合肥包河区实验学校2021-2022学年九上月考数学试卷（原卷）
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1、与y＝2（x-1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2
B．y＝（2x+1）2
C．y＝（x-1）2
D．y＝2x2
2、下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是（
）
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧y随x的增大而减小
3、已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（
）
A.x<
1
B.x>1
C.x>
-2
D.-2<
x<
4
4、将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是（
）
A.y=（x-2）2-1
B.y=（x-2）2+1
C.y=（x-2）
2+1
D.y=（x-2）2-1
5、若关于x的函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（
）
A.0
B.0或2
C.2或-2
D.0或2或-2
6、下列关于二次函数y=ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
7、已知二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m-1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜
B．
C．m＞-且m≠0
D．m≤且m≠0
8、如图，关于x的二次函数y＝x2-x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，
y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a-1）x+m的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9、若关于x的二次函数y=x2-ax+1，当x≤-2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程
有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
10、新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=x2-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）A．-2
B．14
C．-2或2
D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11、已知抛物线y=x2-3x-2020与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2-3a-2021的值为
-1
．
12、如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围
成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：
（并写出自变量的取值范围）
第12题图
第13题图
13、如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2-mx+c＞n的解集是
．
14、在平面直角坐标系中，关于x的函数y=-x+3a+2和y=x2-ax的图象相交于点P、Q。
（1）若点P的横坐标为1，则a=
。
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，
且AB=0C，求二次函数的表达式。
16、已知二次函数y＝x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知关于x的函数y=2x2-（3-k）x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
18、已知抛物线y=x2+4x+k-1。
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值。
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
20、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，
其中S1=S2=S3=S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE=a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；
（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．
六、（本题满分12分）
21、如图所示，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过点A（-1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当
m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
七、（本题满分12分）
22、某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
八、（本题满分14分）
23、已知抛物线y=ax2-2x+1（a≠0）的对称轴为直线x=1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，
并说明理由；
（3）设直线y=m（m＞0）与抛物线y=ax2-2x+1交于点A、B，与抛物线y=3（x-1）2交于点C，D，求线段AB与线
段CD的长度之比．合肥包河区实验学校2021-2022学年九上月考数学试卷（解析版）
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1、与y＝2（x-1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2
B．y＝（2x+1）2
C．y＝（x-1）2
D．y＝2x2
【答案】D
【解析】在二次函数y＝2（x-1）2+3与y＝2x2中，a＝2．
故选：D．
2、下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是（
）
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】∵二次函数y=x2-x=（x-）2-，a=1，∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴值直线x=，故选项B错误；
当x=0时，y=0，即该函数图象过原点，故选项C正确；
在对称轴右侧y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：C．
3、已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（
）
A.x<
1
B.x>1
C.x>
-2
D.-2<
x<
4
【答案】A
【解析】y=x2-x-4=（x-2）2-，则当x＜2时，函数值y随x的增大而减小．
故选：A．
4、将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是（
）
A.y=（x-2）2-1
B.y=（x-2）2+1
C.y=（x-2）
2+1
D.y=（x-2）2-1
【答案】A
【解析】抛物线y=x2向右平移2个单位，得：y=（x-2）2；再向下平移1个单位，得：y=（x-2）2-1．
故选：A．
5、若关于x的函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（
）
A.0
B.0或2
C.2或-2
D.0或2或-2
【答案】D
【解析】分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2-4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选：D．
6、下列关于二次函数y=ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
【答案】C
【解析】A．抛物线的对称轴为直线x=＜0，则抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以A选项不符合题意；
B．因为△=（a+1）2-4a=（a-1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，所以B选项不符合题意；
C．因为抛物线的对称轴在y轴的左侧，开口向上，则当x＞0时，y随x的增大而增大，所以C选项符合题意；
D．因为△=（a-1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
则抛物线与坐标轴有2个或3个交点，所以D选项不符合题意．
故选：C．
7、已知二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m-1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜
