元)
这个式子应该怎样计算呢？
问题解决
怎样计算8÷(-4)呢？
因为
___×(-4)=8
所以
8÷(-4)=___ …………①
另一方面，我们有
8×(
)=-2
…………②
于是有
8÷(-4)=8×(-
)
………③
③式表明，一个数除以-4可以转化为乘-来进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-.
-6÷2=____，-6×=____；-12÷(-3)=____，-12×(-)=____；
10÷(-5)=____，10×(-)=____.
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？
有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a÷b＝a·
(b≠0)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例5
计算：
(1)
(-36)÷9
(2)
(-)÷(-)
解：(1)
原式=-(36÷9)=-4
(2)
原式=(-)×(-)=
练习
计算：
(1)
(-18)÷6=____
(2)
(-63)÷(-7)=____
(3)
1÷(-9)=____
(4)
0÷(-8)=____
例6
化简分数：
(1)
(2)
解：(1)
原式=(-12)÷3=-4；(2)
原式=(-45)÷(-12)=45÷12=.
除法可以写成几种不同的形式.例如，8÷2，也可写成，还可以写成8:2.因此，化简或8:2，都可以利用除法.
或解：(1)
原式=-=-4；(2)
原式==.
例7
计算：
(1)
(-125)÷(-5)
(2)
-2.5÷×(-)
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.
乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.
解：(1)
原式=(125+)×=125×+×=25+=25
(2)
原式=××=1
练习
1.化简：
(1)
=____
(2)
=____
(3)
=____
2.计算：
(1)
(-36)÷9
(2)
(-12)÷(-4)÷(-1)
(3)
(-)×(-)÷(-0.25)
解：(1)
原式=[(-36)+(-
)]×=(-36)×+(-)×=-4+(-)=-4
(2)
原式=-12××=-
(3)
原式=-××4=-
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用.
教学设计是可以采用课本的引例做为探究除法法则的导入.
让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象.
教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法：1.在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解；2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律解决问题.
有理数加减乘除混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：进一步掌握有理数混合运算的法则以及能合理地使用运算律简化运算.
(二)过程与方法：鼓励学生通过独立运算、教师点拨、小组合作交流按有理数混合运算法则和运算律进行混合运算.
(三)情感态度与价值观：注意培养学生的运算能力；锻炼学生克服困难的意识和细心的情感态度.
二、教学重点、难点
重点：能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除混合运算.
难点：准确地掌握有理数混合运算的法则和使用运算律简化运算以及运算中的符号问题.
三、教学过程
复习巩固
(1)加法：同号两数相加，取_____的符号，并把绝对值_____.
乘法：两数相乘，同号_____，并把绝对值_____.
(2)加法：绝对值不相等的异号两数相加，取___________加数的符号，并用_____的绝对值_____较小的绝对值.
乘法：两数相乘，异号_____，并把绝对值_____.
(3)加法：一个数同0相加，___________.
乘法：任何数与0相乘，___________.
(4)减法：减去一个数，等于_____这个数的_______.
除法：除以一个________的数，等于___这个数的_____.
有理数的混合运算，在没有括号的前提下，先做____，再算____，同级运算_______________，如果有括号的先做____________，和小学里的四则运算顺序相一致.
例8
计算：
(1)
-8+4÷(-2)
(2)
(-7)×(-5)-90÷(-15)
解：(1)
原式=-8+(-2)=-10
(2)
原式=35-(-6)=35+6=41
练习
计算：
(1)
6-(-12)÷(-3)
(2)
3×(-4)+(-28)÷7
(3)
(-48)÷8-(-25
)×(-6)
(4)
42×(-)+(-)÷(-0.25)
解：(1)原式=6-4=2
(2)原式=-12+(-4)=-16
(3)原式=-6-150=-156
(4)原式=-28+3=-25
例9
某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元.
这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数.
公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
计算器
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多.
例如，可以用计算器计算例9中的
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
如果计算器带符号键，只需按键
就可以得到答案3.7.
不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明.
练习
用计算器计算：
(1)
357+(-154)+26+(-212)=_____________
(2)
-5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3)=_____________
(3)
26×(-41)+(-35)×(-17)=_____________
(4)
1.252÷(-44)-(-356)÷(-0.196)≈_____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算.
运算顺序“先乘除后加减”学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.
在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯.
有理数的乘方
一、教学目标
(一)知识与技能：让学生理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；能正确进行有理数的乘方运算.
(二)过程与方法：在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步体验，培养学生观察，分析，归纳，概括的能力；经历从乘法到乘方的过程，从中感受转化的数学思想.
(三)情感态度与价值观：让学生通过观察，推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学生学好数学的自信心，让学生经历知识拓展的过程，培养学生的探究能力与动手操作能力，体会与他人合作交流的重要性.
二、教学重点、难点
重点：正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点：准确理解底数、指数和幂三个概念，并能进行求幂的运算.
三、教学过程
创设情境
某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个.
经过5时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
边长为2cm的正方形的面积是2×2=4(cm2)；棱长为2cm的正方体的体积2×2×2=8(cm3).
2×2记作22，读作“2的平方”(或“2的二次方”)；
2×2×2记作23，读作“2的立方”(或“2的三次方”).
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记作_____，读作___________.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作_____，读作___________.
(-)×(
-)×(-)×(-)×(-)记作______，读作___________.
(-2)4与-24一样吗？为什么？
负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2)4；-(2×2×2×2)记作-24.(-2)4与-24是不相同的.
与一样吗？为什么？
×××记作；记作.
与是不相同的.
一般地，n个相同的因数
a
相乘，即a·a·…·a，记作
an，读作“a
的
n
次方”.
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
例如，在94中，底数是____，指数是____，94读作9的4次方，或9的4次幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方.
例如，5就是51.指数1通常省略不写.
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
例1
计算：(1)
(-4)3
(2)
(-2)4
(3)
解：(1)
(-4)3
=(-4)×(-4)×(-4)=-64
(2)
(-2)4
=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16
(3)
==
思考
从例1，你发现负数的幂的正负有什么规律？
当指数是_____数时，负数的幂是_____数；当指数是_____数时，负数的幂是_____数.
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例2
用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解：用带符号键的计算器.
显示：(-8)^5
-32768.
显示：(-3)^6
729.
所以(-8)5=-32768，和(-3)6=729.
练习
1.(1)
(-7)8中，底数是____、指数是____.
(2)
(-10)8中-10叫做____数，8叫做____数，幂是____数.
2.计算：
(1)
(-1)10
=______
(2)
(-1)7
=______
(3)
83
=______
(4)
(-5)3
=______
(5)
0.13
=______
(6)
=______
(7)
(-10)4
=______
(8)
(-10)5
=________
3.用计算器计算：
(1)
(-11)6=________
(2)
167=____________
(3)
8.43=__________
(4)
(-5.6)3=__________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节教学以细包分裂引入，提出问题，引导学生积极思考，并归结出答案，由答案的表现形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望.
在教师的启发诱导下自然过度到新知识的学习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握.
有理数的混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：理解并熟练掌握有理数的混合运算的顺序，并会进行简单有理数的混合运算.
(二)过程与方法：经历有理数的混合运算的一般顺序的探究过程，从中锻炼学生的综合运算能力和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：通过小组合作，体验与他人合作的精神以及认识到学习数学的乐趣，增加学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：应用有理数的混合运算的法则进行运算.
难点：熟练并且正确的运用有理数混合运算法则进行运算.
三、教学过程
例3
计算：
(1)
2×(-3)3-4×(-3)+15
(2)
(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2)
思考
上述两个式子中，存在着哪几种运算？你认为应按怎样的顺序计算？
有理数混合运算法则:
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5)
=-8-54+4.5
=-57.5
例4
观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…；
①
0，6，-6,
18，-30，66，…；
②
-1，2，-4，
8，-16，32，…；
③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
解：(1)第①行数是-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，…
(2)对比①②两行中位置相对应的数，可以发现：第②行数是第①行相应的数加2，即
-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，…
对比①③两行中位置相对应的数，可以发现：第③行数是第①行相应的数的0.5倍，即
-2×0.5，(-2)2×0.5，(-2)3×0.5，(-2)4×0.5，…
(3)每行数中的第10个数的和是
(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×0.5
=1024+(1024+2)+1024×0.5
=1024+1026+512
=2562
练习
计算：
(1)
(-1)10×2+(-2)3÷4
(2)
(-5)3-3×(-)4
(3)
×(-)×÷
(4)
(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]
解：(1)
原式=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0
(2)
原式=-125-3×=-125-=-125
(3)
原式=×(-)××=-
(4)
原式=10000+[16-(3+9)×2]
=10000+(16-12×2)
=10000+(16-24)
=10000+(-8)
=9992
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础，培养学生正确迅速的运算能力，是数学教学中的一项重要目标.
在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学生进行混合运算，首先应注意的就是运算顺序的问题.
小组讨论有理数运算法则后，教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定，特别是加入乘方以后，学生对乘方运算不熟悉，容易算成加法或底数与指数相乘.
学生在运算符号多的时候容易出错，需要进行针对性讲解.
科学记数法
一、教学目标
(一)知识与技能：借助身边熟悉的事物体会大数，并会用科学计数法表示大数.
(二)过程与方法：经历探索科学计数法表示数的过程，培养观察能力和运算能力.
(三)情感态度与价值观：体验数学符号是有效描述现实世界的重要手段，了解数学对促进社会进步和人类理性精神的作用.
二、教学重点、难点
重点：会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点：正确使用科学记数法表示数.
三、教学过程
创设情境
天上的星星知多少？
2003年7月22日在悉尼举行的国际天文学联合会大会上，天文学家指出整个可见宇宙空间大约有70000000000000000000000颗恒星，这个数字比地球上所有沙漠和海滩上的沙砾总和数量还要多.
现实中，我们会遇到一些比较大的数.
例如：太阳的半径，光的速度，目前世界人口等.
读、写这样大的数有一定的困难.
那么可以用怎样的方法来表示这些大数，使它易读、易记、易判断大小还便于计算呢？仔细观察，说说它们有什么特点.
70000000000000000000000
300000000
696000
7600000000
仔细观察
102=____，103=_____，104=______，105=_______，….
你观察到什么规律？
1.10的n次幂就等于10…0(在1后面有n个0)；
2.运算结果的位数比指数大1.
科学记数法
把下列各数写成10的幂的形式.
(1)1000=____；
(2)1000000=____；
(3)100000000=____；
(4)10000000000=____；
(5)10000000000000=____.
因此我们可以用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作“5.67乘10的8次方(幂)”.
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数.
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，使用的是科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似表示.
例如-567000000=-5.67×108
学以致用
用科学记数法表示下列各数：
70000000000000000000000=__________；300000000=__________；
696000=__________；7600000000=__________.
例5
用科学记数法表示下列各数：
1000000，57000000，-123000000000.
解：1000000=106，57000000=5.7×107，-123000000000=-1.23×1011.
思考
上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？
右边10的指数等于左边整数的位数减1.
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是_____.
练习
1.用科学记数法写出下列各数：
10000，800000，56000000，-7400000.
解：10000=104，
800000=8×105，
56000000=5.6×107，
-7400000=-7.4×106.
2.下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
1×107，4×103，
8.5×106，
7.04×105，
-3.96×104.
解：1×107=10000000，
4×103=4000，
8.5×106=8500000，
7.04×105=704000，-3.96×104=-39600.
3.中国的陆地面积约为9600000km2，领水面积约为370000km2，用科学记数法表示上述两个数字.
解：9600000=9.6×106，370000=3.7×105.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动.
把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
近似数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解近似数的概念；2.会按精确度要求取近似数；3.给一个近似数，会说出它精确到哪一位.
(二)过程与方法：通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力.
(三)情感态度与价值观：通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情.
二、教学重点、难点
重点：了解近似数的概念，并按要求取近似数.
难点：按给定的精确度求一个数的近似数.
三、教学过程
创设情境
下面有一段在博物馆的对话
管理员：小姐，这个化石有800002年了.
参观者：你怎么知道得这么精确？
管理员：两年前，有位考古学家参观过这里，他说这个化石有80万年了.现在，两年过去了，所以就是800002年了.
管理员的推断对吗？说说你的理由？
问题
问题①：我们班在座的有_____位同学，其中男生有_____人,
女生有_____人.
问题②：你的身高是______米，你的体重是______千克.
大家想一想，上述的几个数据有什么不同？
准确数、近似数
对于参加同一个会议的人数，有两个报道.
一个报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人.”这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数.
另一报道说：“约有五百人参加了今天的会议.”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数.
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数.
例如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300km，圆周率π约为3.14，这里的数都是近似数.
练习1
1.判断下列各数是准确数还是近似数.
(1)
地球到太阳的距离大约是1500万千米；
(2)
一个星期有7天；
(3)
地球的表面积为5.1×108平方千米；
(4)
第六次人口普查时，中国人口约13.4亿；
(5)
昨天小明到书店买了10本书.
2.请你举例说明生活中的准确数与近似数.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.例如，前面的五百是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13.
按四舍五入法对圆周率π(3.1415926……)取近似数时，有
π≈3
(精确到个位)
π≈3.1
(精确到0.1，或叫做精确到十分位)
π≈____
(精确到0.01，或叫做精确到百分位)
π≈3.142
(精确到_______，或叫做精确到________)
π≈3.1416
(精确到________，或叫做精确到________)
……
例6
按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)
0.0158
(精确到0.001)
(2)
304.35
(精确到个位)
(3)
1.804
(精确到0.1)
(4)
1.804
(精确到0.01)
解：(1)
0.0158≈0.016
(2)
304.35≈304
(3)
1.804≈1.8
(4)
1.804≈1.80
这里的1.8和1.80的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把1.80后面的0去掉吗？
有效数字
对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
例如，近似数0.025有两个有效数字：2，5；
近似数1500有___个有效数字：_____________；
近似数0.30有___个有效数字：_____________；
近似数0.103有___个有效数字：____________.
对于用科学记数法表示的近似数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字.
例如，近似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4；
近似数3.2×104有___个有效数字：__________.
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求.
一般说，对于同一个数取近似值时，有效数字个数越多，精确程度越高.
练习2
用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)
0.00356
(精确到万分位)
(2)
61.235
(精确到个位)
(3)
1.8935
(精确到0.001)
(4)
0.0571
(精确到0.1)
解：(1)
0.00356≈0.0036
(2)
61.235≈61
(3)
1.8935≈1.894
(4)
0.0571≈0.1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动.
把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
第1章有理数小结与复习
一、教学目标
1.复习有理数的意义及其有关概念，其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比
较、相反数与绝对值等，通过复习使学生系统掌握有理数这一章的有关基本概念；
2.会运用有理数的运算法则、运算律，熟练进行有理数的运算；
3.用四舍五入法，按要求(精确度)确定运算结果；
4.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
二、教学重点、难点
重点：1.掌握有理数的概念；2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算；3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识；4.理解科学记数法，近似数.
难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题.
三、教学过程
知识梳理
一、正数和负数
1.小学学过的除0以外的数都是正数.在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.
2.用正、负数表示具有相反意义的量.
二、有理数
1.有理数的概念
整数和分数统称为有理数.
2.有理数的分类
(1)按定义分类
(2)按符号分类
3.数轴
(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
(2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
4.相反数
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
5.绝对值
(1)一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
6.有理数大小的比较
(1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.
(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.
三、有理数的运算
1.有理数的加法
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
2.有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3.有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0.
4.有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
5.有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
6.有理数的混合运算
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
四、科学记数法
把大于10的数记成a×10n的形式，其中
1.1≤a＜10
2.n为原数的整数位减去1
五、近似数
1.按照要求取近似数
四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位.
2.由近似数判断精确度
考点讲练
考点一
正、负数的意义
例1
如果＋4米表示向东走4米，那么向西走2米记作_____.
针对训练
1.下列语句中，含有相反意义的两个量是(
)
A.盈利2千元和收入2千元
B.上升8米和前进8米
C.存入2千元和取出2千元
D.超过2厘米和上涨2厘米
2.水位下降9cm记作－9cm，那么水位上升8cm记作_______.
考点二
正、负数的概念
例2
判断:
①不带“－”号的数都是正数……………………(
)
②如果a是正数，那么－a一定是负数…………(
)
③不存在既不是正数，也不是负数的数…………(
)
④一个有理数不是正数就是负数…………………(
)
⑤0℃表示没有温度…………………………………(
)
方法总结
0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.
0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.
考点三
有理数的分类
例3
将下列各数分别填入相应的圈内：
3.5，－3.5，0，|－2|，－2，，，0.
针对训练
3.在2.3，0，＋3，－6，，－0.9中，负分数有____个.
考点四
相反数、倒数、绝对值
例4
填表：
考点五
数轴、有理数比较大小
例5
请将下面的数在数轴上表示出来，并将它们用“＞”连接起来.
3.5，－3.5，0，－2，.
解：表示如下
3.5＞＞0＞-2＞-3.5
针对训练
4.在数轴上，点A所表示的数为－2，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是_______.
5.某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是－4℃、5℃、6℃、－8℃，当时这四个城市中，气温最低的是(
)
A.北京
B.上海
C.重庆
D.宁夏
考点六
科学记数法
例6
将数2
560
000
000km用科学记数法表示____________m.
针对训练
6.某城市常住人口总数为563.8万人，用科学记数法表示为____________人.
考点七
近似数
例7
2017年我国全年出境旅游人数达1.27亿人次.这里的1.27亿精确到______位.
针对训练
7.由四舍五入法得到的近似数2.96×105精确到____位，如果精确到万位可写成_________.
考点八
有理数的运算
例8
计算
(1)
解：原式=+3-3+11-=(-3)+(3-)+11=(-3)+3+11=11
(2)
解：原式=-×(-36)+×(-36)-×(-36)+×(-36)
=21+(-27)-(-30)+(-10)
=21-27+30-10
=14
(3)
解：原式=-2÷÷=-2×12×12=288
(4)
解：原式=-16÷()2+×(-)-(-)2
=-16×+(-)-
=---
=---
=-
针对训练
8.计算
(1)
－3＋8－7－15
(2)
23－6×(－3)＋2×(－4)
(3)
(4)
参考答案：(1)
-17
(2)
33
(3)
-3.3
(4)
-
整式(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.初步认识用字母表示数的意义，并能用字母表示简单的运算定律和计算公式；2.使学生掌握含有字母的乘法算式的简便写法及平方的意义及读写法，会根据计算公式用代入法求值.
(二)过程与方法：在具体情境中经历用字母表示数的过程，培养学生的抽象概括能力，感受从具体到抽象的归纳思想，发展学生的数感与符号化思想.
(三)情感态度与价值观：让学生在自主探索、合作交流中获得成功体验，培养学生的团结协作精神.
二、教学重点、难点
重点：理解用字母表示数的意义和作用.
难点：理解含有字母的式子的意义.
三、教学过程
创设情境
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2声跳下水；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水；4只青蛙__张嘴，__只眼睛__条腿，扑通__声跳下水；……a只青蛙__张嘴，__只眼睛__条腿，扑通__声跳下水.
例1
(1)苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
(2)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
(3)一个长方体包装盒的长和宽都是a
cm，高是h
cm，用式子表示它的体积；
(4)用式子表示数n的相反数.
解：(1)现价是每千克0.8p元；(2)去年的产量是mn件；(3)由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体包装盒的体积是a·a·h
cm3，即a2h
cm3；(4)数n的相反数是-n.
例2
(1)一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是v
km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
(2)买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
(3)如左图(图中长度单位：cm)，用式子表示三角尺的面积；
(4)如右图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m)，用式子表示这所住宅的建筑面积.
解：(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h，逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积(单位：cm2)是ab-πr2.
(4)这所住宅的建筑面积(单位：m2)是x2+2x+18.
归纳
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言.
要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次，明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式.
列式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写.如：a×b
通常写作a·b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：3×a通常写作a.
4.式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写.如：y÷3通常写作:
.
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把式子括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
练习
1.某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
____________
2.圆柱体的底面半径、高分别是r，h，用式子表示圆柱体的体积.
____________
3.有两片棉田，一片有m
hm2(公顷，1
hm2=104
m2)，平均每公顷产棉花a
kg；另一片有n
hm2，平均每公顷产棉花b
kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
____________
4.在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a
mm，小正方形的边长是b
mm，用式子表示剩余部分的面积.
____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数，初步理解用字母表示数的意义及目的，可以先用数，后用字母来表示.
让学生循序渐进的学习本部分内容，让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感.
在数学教学中，让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题.
整式(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会列单项式表示简单的数量关系，理解单项式所表示的实际含义；2.理解单项式的概念，掌握单项式系数和次数的概念；3.能准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
(二)过程与方法：1.初步培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力；2.通过质疑、讨论、释疑，经历概念的形成过程，养成自主探索和合作交流的能力.
(三)情感态度与价值观：1.养成善于疑质，喜欢提问，勇于探索的学习精神；2.通过合作探究，获得数学知识，体验成功的喜悦.
二、教学重点、难点
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，能迅速地确定一个单项式的系数和次数.
难点：概念形成的过程.
三、教学过程
思考
观察式子100t，0.8p，mn，a2h，-n，这些式子有什么特点？
单项式定义：
表示数或字母的积的式子叫做单项式.
单独的一个数或一个字母也是单项式.
例如，5，0.2，a，b.
单项式的系数：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
例如，单项式100t，a2h，-n的系数分别是100，1，-1.
注意：
①单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面；
②当系数为1或-1时，这个“1”省略不写.
单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
例如，在单项式100t中，字母
t
的指数是1，100t的次数是1；在单项式
a2h
中，字母
a
与
h
的指数的和是3，a2h
的次数是3.
对于单独一个非零的数，规定它的次数为0.
如，单项式15中的次数是0.
例3
用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)每包书有12册，n
包书有_____册；
(2)底边长为
a
cm，高为
h
cm的三角形的面积是_____cm2；
(3)棱长为
a
cm的正方体的体积是____cm3；
(4)一台电视机原价
b
元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为______元；
(5)一个长方形的长是0.9
m，宽是
b
m，这个长方形的面积是______m2.
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义.
例如，在例3的第(4)(5)小题中，0.9b
既可以表示电视机的售价，又可以表示长方形的面积，当然它还可以表示更多的含义，你能赋予0.9b
一个含义吗？
练习
1.填表：
2.填空：
(1)全校学生总数是
x
，其中女生占总数48%，则女生人数是_____，男生人数是_____.
(2)一辆长途汽车从杨柳村出发，3h后到达距出发地
s
km的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是____km/h.
(3)产量由
m
kg增长10%，就达到_______kg.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习.
为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫.
整式(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解多项式、整式的概念；2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3.能用多项式表示实际问题中的数量关系.
(二)过程与方法：让学生经历观察、分析、交流，概括出有关概念，发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力.
(三)情感态度与价值观：1.鼓励学生积极参与数学活动，独立思考形成自己的见解，并能与他人合作交流，逐步养成反思与质疑的习惯；2.让学生在活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信.
二、教学重点、难点
重点：掌握多项式及整式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念.
难点：确定多项式的次数和项数并和单项式区分开来.
三、教学过程
复习巩固
(1)对于单项式，我们学习了哪些内容？
(2)请举例说明单项式、单项式的系数和次数的概念.
思考
观察式子v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，ab-πr2，x2+2x+18，这些式子有什么特点？
它们都可以看作几个单项式的和.例如，v-2.5可以看作单项式v与-2.5的和；x2+2x+18可以看作单项式x2，2x和18的和.
多项式定义：
像这样，几个单项式的和叫做多项式.
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
例如，多项式v-2.5的项是v与-2.5，其中-2.5是常数项；多项式x2+2x+18的项是x2，2x和18，其中18是常数项.
多项式的次数：
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.例如，多项式v-2.5中次数最高的项是一次项v，这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个多项式的次数是2.
v+2.5，3x+5y+2z，ab-πr2的项分别是什么？次数分别是多少？
整式
单项式与多项式统称整式.例如，前面见到的单项式100t，0.8p，mn，a2h，-n，以及多项式v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，ab-πr2，x2+2x+18等都是整式.
例4
如图所示，用式子表示圆环的面积.当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积(π取3.14).
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2-πr2.
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积(单位：cm2)是
πR2-πr2=3.14×152-3.14×102
=392.5
这个圆环的面积是392.5cm2.
练习
1.填空：
(1)a、b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l=_____，面积S=___，当a=2cm，b=3cm时，l=___cm，S=___
cm2.
(2)a、b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积S=__________，当a=2，b=4，h=5时，S=____.
2.用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项：
(1)每袋大米5kg，x袋大米(
)kg；
(2)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是(
)m2；
(3)体重由xkg增加2kg后是(
)kg.
解：(1)5x，单项式，次数是1；
(2)x2+3x+6，多项式，次数是2，项是x2，3x，6；
(3)x+2，多项式，次数是1，项是x，2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快多数的学生都可以理解、掌握.虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了.
事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约.
整式的加减(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解多项式中同类项的概念，会识别同类项，能利用合并同类项法则来化简整式.
(二)过程与方法：1.在具体的情景中，通过探究、交流、反思等活动获得合并同类项的法则，体验探求规律的思想方法；2.并熟练运用法则进行合并同类项的运算，体验化繁为简的数学思想.
(三)情感态度与价值观：1.在积极参与教学活动，获得成功的体验；2.培养团结协作，严谨求实的学习作风和锲而不舍，勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
重点：同类项的概念和合并同类项的法则.
难点：找出同类项并正确地合并.
三、教学过程
复习巩固
1.银行职员数钞票时，把100元票面、50元票面、20元票面、10元票面…的人民币分类来数，在多项式中是否也有类似的情形呢？
2.下图中有两个三角形，两个矩形，你能用式子表示这四个图形的面积和吗？
四个图形面积和：2a+ab+3a+2ab=___________.
探究
(1)
运用运算律计算：
100×2＋252×2=______________；
100×(-2)＋252×(-2)=________________；
(2)
根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
100t＋252t=____________.
在(1)中，我们知道，根据分配律可得
100×2＋252×2=(100＋252)×2=352×2，
100×(-2)＋252×(-2)=(100＋252)×(-2)=352×(-2).
在(2)中，式子100t＋252t表示100t与252t两项的和.它与(1)中的两个式子有相同的结构，并且字母t代表的是一个因(乘)数，因此根据分配律也应该有
100t＋252t=(100＋252)t=352t.
填空：
(1)
100t－252t=(
)t；
(2)
3x2＋2x2=(
)x2；
(3)
3ab2－4ab2=(
)ab2.
上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律吗？
对于上面的(1)(2)(3)，利用分配律可得
100t－252t=(100－252)t=-152t
3x2＋2x2=(3＋2)x2=5x2
3ab2－4ab2=(3－4)ab2=-ab2
注意分配律的使用：100t－252t=[100＋(－252)]t=(100－252)t.
观察
多项式100t－252t的项100t和-252t，它们含有相同的字母t，并且t的指数都是1；
多项式3x2＋2x2的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；
多项式3ab2－4ab2的项3ab2和-4ab2，它们含有相同的字母a、b，并且a的指数都是1次，b的指数都是2次.
同类项：
像100t与-252t，3x2与2x2，3ab2与-4ab2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
几个常数项也是同类项.
例如5与-3.
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如，
4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2
=4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2
(交换律)
=(4x2－8x2)＋(2x＋3x)＋(7－2)
(结合律)
=(4－8)x2＋(2＋3)x＋(7－2)
(分配律)
=－4x2＋5x＋5
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列，如－4x2＋5x＋5也可以写成5＋5x－4x2.
合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
例1
合并下列各式的同类项：
(1)
xy2－xy2；
(2)
-3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)
4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
解：(1)
xy2－xy2=(1－)xy2=xy2；
(2)
-3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2=(-3＋2)x2y＋(3－2)xy2=-x2y＋xy2；
(3)
4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2
=(4a2－4a2)＋(3b2－4b2)＋2ab=(4－4)a2＋(3－4)b2＋2ab=－b2＋2ab.
例2
(1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x=；
(2)求多项式3a＋abc－c22－3a＋c2的值，其中a=-，b=2，c=-3.
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.
解：(1)
2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2=(2＋1－3)x2＋(－5＋4)x－2=-x－2
当x=时，原式=-－2=-.
(2)
3a＋abc－c22－3a＋c2=(3－3)a＋abc＋(-＋)c2==abc
当a=-时，b=2，c=-3时，原式=(-)×2×(-3)=1.
请你把字母的值直接代入原式求值.与例2的运算过程比较，哪种方法更简便？
例3
(1)水库水位第一天连续下降了ah，每小时平均下降2cm；第二天连续上升ah，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位量记为正.第一天水位的变化量为-2a
cm，第二天水位的变化量为0.5a
cm.
两天水位的总变化量(单位：cm)是
-2a＋0.5a=(-2＋0.5)a=-1.5a.
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a
cm.
(2)把进货的数量记为正，售出的数量记为负.进货后这个商店共有大米(单位：kg)
5x－3x＋4x=(5－3＋4)x=6x.
练习
1.计算：
(1)
12x－20x；
(2)
x＋7x－5x；
(3)
-5a＋0.3a－2.7a；
(4)
y－y＋2y；
(5)
-6ab＋ba＋8ab；
(6)
10y2－0.5y2.
解：(1)
12x－20x=(12－20)x=-8x；
(2)
x＋7x－5x=(1＋7－5)x=3x；
(3)
-5a＋0.3a－2.7a=(-5＋0.3－2.7)a=-7.4a；
(4)
y－y＋2y=(－＋2)y=y；
(5)
-6ab＋ba＋8ab=(-6＋1＋8)ab=3ab；
(6)
10y2－0.5y2=(10－0.5)y2=9.5y2.
2.求下列各式的值：
(1)
3a＋2b－5a－b，其中a=-2，b=1；
(2)
3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1，其中x=-3.
解：(1)
3a＋2b－5a－b=(3－5)a＋(2－1)b=-2a＋b
当a=-2，b=1时，原式=-2×(-2)＋1=4＋1=5.
(2)
3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1=3x－3x－4x2＋2x2＋7＋1=(3－3)x＋(-4＋2)x2＋8=-2x2+8
当x=-3时，原式=-2×(-3)2＋8=-18＋8=-10.
3.(1)x的4倍与x的5倍的和是多少？
(2)x的3倍比x的一半大多少？
解：(1)4x＋5x=9x；(2)3x－x=x.
4.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积=πR2－πR2=πR2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数学教学要紧密联系学生的生活实际，本节课从学生已有的知识和经验出发，从实际问题入手，引出合并同类项的概念.
通过独立思考、讨论交流等方式归纳出合并同类项的法则，通过例题教学、练习等方式巩固相关知识.
教学中应激发学生主动参与的学习动机，培养学生思维的灵活性.
整式的加减(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简.
(二)过程与方法：经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在探究活动中，体验类比思想价值观.
二、教学重点、难点
重点：去括号法则.
难点：括号前面是“一”时，去括号后的符号变化.
三、教学过程
创设情境
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要
u
h，那么它通过非冻土地段的时间是(u－0.5)h.
于是，冻土地段的路程为100u
km，非冻土地段的路程是120(u－0.5)km.
因
此，这段铁路的全长(单位：km)是
100u＋120(u－0.5)
①
冻土地段与非冻土地段相差(单位：km)
100u－120(u－0.5)
②
思考
100u＋120(u－0.5)
①
100u－120(u－0.5)
②
上面的式子①②都带有括号.
类比数的运算，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得
100u＋120(u－0
正数和负数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会判断一个数是正数还是负数；2.能用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
(二)过程与方法：经历从现实生活中的实例引入负数的过程，体会引入负数的必要性与合理性.
(三)情感态度与价值观：感知到数学知识来源于生活并为生活服务.
二、教学重点、难点
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量.
难点：负数的引入.
三、教学过程
创设情境
数的产生和发展离不开生活和生产的需要.
由记数、排序，产生数1、2、3，…
由表示“没有”“空位”，产生数0.
由分物、测量，产生分数，，…
正数和负数
本章引言中，表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数3，1.8%，3.5等，还要用到数-3，-2.7%，-4.5，-1.2等，它们实际意义分别是：零下3摄氏度，减少2.7%，支出4.5元，亏空1.2元.
3，1.8%，3.5等的实际意义吗？
像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数.
像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号.例如，+3，+2，+0.5，+，…就是3，2，0.5，，….
一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
0既不是正数，也不是负数.
中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数.
例
(1)一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%，
德国增长1.3%，
法国减少2.4%，
英国减少3.5%，
意大利增长0.2%，
中国增长7.5%.
写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.
解：(1)这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：
美国
-6.4%，
德国
1.3%，
法国
-2.4%，
英国
-3.5%，
意大利
0.2%，
中国
7.5%.
“负”与“正”相对.
增长-1，就是减少1；增长-6.4%，是什么意思？
什么情况下增长率是0？
1.增长-6.4%，就是减少6.4%；2.这一年商品进出口总额与上一年相同时，增长率是0.
归纳
如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.
练习
1.2010年我国全年平均降水量比上年增加108.7mm，2009年比上年减少81.5mm，2008年比上年增加53.5mm.
用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量.
解：这三年我国全年平均降水量比上年的增长量分别是：
2010年
108.7mm，2009年
-81.5mm，2008年
53.5mm.
2.如果把一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么这个物体又移动了-1m是什么意思？如何描述这时物体的位置？
解：这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动1m；此时物体回到原来的位置.
零的意义
把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量.
随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.
在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准(规定海平面的海拔高度为0m)，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.86m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m.
记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额.
0是正数与负数的分界.
0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.
0的意义已不仅是表示“没有”.
思考
上面的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？
练习
1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数.
-1，2.5，+，0，-3.14，120，-1.732，-.
2.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示____________.
3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作____m，水位不升不降时水位变化记作____m.
4.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作_____℃，夜间平均温度零下150℃，记作______℃.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要.
数学与我们的生活密不可分；经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.
这样教学更能激发学生学习数学的兴趣；提升学生的能力；促进学生的发展.
使每个学生在数学上都能得到不同程度的收获.
有理数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能说出有理数的意义；2.能把给出的有理数按要求分类，知道数0在有理数分类中的作用.
(二)过程与方法：经历按照不同标准对有理数分类的过程，培养归纳概括的数学思想方法.
(三)情感态度与价值观：通过有理数的分类，得到对称美的享受.
二、教学重点、难点
重点：有理数包括哪些数.
难点：有理数的分类.
三、教学过程
创设情境(2004年雅典奥运会)
在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔以12.91秒的成绩夺得金牌，这个成绩打破了12.96秒的奥运会纪录，平了世界纪录，实现了中国男子田径金牌0的突破.
在女子柔道52公斤级的冠军争夺战中，中国选手冼东妹仅用1.1分钟，就为中国柔道队夺得首枚金牌.
女力士唐功红在女子+75公斤级举重比赛中，不负众望，以抓举122.5公斤，挺举182.5公斤，总成绩305公斤夺得第18枚金牌，与获银牌的韩国选手相比，她的抓举重量-7.5公斤，挺举重量+10公斤.
这些数你熟悉吗？你会对它们进行分类吗？
思考
回想一下，我们认识了哪些数？
正整数，如1，2，3，…；
零，0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
正分数，如，，，0.1，5.32，…；
负分数，如-0.5，-，-，-，-150.25，….
所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合.
0.1，5.23，-0.5，-150.25等为什么被列为分数？
因为这里的小数可化为分数，所以我们也把它们看成分数.
0.1=，5.23=，-0.5=-，-150.25=-
整数和分数统称为有理数(rational
number)
rational
number原意为可写成两个整数的比的数.
例如，分数是2与3的比；整数5可以看作分母为1的分数.
1.5可以看作哪两个整数的比？
从小学开始，我们首先认识了正整数，后来又增加了0和正分数，在认识了负整数和负分数后，对数的认识就扩充到了有理数范围.
选用适当的方法将下列各数进行分类：
110，52，，+10，1.1，，-203，18，-7.5，，305，0，+75，122.5，12.96，，2004，-8，182.5，，12.91，.
圈中的“…”表示填入的数只是集合的一部分.
丹丹在分类时，发现了新的分类方法，她认为：带“+”的数分为一类，带“-”的数分为一类，数的前面没有符号的作为一类.
你认为她的分类方法对吗？为什么？若不对，你发现什么新的分类方法吗？
带“+”的数：+10，+75，…
带“-”的数：，-203，-7.5，，-8，，…
没有符号的数：110，52，1.1，，18，305，0，122.5，12.96，，2004，82.5，12.91，…
练习
1.所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：
15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333.
2.指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：
-15，+6，-2，-0.9，1，，0，，0.63，-4.95.
解：正数集合：{+6，1，，，0.63，…}
负数集合：{-15，-2，-0.9，-4.95，…}
整数集合：{-15，+6，-2，1，0，…}
分数集合：{-0.9，，，0.63，-4.95，…}
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程.
避免教师直接分类带来学习的枯燥性.
要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的.
数轴
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴；2.知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应.
(二)过程与方法：1.从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；2.通过数轴概念的学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想方法；3.会利用数轴解决有关问题.
(三)情感态度与价值观：通过对数轴的学习，体会到数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系性.
二、教学重点、难点
重点：1.数轴的概念；2.能将已知数在
数轴上表示出来，说出数轴上已知点所表示的数.
难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念.
三、教学过程
创设情境
你会读温度计吗？
比2℃低9℃的温度是____℃，比-5℃高11℃的温度是____℃.
温度计上每个刻度值都对应一个温度，那么，我们能不能像温度计表示温度这样把所有的有理数用一个图形表示出来呢？如果能，这个图形该怎么画？
问题
在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一颗槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.
规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长.
思考
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系(方向、距离)？
在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点.
这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.
此时，-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆.
你能说说图中其他数的实际意义吗？
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”.
通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”.)
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，….
数轴定义的三层含义
第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
第二层含义是说数轴有三要素(原点、正方向、单位长度)，三者缺一不可；
第三层含义是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.
分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左个单位长度的点表示分数.
任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示.
(1)写出上面数轴上点A，B，C所表示的数.A:_____，B:_____，C:_____.
(2)在上面数轴上分别找出表示，-3，0，的点.
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点距离是____个单位长度.
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.
练习
1.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数：
解：点A表示0，点B表示-2，点C表示1，点D表示2.5，点E表示-3.
2.画出数轴并表示下列有理数：
1.5，-2，2，-2.5，，，0.
解：
3.数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个___数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个___数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.
让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律.
相反数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.借助数轴理解相反数的意义；2.懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；3.会求任意有理数的相反数.
(二)过程与方法：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
(三)情感态度与价值观：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
二、教学重点、难点
重点：负数的相反数的表示方法.
难点：归纳相反数在数轴上表示的点的特征.
三、教学过程
创设情境
有理数王国的公民“1”，有一天不小心掉进了一个魔瓶里.
谁知出来后竟变成胖乎乎的“0”，你说怪不怪？冷眼旁观的“2”说:“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢？幸好我兄弟不在里面！”同学们，你想知道“1”的相反数兄弟是谁吗？为什么他俩见面后就变成“0”呢？就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!
动手操作——体验数学活动充满探索
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
+3，-4，，-5.5，-3，5.5，，+4
认真观察，在数轴上，+4与-4所表示的点有什么相同与不同之处，像这样关系的两个数你还能找出多少对？
相同之处：它们在数轴上的位置到原点的距离相等.
不同之处：+4的点在原点的右边，-4的点在原点的左边.
探究
数轴上与原点的距离是2的点有___个，这些点表示的数是______；与原点的距离是5的点有___个，这些点表示的数是______.
设a是一个正数，数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
归纳
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a.
我们说这两点关于原点对称.
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数是2；5的相反数是-5，-5的相反数是5.
一般地，a和-a互为相反数.
特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
当a=2.5时，-a=-2.5，2.5的相反数是-2.5；同时，-2.5的相反数是2.5.
数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？(关于原点对称)
思考
设a表示一个数，-a一定是负数吗？
不一定，如果a是一个负数，那么-a就是一个正数。
容易看出，在正数前面添上“-”号，就得到这个正数的相反数.
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就是表示原数的相反数.
例如，-(+5)=___，-(-5)=___，-0=___.
+5的相反数是-5，-5的相反数是5，0的相反数是0.
你能借助数轴说明-(-5)=+5吗？
-5和+5关于原点对称，它们互为相反数.
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)-3是相反数；(
)
(2)+3是相反数；(
)
(3)3是-3的相反数；(
)
(4)-3与+3互为相反数.(
)
2.写出下列各数的相反数：
6，-8，-3.9，，，100，0.
解：相反数依次是-6，8，3.9，，，-100，0.
3.如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？______.
4.化简下列各数：
-(-68)=____，-(+7.5)=______，-(-)=___，-(+3.8)=_____.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义.
通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义.
让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
绝对值
一、教学目标
(一)知识与技能：1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；2.能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列；3.能正确运用符号“＜”“＞”“因为”“所以”写出表示推理过程中简单的因果关系.
(二)过程与方法：1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力；2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念；3.经历由实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小，
特别是比较两个负数的大小的过程，渗透数形结合思想.
(三)情感态度与价值观：通过学生自己动手操作，观察、思考，使学
生亲身体验探索的乐趣，培养学生合作交流能力和观察、归纳、用
数学语言表达数学规律的能力；同时培养学生逻辑思维能力和推理论证能力.
二、教学重点、难点
重点：给出一个数会求它的绝对值；运用法则借助数轴比较两个有理数的大小.
难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数；利用绝对值概念比较两个负分数的大小.
三、教学过程
创设情境
(1)在数轴上表示出这一情景.
(2)它们所要跑的路线相同吗？
解：路线不同.
(3)它们所要跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？
解：路程一样，到原点的距离相等(不管方向)，OA=OB.
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
例如，图中A，B两点分别表示-3和3，它们与原点距离都是3个单位长度，所以-3和3的绝对值都是3，即
|-3|=3，|3|=3.
显然|0|=0.
这里的数a可以是正数、负数和0.
例1
求下列各数的绝对值：
-21，12，，，0，-7.8.
解：|-21|=21，|12|=12，||=，||=，|0|=0，|-7.8|=7.8.
归纳
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
即
(1)如果
a＞0，那么|a|=___；(2)如果
a=0，那么|a|=___；(3)如果
a＜0，那么|a|=___.
例2
求下列各数的绝对值：
(1)
4，-4；
(2)
0.8，-0.8；
(3)
，.
解:
(1)
|4|=4，|-4|=4
(2)
|0.8|=0.8，|-0.8|=0.8
(3)
||=，||=
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？(相
等)
思考
如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是____℃，最高气温是____℃.
你能将这七天中每天的最低温度按从低到高的顺序排列吗？
-4，-3，-2，-1，0，1，2
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的.
按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的.
数学中规定：在数轴上表示有理数，它从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
由这个规定可知，-6＜-5，-5＜-4，-4＜-3，-2＜0，-1＜1，….
思考
对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？
一般地，(1)
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；(2)
两个负数，绝对值大的反而小.
例如：1____0，0____-1，1____-1，-1____-2.
例3
比较下列各对数的大小：
(1)
-(-1)和-(+2)；(2)
和；(3)
-(-0.3)和||.
解：(1)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2
因为正数大于负数，所以1＞-2，即
-(-1)＞-(+2)
(2)这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值.
||=，||==
因为＜，即
||＜||，所以
＞
(3)先化简，-(-0.3)=0.3，||=
0.3＜，即-(-0.3)＜
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.
练习
比较下列各对数的大小：
(1)
3和-5
(2)
-3和-5
(3)
-2.5和-|-2.25|
(4)
和
解：(1)
3＞-5
(2)
因为|-3|＜|-5|，所以-3＞-5
(3)
先化简，-|-2.25|=-2.25
因为|-2.5|＞|-2.25|，所以
-2.5＜-|-2.25|
(4)
||==，||==
因为＞，所以＞
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容.
教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义的.在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合.
本课中，我们有意识地突出“分类讨论”、“因为，所以”这些数学思想方法，以期使学生对此有一个初步的认识与了解.
有理数的加法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算.
(二)过程与方法：通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法，培养学生观察、比较和概括的思维能力.
(三)情感态度与价值观：在传授知识、培养能力的同时，注意培养学生勇于探索的精神.
二、教学重点、难点
重点：有理数的加法法则的理解和运用.
难点：异号两数相加的法则.
三、教学过程
引言导入
在小学，我们学过正数及0的加法运算.
引入负数后，怎样进行加法运算呢？
实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算.
例如，在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算8.5+(-4.5)，4+(-5.2)等.
思考
小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加.
引入负数后，加法有哪几种情况？
正数
+
正数
正数
+
0
负数
+
负数
负数
+
正数
负数
+
0
探究方法
某赛季，凯旋足球队第一场比赛赢了1个球，第二场比赛输了1个球，该队这两场比赛的净胜球数是多少？
我们可以把赢一个球记为＋1，输一个球记为－1，此时该队的净胜球数为：
(＋1)＋(－1)＝0
思考
如果该队第一场比赛输了1个球，第二场比赛赢了1个球，那么该队这两场比赛的净胜球数是多少？
(－1)＋(＋1)＝0
如果我们用1个表示+1，用1个表示-1，那么就表示0.
同样，也表示0.
(1)计算
5＋3
即(＋5)＋(＋3)
因此
5＋3＝8
我们也可以利用数轴来表示加法运算过程.
以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向.
因此
5＋3＝8
(2)计算
(－5)＋(－3)
因此
(－5)＋(－3)＝－8
归纳
从算式5＋3＝8、(－5)＋(－3)＝－8可以看出：符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加.
(+5)+(+13)=____
8+5=____
(+7)+4=____
(-4)+(-1)=____
(-12)+(-5)=____
(-3)+(-13)=____
(3)计算
(－3)＋5
因此
(－3)＋5＝2
(4)计算
3＋(－5)
因此
3＋(－5)＝－2
归纳
从算式(－3)＋5＝2、3＋(－5)＝－2可以看出：符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(-9)+(+13)=____
5+(-8)=____
(-7)+2=____
(+4)+(-1)=____
12+(-5)=____
3+(-13)=____
(5)计算
5＋(－5)
因此
5＋(－5)＝0
互为相反数的两个数相加，结果为0.
思考
一个数同0相加，结果如何？仍得这个数
5＋0＝____，(－5)＋0＝____.
归纳
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
例1
计算：
(1)
(-3)+(-9)
(2)
(-4.7)+3.9
(先定符号，再算绝对值.)
解：(1)
(-3)+(-9)=-(3+9)=-12
(2)
(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8
练习
1.用算式表示下面的结果：
(1)温度由-4℃上升7℃；__________________
(2)收入7元，又支出5元.__________________
2.口算：
①(-4)+(-6)=_____
②4+(-6)=_____
③(-4)+6=_____
④(-4)+4=_____
⑤(-4)+14=_____
⑥(-14)+4=_____
⑦6+(-6)=_____
⑧0+(-6)=_____
3.计算：
(1)15+(-22)
(2)(-13)+(-8)
(3)(-0.9)+1.5
(4)+()
解：(1)原式=-(22-15)
=-7
(2)原式=-(13+8)
=-21
(3)原式=+(1.5-0.9)
=0.6
(4)原式=-(-)=-(-)=
4.请你用生活实例解释5+(-3)=2，(-5)+(-3)=-8的意义.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学，使学生在情境中提出问题，并寻找解决问题的途径，因此不知不觉地进入学习氛围，使学生从被动学习变为主动探究.
在本节教学中，要坚持以学生为主体，教师为主导，致力联系学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
有理数的加法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能运用加法运算律简化加法运算；2.理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练.
(二)过程与方法：经历探索有理数加法运算律过程，培养观察思维逻辑推理能力.
(三)情感态度与价值观：问题分析解决过程中，感受数学的魅力.
二、教学重点、难点
重点：如何运用加法运算律简化运算.
难点：灵活运用加法运算律.
三、教学过程
创设情境
有人养了一群猴子，每天早晨，给每只猴子4个栗子，晚上再给3个，猴子大吵大闹起来，它们想不通，为什么晚上比早晨少了一个呢？
这个人希望猴子愉快一点，可他又没有更多的栗子，于是改成早晨给3个，晚上给4个.
从此，猴子高兴了，它们发现：每天晚上，都比早晨吃到更多的栗子.
3+4=4+3，猴子到底是猴子，它们不懂得交换律，所以朝3暮4和朝4暮3得到了不同的效果.
探究
计算
30+(-20)，(-20)+30；(-15)+28，28+(-15)；13+(-32)，(-32)+13；(-41)+14，14+(-41).
[8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)]；[14+(-3)]+23，14+[(-3)+23]；
[(-3)+16]+(-16)，(-3)+[16+(-16)]；[15+(-30)]+13，15+[(-30)+13].
两次所得的和相同吗？
从上述计算中，你能得出什么结论？
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律：a
+
b
=
b
+
a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律：(a
+
b)
+
c
=a
+
(b
+
c)
例2
计算
16+(-25)+24+(-35)
解：原式=16+24+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20
例2中是怎样使计算简化的？根据是什么？
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化.
认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
例3
10袋小麦称后记录如图所示(单位：kg).
10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4
再计算总计超过多少千克：905.4-90×10=5.4
解法2：每袋小麦超过90kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.
10袋小麦对应的数分别为：
+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1
1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1
=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
=5.4
90×10+5.4=905.4
答：10袋小麦一共905.4kg，总计超过5.4千克.
练习
1.计算：
(1)
23+(-17)+6+(-22)
(2)
(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
解：(1)原式=23+6+[(-17)+(-22)]=29+(-39)=-10
(2)原式=[(-2)+2]+[3+(-3)]+[1+(-4)]=0+0+(-3)=-3
2.计算：
(1)
(2)
解：(1)原式===
(2)原式==9+(-11)
=-2
实验探究
填
幻
方
有人建议向火星发射如下左图的图案.
它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9.
每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数和都是15.
如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种"数学语言"了解到地球上也有智能生物(人).
你能将-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入右图的幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课教学以故事引入，在学生已有的知识经验上建构新知，主动探索有理数加法交换律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动地接受学习变成一种主动探索获取知识.
课堂中学生通过自主互助交流，不断地总结规律、方法和解题技巧.
有理数的减法
一、教学目标
(一)知识与技能：经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算.
(二)过程与方法：经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想.
(三)情感态度与价值观：在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习.
二、教学重点、难点
重点：有理数的减法法则的理解和运用.
难点：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题.
三、教学过程
创设情境
下面是北京冬季某天的气温(-3～3℃).
根据你的生活经验，你能说出这天的温差吗？____℃.
温差是指最高气温减最低气温.
你还能从温度计上看出3℃比-3℃高多少℃吗？
你会列式求这一天北京的温差吗？__________.
这里用到正数与负数的减法.
结果分析
减法是加法的逆运算，计算3-(-3)，就是要求出一个数x，使得
x
与-3相加得3.
因为6与-3相加得3，所以
x
应该是6，即
3-(-3)=6
①
另一方面，我们知道
3+(+3)=6
②
由①②，有
3-(-3)=3+(+3)
③
探究
从3-(-3)=3+(+3)能看出减-3相当加哪个数吗？把3换成0，-1，-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3).这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？
0-(-3)
=
0+3
=
3，(-1)-(-3)
=
(-1)+3
=
2，(-5)-(-3)
=
(-5)+3
=
-2
计算9-8，9+(-8)；15-7，15+(-7).从中又能有什么发现吗？
9-8
=
9+(-8)
=
1，15-7
=
15+(-7)
=
8
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a
-
b
=
a
+
(-b)
例4
计算：
(1)
(-3)-(-5)
(2)
0-7
(3)
7.2-(-4.8)
(4)
-
解：(1)
(-3)-(-5)=(-3)+5=2
(2)
0-7=0+(-7)=-7
(3)
7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12
(4)
-=+=
思考
在小学，只有当
a
大于或等于
b
时，我们才会做
a
-
b(例如2-1，1-1).
现在，当
a
小于
b
时，你会做
a
-
b(例如1-2，(-1)-1)吗？
一般地，较小的数减较大的数，所得的差是_____数.
练习
1.计算：
(1)
6-9
(2)
(+4)-(-7)
(3)
(-5)-(-8)
(4)
0-(-5)
(5)
(-2.5)-5.9
(6)
1.9-(-0.6)
解：(1)
6-9=6+(-9)=-3
(2)
(+4)-(-7)=4+7=11
(3)
(-5)-(-8)=(-5)+8=3
(4)
0-(-5)=0+5=5
(5)
(-2.5)-5.9=(-2.5)+(-5.9)=-8.4
(6)
1.9-(-0.6)=1.9+0.6=2.5
2.计算：
(1)
比2℃低8℃的温度；
(2)
比-3℃低6℃的温度.
解：(1)
2-8=2+(-8)=-6℃
(2)
(-3)-6=(-3)+(-6)=-9℃
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从实际问题出发，创设教学情境，有效调动学生学习的兴趣和积极性.
通过实例计算，激发学生的探索精神.
通过大量的数学练习，使学生在计算中巩固解题技能，在小组交流中体验有理数的减法运算的运算魅力，并在教师的指导下自行归纳运算法则；学生亲身体验知识的形成过程，感悟数学的转化思想.
有理数的加减混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解加减法混合运算统一为加法运算的意义；2.学会把加减法统一成加法；3.会正确熟练地进行有理数加减混合运算.
(二)过程与方法：通过有理数的加减法的运算，发展学生的运算能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生的程序意识,提高学生的学习积极性与学习数学的兴趣,以及学好数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：把加、减混合运算统一成加法运算.
难点：把加、减法统一成加法运算,并用加法运算律合理地进行运算.
三、教学过程
创设情境
一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？
方法一：4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4)
=2.4+(-1.4)
=1(千米)
方法二：4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1-1.4=2.4-1.4=1(千米)
比较以上两种算法，你发现了什么？
下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算.
例5
计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
分析：这个算式中有加法，也有减法.
可以根据有理数减法法则，把它改写为
(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
使问题转化为几个有理数的加法.
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+5)+(+3)]
=(-27)+(+8)
=-19
这里使用了哪些运算律？(加法交换律与加法结合律)
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.a
+
b
-
c
=
a
+
b
+
(-c)
算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20，3，5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为-20+3+5-7这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3加5减7”.
互相出算式，并读出两种读法.
例5
计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19
探究
在数轴上，点A，B分别表示数a，b.
利用有理数减法，分别计算下列情况下点A，B之间的距离：
a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=-6；a=-2，b=-6.
你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
A，B之间的距离分别为：6-2=4；6-0=6；2-(-6)=8；(-2)-(-6)=4.
A，B之间的距离就是a，b中较大的减较少的差.
练习
计算：
(1)
1-4+3-0.5
(2)
-2.4+3.5-4.6+3.5
(3)
(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
(4)
解：(1)
原式=1+3-4-0.5=4-4-0.5=-0.5
(2)
原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
(3)
原式=-7-5-4+10=-16+10=-6
(4)
原式======
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的.
通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.
本节课本着“扎实、有效”的原则，既关注课堂教学的本质，又注重学生能力的培养，且面向全体学生来设计教学.
有理数的乘法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解并掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算.
(二)过程与方法：在探索有理数乘法法则的教学活动中，体会有理数乘法的实际意义,发展学生应用数学知识的意识能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生的语言表达能力，通过合作学习调动学生学习的积极性，增强学习数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点：含有负因数的乘法.
三、教学过程
创设情境
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总的变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为:
3+3+3+3=3×4=12(厘米)
乙水库的水位变化量为:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=___(厘米)
思考
观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3=9
3×2=6
3×1=3
3×0=0
随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(-1)=___
3×(-2)=___
3×(-3)=___
观察下面的算式，你又能发现什么规律吗？
3×3=9
2×3=6
1×3=3
0×3=0
随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-1)×3=___
(-2)×3=___
(-3)×3=___
3×3=9
3×3=9
3×2=6
2×3=6
3×1=3
1×3=3
3×(-1)=-3
(-1)×3=-3
3×(-2)=-6
(-2)×3=-6
3×(-3)=-9
(-3)×3=-9
从符号和绝对值两个角度观察以上算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数.
积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
思考
利用刚才归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律吗？
(-3)×3=____
(-3)×2=____
(-3)×1=____
(-3)×0=____
随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3.
按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
(-3)×(-1)=___
(-3)×(-2)=___
(-3)×(-3)=___
可归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
例如，(-5)×(-3)，……………同号两数相乘
(-5)×(-3)=+(
)，………………得正
5×3=15，………………把绝对值相乘
所以，(-5)×(-3)=15.
又如，(-7)×4，……………_______________
(-7)×4=-(
)，……_______________
7×4=28，……………______________
所以，(-7)×4=____
有理数相乘，可以先确定积的_______，再确定积的________.
例1
计算：
(1)
(-3)×9
(2)
8×(-1)
(3)
(-)×(-2)
解：(1)
(-3)×9=-27
(2)
8×(-1)=-8
(3)
(-)×(-2)=1
要得到一个数的相反数，只要将它乘-1.
(-)×(-2)=1，我们说-和-2互为倒数.
一般地，在有理数中仍然有：
乘积为1的两个数互为倒数.
数a(a≠0)的倒数是_____.
想一想
倒数和相反数有什么异同？
相同点：它们都是成对出现的.
不同点：①互为相反数的两个数和为0；互为倒数的两个数积为1.
②正数的相反数是负数，正数的倒数是正数；
负数的相反数是正数，负数的倒数是负数；
零的相反数是零，零没有倒数.
例2
用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高
1
km气温的变化量为-6℃，攀登
3
km后，气温有什么变化？
解：(-6)×3=-18
答：气温下降18℃.
练习
1.计算：
(1)
6×(-9)=______
(2)
(-4)×6=______
(3)
(-6)×(-1)=_____
(4)
(-6)×0=____
(5)
×(-)=_____
(6)
(-)×=____
2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：(-5)×60=-300(元)，即销售额减少300元.
3.写出下列各数的倒数：
1，-1，，-，5，-5，，-.
解：倒数分别是：1，-1，3，-3，，-，，-.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容，它与有理数的加法运算一样，也是建立在小学算术运算的基础上.
“有理数乘法”的教学，在性质上属于定义教学，历来是一个难点课题，教学时应略举简单的事例，尽早出现法则，然后用较多的时间去练法则，背法则.
本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下，最大限度地使教学的设计过程面向全体学生，充分照顾不同层次的学生，使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
有理数的乘法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律；2.能应用运算律使运算简便.
(二)过程与方法：使学生在合作交流中对运算定律的认识由感性认识逐步发展到理性认识，合理构建知识.
(三)情感态度与价值观：培养学生分析、推理能力，培养学生探索规律的欲望和学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律.
难点：灵活运用乘法的运算律简化运算.
三、教学过程
复习巩固
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
口算：
(1)
-2×3
(2)
3×5
(3)
2.5×(-2)
(4)
(-2.5)×(-2)
(5)
-1.37×0
(6)
-1×(-1)
(7)
-5×6
(8)
-8×(-2)
思考
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(-5)
___
2×3×(-4)×(-5)
___
2×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)×(-6)
___
几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
归纳
几个不是0的数相乘，当负因数的个数是_____时，积是正数；当负因数的个数是_____时，积是负数.
例3
计算：
(1)
(-3)××(-)×(-)
(2)
(-5)×6×(-)×
解：(1)
(-3)××(-)×(-)=-3×××=-
(2)
(-5)×6×(-)×=5×6××=6
多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
多个不是0的数相乘，先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值.
思考
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由.
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
-3.5×0×213×(-13.5)
-16×(-23.6)×1.58×0×6
5×(-3.1)×(-2.8)×0.65×0
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
练习
1.口算：(1)
(-2)×3×4×(-1)
(2)
(-5)×(-3)×4×(-2)
(3)
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
(4)
(-3)×(-3)×(-3)×(-3)
2.计算：
(1)
(-5)×8×(-7)×(-0.25)
(2)
(-)×××(-)
(3)
(-1)×(-)×××(-)×0×(-1)
解：(1)
原式=-5×8×7×0.25=-70
(2)
原式=×××=
(3)
原式=0
观察归纳
5×(-6)=____，(-6)×5=____
即5×(-6)=(-6)×5
[3×(-4)]×(-5)=____________=____，3×[(-4)×(-5)]=____________=____
即[3×(-4)]×(-5)=
3×[(-4)×(-5)]
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
乘法交换律：ab=ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
a×b也可以写为a·b或ab.
当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略.
5×[3+(-7)]=___________=_____，5×3+5×(-7)=__________=_____
即5×[3+(-7)]=
5×3+5×(-7)
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
分配律：a(b+c)=
ab+ac
例4
用两种方法计算：(+-)×12
解法1：原式=(+-)×12=-×1=-1
解法2：原式=×12+×12-×12=3+2-6=-1
思考
比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？
练习
计算：(1)
(-85)×(-25)×(-4)
(2)
(-)×30
(3)
(-)×15×(-1)
(4)
(-)×(-)+(-)×(+)
解：(1)
原式=-85×(25×4)=-85×100=-8500
(2)
原式=×30-×30=27-2=25
(3)
原式=××15=1×15=15
(4)
原式=(-)×(-+)=(-)×5=-6
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导学”是教学的重点.
因此，在本节课的教学中，不要直接将结论告诉学生，而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.
学生经历探索知识的过程，最后总结得出有理数乘法的运算律.
整个教学过程要让学生积极参与，独立思考和合作探究相结合，教师适当引导，以达到预期的教学效果.
有理数的除法
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握有理数除法的计算法则，并能够进行正确的计算.
(二)过程与方法：通过观察、归纳、概括以及运算的过程，提析问题和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：在解决问题的过程中，体会数学与生活的联系，提高对数学的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：正确应用法则进行有理数的除法运算.
难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商.
三、教学过程
知识回顾
倒数的定义你还记得吗？
乘积是1的两个数互为倒数.
你能很快地说出下列各数的倒数吗？
情境一：
小明从家里到学校，每分钟走70米，共走了20分钟，问小明家离学校有多远？
70×20=1400(米)
放学后，小明仍然以每分钟70米的速度回家，应该走多少分钟才会到家？
1400÷70=20(分)
情境二：
经统计，某商场一年共亏损3.6万元，那么该商场平均每月亏损多少万元？
规定盈利为正，亏损为负.
则列式为：(-3.6)÷12=
？(万元)
这个式子应该怎样计算呢？
问题解决
怎样计算8÷(-4)呢？
因为
___×(-4)=8
所以
8÷(-4)=___ …………①
另一方面，我们有
8×(
)=-2
…………②
于是有
8÷(-4)=8×(-
)
………③
③式表明，一个数除以-4可以转化为乘-来进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-.
-6÷2=____，-6×=____；-12÷(-3)=____，-12×(-)=____；
10÷(-5)=____，10×(-)=____.
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？
有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a÷b＝a·
(b≠0)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例5
计算：
(1)
(-36)÷9
(2)
(-)÷(-)
解：(1)
原式=-(36÷9)=-4
(2)
原式=(-)×(-)=
练习
计算：
(1)
(-18)÷6=____
(2)
(-63)÷(-7)=____
(3)
1÷(-9)=____
(4)
0÷(-8)=____
例6
化简分数：
(1)
(2)
解：(1)
原式=(-12)÷3=-4；(2)
原式=(-45)÷(-12)=45÷12=.
除法可以写成几种不同的形式.例如，8÷2，也可写成，还可以写成8:2.因此，化简或8:2，都可以利用除法.
或解：(1)
原式=-=-4；(2)
原式==.
例7
计算：
(1)
(-125)÷(-5)
(2)
-2.5÷×(-)
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.
乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.
解：(1)
原式=(125+)×=125×+×=25+=25
(2)
原式=××=1
练习
1.化简：
(1)
=____
(2)
=____
(3)
=____
2.计算：
(1)
(-36)÷9
(2)
(-12)÷(-4)÷(-1)
(3)
(-)×(-)÷(-0.25)
解：(1)
原式=[(-36)+(-
)]×=(-36)×+(-)×=-4+(-)=-4
(2)
原式=-12××=-
(3)
原式=-××4=-
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用.
教学设计是可以采用课本的引例做为探究除法法则的导入.
让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象.
教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法：1.在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解；2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律解决问题.
有理数加减乘除混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：进一步掌握有理数混合运算的法则以及能合理地使用运算律简化运算.
(二)过程与方法：鼓励学生通过独立运算、教师点拨、小组合作交流按有理数混合运算法则和运算律进行混合运算.
(三)情感态度与价值观：注意培养学生的运算能力；锻炼学生克服困难的意识和细心的情感态度.
二、教学重点、难点
重点：能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除混合运算.
难点：准确地掌握有理数混合运算的法则和使用运算律简化运算以及运算中的符号问题.
三、教学过程
复习巩固
(1)加法：同号两数相加，取_____的符号，并把绝对值_____.
乘法：两数相乘，同号_____，并把绝对值_____.
(2)加法：绝对值不相等的异号两数相加，取___________加数的符号，并用_____的绝对值_____较小的绝对值.
乘法：两数相乘，异号_____，并把绝对值_____.
(3)加法：一个数同0相加，___________.
乘法：任何数与0相乘，___________.
(4)减法：减去一个数，等于_____这个数的_______.
除法：除以一个________的数，等于___这个数的_____.
有理数的混合运算，在没有括号的前提下，先做____，再算____，同级运算_______________，如果有括号的先做____________，和小学里的四则运算顺序相一致.
例8
计算：
(1)
-8+4÷(-2)
(2)
(-7)×(-5)-90÷(-15)
解：(1)
原式=-8+(-2)=-10
(2)
原式=35-(-6)=35+6=41
练习
计算：
(1)
6-(-12)÷(-3)
(2)
3×(-4)+(-28)÷7
(3)
(-48)÷8-(-25
)×(-6)
(4)
42×(-)+(-)÷(-0.25)
解：(1)原式=6-4=2
(2)原式=-12+(-4)=-16
(3)原式=-6-150=-156
(4)原式=-28+3=-25
例9
某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元.
这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数.
公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
计算器
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多.
例如，可以用计算器计算例9中的
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
如果计算器带符号键，只需按键
就可以得到答案3.7.
不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明.
练习
用计算器计算：
(1)
357+(-154)+26+(-212)=_____________
(2)
-5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3)=_____________
(3)
26×(-41)+(-35)×(-17)=_____________
(4)
1.252÷(-44)-(-356)÷(-0.196)≈_____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算.
运算顺序“先乘除后加减”学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.
在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯.
有理数的乘方
一、教学目标
(一)知识与技能：让学生理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；能正确进行有理数的乘方运算.
(二)过程与方法：在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步体验，培养学生观察，分析，归纳，概括的能力；经历从乘法到乘方的过程，从中感受转化的数学思想.
(三)情感态度与价值观：让学生通过观察，推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学生学好数学的自信心，让学生经历知识拓展的过程，培养学生的探究能力与动手操作能力，体会与他人合作交流的重要性.
二、教学重点、难点
重点：正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点：准确理解底数、指数和幂三个概念，并能进行求幂的运算.
三、教学过程
创设情境
某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个.
经过5时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
边长为2cm的正方形的面积是2×2=4(cm2)；棱长为2cm的正方体的体积2×2×2=8(cm3).
2×2记作22，读作“2的平方”(或“2的二次方”)；
2×2×2记作23，读作“2的立方”(或“2的三次方”).
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记作_____，读作___________.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作_____，读作___________.
(-)×(
-)×(-)×(-)×(-)记作______，读作___________.
(-2)4与-24一样吗？为什么？
负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2)4；-(2×2×2×2)记作-24.(-2)4与-24是不相同的.
与一样吗？为什么？
×××记作；记作.
与是不相同的.
一般地，n个相同的因数
a
相乘，即a·a·…·a，记作
an，读作“a
的
n
次方”.
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
例如，在94中，底数是____，指数是____，94读作9的4次方，或9的4次幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方.
例如，5就是51.指数1通常省略不写.
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
例1
计算：(1)
(-4)3
(2)
(-2)4
(3)
解：(1)
(-4)3
=(-4)×(-4)×(-4)=-64
(2)
(-2)4
=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16
(3)
==
思考
从例1，你发现负数的幂的正负有什么规律？
当指数是_____数时，负数的幂是_____数；当指数是_____数时，负数的幂是_____数.
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例2
用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解：用带符号键的计算器.
显示：(-8)^5
-32768.
显示：(-3)^6
729.
所以(-8)5=-32768，和(-3)6=729.
练习
1.(1)
(-7)8中，底数是____、指数是____.
(2)
(-10)8中-10叫做____数，8叫做____数，幂是____数.
2.计算：
(1)
(-1)10
=______
(2)
(-1)7
=______
(3)
83
=______
(4)
(-5)3
=______
(5)
0.13
=______
(6)
=______
(7)
(-10)4
=______
(8)
(-10)5
=________
3.用计算器计算：
(1)
(-11)6=________
(2)
167=____________
(3)
8.43=__________
(4)
(-5.6)3=__________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节教学以细包分裂引入，提出问题，引导学生积极思考，并归结出答案，由答案的表现形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望.
在教师的启发诱导下自然过度到新知识的学习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握.
有理数的混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：理解并熟练掌握有理数的混合运算的顺序，并会进行简单有理数的混合运算.
(二)过程与方法：经历有理数的混合运算的一般顺序的探究过程，从中锻炼学生的综合运算能力和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：通过小组合作，体验与他人合作的精神以及认识到学习数学的乐趣，增加学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：应用有理数的混合运算的法则进行运算.
难点：熟练并且正确的运用有理数混合运算法则进行运算.
三、教学过程
例3
计算：
(1)
2×(-3)3-4×(-3)+15
(2)
(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2)
思考
上述两个式子中，存在着哪几种运算？你认为应按怎样的顺序计算？
有理数混合运算法则:
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5)
=-8-54+4.5
=-57.5
例4
观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…；
①
0，6，-6,
18，-30，66，…；
②
-1，2，-4，
8，-16，32，…；
③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
解：(1)第①行数是-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，…
(2)对比①②两行中位置相对应的数，可以发现：第②行数是第①行相应的数加2，即
-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，…
对比①③两行中位置相对应的数，可以发现：第③行数是第①行相应的数的0.5倍，即
-2×0.5，(-2)2×0.5，(-2)3×0.5，(-2)4×0.5，…
(3)每行数中的第10个数的和是
(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×0.5
=1024+(1024+2)+1024×0.5
=1024+1026+512
=2562
练习
计算：
(1)
(-1)10×2+(-2)3÷4
(2)
(-5)3-3×(-)4
(3)
×(-)×÷
(4)
(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]
解：(1)
原式=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0
(2)
原式=-125-3×=-125-=-125
(3)
原式=×(-)××=-
(4)
原式=10000+[16-(3+9)×2]
=10000+(16-12×2)
=10000+(16-24)
=10000+(-8)
=9992
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础，培养学生正确迅速的运算能力，是数学教学中的一项重要目标.
在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学生进行混合运算，首先应注意的就是运算顺序的问题.
小组讨论有理数运算法则后，教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定，特别是加入乘方以后，学生对乘方运算不熟悉，容易算成加法或底数与指数相乘.
学生在运算符号多的时候容易出错，需要进行针对性讲解.
科学记数法
一、教学目标
(一)知识与技能：借助身边熟悉的事物体会大数，并会用科学计数法表示大数.
(二)过程与方法：经历探索科学计数法表示数的过程，培养观察能力和运算能力.
(三)情感态度与价值观：体验数学符号是有效描述现实世界的重要手段，了解数学对促进社会进步和人类理性精神的作用.
二、教学重点、难点
重点：会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点：正确使用科学记数法表示数.
三、教学过程
创设情境
天上的星星知多少？
2003年7月22日在悉尼举行的国际天文学联合会大会上，天文学家指出整个可见宇宙空间大约有70000000000000000000000颗恒星，这个数字比地球上所有沙漠和海滩上的沙砾总和数量还要多.
现实中，我们会遇到一些比较大的数.
例如：太阳的半径，光的速度，目前世界人口等.
读、写这样大的数有一定的困难.
那么可以用怎样的方法来表示这些大数，使它易读、易记、易判断大小还便于计算呢？仔细观察，说说它们有什么特点.
70000000000000000000000
300000000
696000
7600000000
仔细观察
102=____，103=_____，104=______，105=_______，….
你观察到什么规律？
1.10的n次幂就等于10…0(在1后面有n个0)；
2.运算结果的位数比指数大1.
科学记数法
把下列各数写成10的幂的形式.
(1)1000=____；
(2)1000000=____；
(3)100000000=____；
(4)10000000000=____；
(5)10000000000000=____.
因此我们可以用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作“5.67乘10的8次方(幂)”.
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数.
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，使用的是科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似表示.
例如-567000000=-5.67×108
学以致用
用科学记数法表示下列各数：
70000000000000000000000=__________；300000000=__________；
696000=__________；7600000000=__________.
例5
用科学记数法表示下列各数：
1000000，57000000，-123000000000.
解：1000000=106，57000000=5.7×107，-123000000000=-1.23×1011.
思考
上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？
右边10的指数等于左边整数的位数减1.
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是_____.
练习
1.用科学记数法写出下列各数：
10000，800000，56000000，-7400000.
解：10000=104，
800000=8×105，
56000000=5.6×107，
-7400000=-7.4×106.
2.下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
1×107，4×103，
8.5×106，
7.04×105，
-3.96×104.
解：1×107=10000000，
4×103=4000，
8.5×106=8500000，
7.04×105=704000，-3.96×104=-39600.
3.中国的陆地面积约为9600000km2，领水面积约为370000km2，用科学记数法表示上述两个数字.
解：9600000=9.6×106，370000=3.7×105.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动.
把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
近似数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解近似数的概念；2.会按精确度要求取近似数；3.给一个近似数，会说出它精确到哪一位.
(二)过程与方法：通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力.
(三)情感态度与价值观：通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情.
二、教学重点、难点
重点：了解近似数的概念，并按要求取近似数.
难点：按给定的精确度求一个数的近似数.
三、教学过程
创设情境
下面有一段在博物馆的对话
管理员：小姐，这个化石有800002年了.
参观者：你怎么知道得这么精确？
管理员：两年前，有位考古学家参观过这里，他说这个化石有80万年了.现在，两年过去了，所以就是800002年了.
管理员的推断对吗？说说你的理由？
问题
问题①：我们班在座的有_____位同学，其中男生有_____人,
女生有_____人.
问题②：你的身高是______米，你的体重是______千克.
大家想一想，上述的几个数据有什么不同？
准确数、近似数
对于参加同一个会议的人数，有两个报道.
一个报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人.”这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数.
另一报道说：“约有五百人参加了今天的会议.”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数.
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数.
例如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300km，圆周率π约为3.14，这里的数都是近似数.
练习1
1.判断下列各数是准确数还是近似数.
(1)
地球到太阳的距离大约是1500万千米；
(2)
一个星期有7天；
(3)
地球的表面积为5.1×108平方千米；
(4)
第六次人口普查时，中国人口约13.4亿；
(5)
昨天小明到书店买了10本书.
2.请你举例说明生活中的准确数与近似数.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.例如，前面的五百是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13.
按四舍五入法对圆周率π(3.1415926……)取近似数时，有
π≈3
(精确到个位)
π≈3.1
(精确到0.1，或叫做精确到十分位)
π≈____
(精确到0.01，或叫做精确到百分位)
π≈3.142
(精确到_______，或叫做精确到________)
π≈3.1416
(精确到________，或叫做精确到________)
……
例6
按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)
0.0158
(精确到0.001)
(2)
304.35
(精确到个位)
(3)
1.804
(精确到0.1)
(4)
1.804
(精确到0.01)
解：(1)
0.0158≈0.016
(2)
304.35≈304
(3)
1.804≈1.8
(4)
1.804≈1.80
这里的1.8和1.80的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把1.80后面的0去掉吗？
有效数字
对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
例如，近似数0.025有两个有效数字：2，5；
近似数1500有___个有效数字：_____________；
近似数0.30有___个有效数字：_____________；
近似数0.103有___个有效数字：____________.
对于用科学记数法表示的近似数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字.
例如，近似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4；
近似数3.2×104有___个有效数字：__________.
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求.
一般说，对于同一个数取近似值时，有效数字个数越多，精确程度越高.
练习2
用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)
0.00356
(精确到万分位)
(2)
61.235
(精确到个位)
(3)
1.8935
(精确到0.001)
(4)
0.0571
(精确到0.1)
解：(1)
0.00356≈0.0036
(2)
61.235≈61
(3)
1.8935≈1.894
(4)
0.0571≈0.1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动.
把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
第1章有理数小结与复习
一、教学目标
1.复习有理数的意义及其有关概念，其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比
较、相反数与绝对值等，通过复习使学生系统掌握有理数这一章的有关基本概念；
2.会运用有理数的运算法则、运算律，熟练进行有理数的运算；
3.用四舍五入法，按要求(精确度)确定运算结果；
4.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
二、教学重点、难点
重点：1.掌握有理数的概念；2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算；3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识；4.理解科学记数法，近似数.
难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题.
三、教学过程
知识梳理
一、正数和负数
1.小学学过的除0以外的数都是正数.在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.
2.用正、负数表示具有相反意义的量.
二、有理数
1.有理数的概念
整数和分数统称为有理数.
2.有理数的分类
(1)按定义分类
(2)按符号分类
3.数轴
(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
(2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
4.相反数
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
5.绝对值
(1)一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
6.有理数大小的比较
(1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.
(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.
三、有理数的运算
1.有理数的加法
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
2.有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3.有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0.
4.有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
5.有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
6.有理数的混合运算
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
四、科学记数法
把大于10的数记成a×10n的形式，其中
1.1≤a＜10
2.n为原数的整数位减去1
五、近似数
1.按照要求取近似数
四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位.
2.由近似数判断精确度
考点讲练
考点一
正、负数的意义
例1
如果＋4米表示向东走4米，那么向西走2米记作_____.
针对训练
1.下列语句中，含有相反意义的两个量是(
)
A.盈利2千元和收入2千元
B.上升8米和前进8米
C.存入2千元和取出2千元
D.超过2厘米和上涨2厘米
2.水位下降9cm记作－9cm，那么水位上升8cm记作_______.
考点二
正、负数的概念
例2
判断:
①不带“－”号的数都是正数……………………(
)
②如果a是正数，那么－a一定是负数…………(
)
③不存在既不是正数，也不是负数的数…………(
)
④一个有理数不是正数就是负数…………………(
)
⑤0℃表示没有温度…………………………………(
)
方法总结
0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.
0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.
考点三
有理数的分类
例3
将下列各数分别填入相应的圈内：
3.5，－3.5，0，|－2|，－2，，，0.
针对训练
3.在2.3，0，＋3，－6，，－0.9中，负分数有____个.
考点四
相反数、倒数、绝对值
例4
填表：
考点五
数轴、有理数比较大小
例5
请将下面的数在数轴上表示出来，并将它们用“＞”连接起来.
3.5，－3.5，0，－2，.
解：表示如下
3.5＞＞0＞-2＞-3.5
针对训练
4.在数轴上，点A所表示的数为－2，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是_______.
5.某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是－4℃、5℃、6℃、－8℃，当时这四个城市中，气温最低的是(
)
A.北京
B.上海
C.重庆
D.宁夏
考点六
科学记数法
例6
将数2
560
000
000km用科学记数法表示____________m.
针对训练
6.某城市常住人口总数为563.8万人，用科学记数法表示为____________人.
考点七
近似数
例7
2017年我国全年出境旅游人数达1.27亿人次.这里的1.27亿精确到______位.
针对训练
7.由四舍五入法得到的近似数2.96×105精确到____位，如果精确到万位可写成_________.
考点八
有理数的运算
例8
计算
(1)
解：原式=+3-3+11-=(-3)+(3-)+11=(-3)+3+11=11
(2)
解：原式=-×(-36)+×(-36)-×(-36)+×(-36)
=21+(-27)-(-30)+(-10)
=21-27+30-10
=14
(3)
解：原式=-2÷÷=-2×12×12=288
(4)
解：原式=-16÷()2+×(-)-(-)2
=-16×+(-)-
=---
=---
=-
针对训练
8.计算
(1)
－3＋8－7－15
(2)
23－6×(－3)＋2×(－4)
(3)
(4)
参考答案：(1)
-17
(2)
33
(3)
-3.3
(4)
-
整式(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.初步认识用字母表示数的意义，并能用字母表示简单的运算定律和计算公式；2.使学生掌握含有字母的乘法算式的简便写法及平方的意义及读写法，会根据计算公式用代入法求值.
(二)过程与方法：在具体情境中经历用字母表示数的过程，培养学生的抽象概括能力，感受从具体到抽象的归纳思想，发展学生的数感与符号化思想.
(三)情感态度与价值观：让学生在自主探索、合作交流中获得成功体验，培养学生的团结协作精神.
二、教学重点、难点
重点：理解用字母表示数的意义和作用.
难点：理解含有字母的式子的意义.
三、教学过程
创设情境
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2声跳下水；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水；4只青蛙__张嘴，__只眼睛__条腿，扑通__声跳下水；……a只青蛙__张嘴，__只眼睛__条腿，扑通__声跳下水.
例1
(1)苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
(2)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
(3)一个长方体包装盒的长和宽都是a
cm，高是h
cm，用式子表示它的体积；
(4)用式子表示数n的相反数.
解：(1)现价是每千克0.8p元；(2)去年的产量是mn件；(3)由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体包装盒的体积是a·a·h
cm3，即a2h
cm3；(4)数n的相反数是-n.
例2
(1)一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是v
km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
(2)买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
(3)如左图(图中长度单位：cm)，用式子表示三角尺的面积；
(4)如右图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m)，用式子表示这所住宅的建筑面积.
解：(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h，逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积(单位：cm2)是ab-πr2.
(4)这所住宅的建筑面积(单位：m2)是x2+2x+18.
归纳
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言.
要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次，明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式.
列式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写.如：a×b
通常写作a·b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：3×a通常写作a.
4.式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写.如：y÷3通常写作:
.
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把式子括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
练习
1.某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
____________
2.圆柱体的底面半径、高分别是r，h，用式子表示圆柱体的体积.
____________
3.有两片棉田，一片有m
hm2(公顷，1
hm2=104
m2)，平均每公顷产棉花a
kg；另一片有n
hm2，平均每公顷产棉花b
kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
____________
4.在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a
mm，小正方形的边长是b
mm，用式子表示剩余部分的面积.
____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数，初步理解用字母表示数的意义及目的，可以先用数，后用字母来表示.
让学生循序渐进的学习本部分内容，让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感.
在数学教学中，让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题.
整式(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会列单项式表示简单的数量关系，理解单项式所表示的实际含义；2.理解单项式的概念，掌握单项式系数和次数的概念；3.能准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
(二)过程与方法：1.初步培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力；2.通过质疑、讨论、释疑，经历概念的形成过程，养成自主探索和合作交流的能力.
(三)情感态度与价值观：1.养成善于疑质，喜欢提问，勇于探索的学习精神；2.通过合作探究，获得数学知识，体验成功的喜悦.
二、教学重点、难点
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，能迅速地确定一个单项式的系数和次数.
难点：概念形成的过程.
三、教学过程
思考
观察式子100t，0.8p，mn，a2h，-n，这些式子有什么特点？
单项式定义：
表示数或字母的积的式子叫做单项式.
单独的一个数或一个字母也是单项式.
例如，5，0.2，a，b.
单项式的系数：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
例如，单项式100t，a2h，-n的系数分别是100，1，-1.
注意：
①单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面；
②当系数为1或-1时，这个“1”省略不写.
单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
例如，在单项式100t中，字母
t
的指数是1，100t的次数是1；在单项式
a2h
中，字母
a
与
h
的指数的和是3，a2h
的次数是3.
对于单独一个非零的数，规定它的次数为0.
如，单项式15中的次数是0.
例3
用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)每包书有12册，n
包书有_____册；
(2)底边长为
a
cm，高为
h
cm的三角形的面积是_____cm2；
(3)棱长为
a
cm的正方体的体积是____cm3；
(4)一台电视机原价
b
元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为______元；
(5)一个长方形的长是0.9
m，宽是
b
m，这个长方形的面积是______m2.
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义.
例如，在例3的第(4)(5)小题中，0.9b
既可以表示电视机的售价，又可以表示长方形的面积，当然它还可以表示更多的含义，你能赋予0.9b
一个含义吗？
练习
1.填表：
2.填空：
(1)全校学生总数是
x
，其中女生占总数48%，则女生人数是_____，男生人数是_____.
(2)一辆长途汽车从杨柳村出发，3h后到达距出发地
s
km的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是____km/h.
(3)产量由
m
kg增长10%，就达到_______kg.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习.
为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫.
整式(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解多项式、整式的概念；2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3.能用多项式表示实际问题中的数量关系.
(二)过程与方法：让学生经历观察、分析、交流，概括出有关概念，发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力.
(三)情感态度与价值观：1.鼓励学生积极参与数学活动，独立思考形成自己的见解，并能与他人合作交流，逐步养成反思与质疑的习惯；2.让学生在活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信.
二、教学重点、难点
重点：掌握多项式及整式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念.
难点：确定多项式的次数和项数并和单项式区分开来.
三、教学过程
复习巩固
(1)对于单项式，我们学习了哪些内容？
(2)请举例说明单项式、单项式的系数和次数的概念.
思考
观察式子v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，ab-πr2，x2+2x+18，这些式子有什么特点？
它们都可以看作几个单项式的和.例如，v-2.5可以看作单项式v与-2.5的和；x2+2x+18可以看作单项式x2，2x和18的和.
多项式定义：
像这样，几个单项式的和叫做多项式.
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
例如，多项式v-2.5的项是v与-2.5，其中-2.5是常数项；多项式x2+2x+18的项是x2，2x和18，其中18是常数项.
多项式的次数：
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.例如，多项式v-2.5中次数最高的项是一次项v，这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个多项式的次数是2.
v+2.5，3x+5y+2z，ab-πr2的项分别是什么？次数分别是多少？
整式
单项式与多项式统称整式.例如，前面见到的单项式100t，0.8p，mn，a2h，-n，以及多项式v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，ab-πr2，x2+2x+18等都是整式.
例4
如图所示，用式子表示圆环的面积.当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积(π取3.14).
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2-πr2.
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积(单位：cm2)是
πR2-πr2=3.14×152-3.14×102
=392.5
这个圆环的面积是392.5cm2.
练习
1.填空：
(1)a、b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l=_____，面积S=___，当a=2cm，b=3cm时，l=___cm，S=___
cm2.
(2)a、b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积S=__________，当a=2，b=4，h=5时，S=____.
2.用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项：
(1)每袋大米5kg，x袋大米(
)kg；
(2)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是(
)m2；
(3)体重由xkg增加2kg后是(
)kg.
解：(1)5x，单项式，次数是1；
(2)x2+3x+6，多项式，次数是2，项是x2，3x，6；
(3)x+2，多项式，次数是1，项是x，2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快多数的学生都可以理解、掌握.虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了.
事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约.
整式的加减(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解多项式中同类项的概念，会识别同类项，能利用合并同类项法则来化简整式.
(二)过程与方法：1.在具体的情景中，通过探究、交流、反思等活动获得合并同类项的法则，体验探求规律的思想方法；2.并熟练运用法则进行合并同类项的运算，体验化繁为简的数学思想.
(三)情感态度与价值观：1.在积极参与教学活动，获得成功的体验；2.培养团结协作，严谨求实的学习作风和锲而不舍，勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
重点：同类项的概念和合并同类项的法则.
难点：找出同类项并正确地合并.
三、教学过程
复习巩固
1.银行职员数钞票时，把100元票面、50元票面、20元票面、10元票面…的人民币分类来数，在多项式中是否也有类似的情形呢？
2.下图中有两个三角形，两个矩形，你能用式子表示这四个图形的面积和吗？
四个图形面积和：2a+ab+3a+2ab=___________.
探究
(1)
运用运算律计算：
100×2＋252×2=______________；
100×(-2)＋252×(-2)=________________；
(2)
根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
100t＋252t=____________.
在(1)中，我们知道，根据分配律可得
100×2＋252×2=(100＋252)×2=352×2，
100×(-2)＋252×(-2)=(100＋252)×(-2)=352×(-2).
在(2)中，式子100t＋252t表示100t与252t两项的和.它与(1)中的两个式子有相同的结构，并且字母t代表的是一个因(乘)数，因此根据分配律也应该有
100t＋252t=(100＋252)t=352t.
填空：
(1)
100t－252t=(
)t；
(2)
3x2＋2x2=(
)x2；
(3)
3ab2－4ab2=(
)ab2.
上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律吗？
对于上面的(1)(2)(3)，利用分配律可得
100t－252t=(100－252)t=-152t
3x2＋2x2=(3＋2)x2=5x2
3ab2－4ab2=(3－4)ab2=-ab2
注意分配律的使用：100t－252t=[100＋(－252)]t=(100－252)t.
观察
多项式100t－252t的项100t和-252t，它们含有相同的字母t，并且t的指数都是1；
多项式3x2＋2x2的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；
多项式3ab2－4ab2的项3ab2和-4ab2，它们含有相同的字母a、b，并且a的指数都是1次，b的指数都是2次.
同类项：
像100t与-252t，3x2与2x2，3ab2与-4ab2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
几个常数项也是同类项.
例如5与-3.
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如，
4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2
=4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2
(交换律)
=(4x2－8x2)＋(2x＋3x)＋(7－2)
(结合律)
=(4－8)x2＋(2＋3)x＋(7－2)
(分配律)
=－4x2＋5x＋5
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列，如－4x2＋5x＋5也可以写成5＋5x－4x2.
合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
例1
合并下列各式的同类项：
(1)
xy2－xy2；
(2)
-3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)
4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
解：(1)
xy2－xy2=(1－)xy2=xy2；
(2)
-3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2=(-3＋2)x2y＋(3－2)xy2=-x2y＋xy2；
(3)
4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2
=(4a2－4a2)＋(3b2－4b2)＋2ab=(4－4)a2＋(3－4)b2＋2ab=－b2＋2ab.
例2
(1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x=；
(2)求多项式3a＋abc－c22－3a＋c2的值，其中a=-，b=2，c=-3.
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.
解：(1)
2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2=(2＋1－3)x2＋(－5＋4)x－2=-x－2
当x=时，原式=-－2=-.
(2)
3a＋abc－c22－3a＋c2=(3－3)a＋abc＋(-＋)c2==abc
当a=-时，b=2，c=-3时，原式=(-)×2×(-3)=1.
请你把字母的值直接代入原式求值.与例2的运算过程比较，哪种方法更简便？
例3
(1)水库水位第一天连续下降了ah，每小时平均下降2cm；第二天连续上升ah，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位量记为正.第一天水位的变化量为-2a
cm，第二天水位的变化量为0.5a
cm.
两天水位的总变化量(单位：cm)是
-2a＋0.5a=(-2＋0.5)a=-1.5a.
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a
cm.
(2)把进货的数量记为正，售出的数量记为负.进货后这个商店共有大米(单位：kg)
5x－3x＋4x=(5－3＋4)x=6x.
练习
1.计算：
(1)
12x－20x；
(2)
x＋7x－5x；
(3)
-5a＋0.3a－2.7a；
(4)
y－y＋2y；
(5)
-6ab＋ba＋8ab；
(6)
10y2－0.5y2.
解：(1)
12x－20x=(12－20)x=-8x；
(2)
x＋7x－5x=(1＋7－5)x=3x；
(3)
-5a＋0.3a－2.7a=(-5＋0.3－2.7)a=-7.4a；
(4)
y－y＋2y=(－＋2)y=y；
(5)
-6ab＋ba＋8ab=(-6＋1＋8)ab=3ab；
(6)
10y2－0.5y2=(10－0.5)y2=9.5y2.
2.求下列各式的值：
(1)
3a＋2b－5a－b，其中a=-2，b=1；
(2)
3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1，其中x=-3.
解：(1)
3a＋2b－5a－b=(3－5)a＋(2－1)b=-2a＋b
当a=-2，b=1时，原式=-2×(-2)＋1=4＋1=5.
(2)
3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1=3x－3x－4x2＋2x2＋7＋1=(3－3)x＋(-4＋2)x2＋8=-2x2+8
当x=-3时，原式=-2×(-3)2＋8=-18＋8=-10.
3.(1)x的4倍与x的5倍的和是多少？
(2)x的3倍比x的一半大多少？
解：(1)4x＋5x=9x；(2)3x－x=x.
4.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积=πR2－πR2=πR2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数学教学要紧密联系学生的生活实际，本节课从学生已有的知识和经验出发，从实际问题入手，引出合并同类项的概念.
通过独立思考、讨论交流等方式归纳出合并同类项的法则，通过例题教学、练习等方式巩固相关知识.
教学中应激发学生主动参与的学习动机，培养学生思维的灵活性.
整式的加减(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简.
(二)过程与方法：经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在探究活动中，体验类比思想价值观.
二、教学重点、难点
重点：去括号法则.
难点：括号前面是“一”时，去括号后的符号变化.
三、教学过程
创设情境
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要
u
h，那么它通过非冻土地段的时间是(u－0.5)h.
于是，冻土地段的路程为100u
km，非冻土地段的路程是120(u－0.5)km.
因
此，这段铁路的全长(单位：km)是
100u＋120(u－0.5)
①
冻土地段与非冻土地段相差(单位：km)
100u－120(u－0.5)
②
思考
100u＋120(u－0.5)
①
100u－120(u－0.5)
②
上面的式子①②都带有括号.
类比数的运算，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得
100u＋120(u－0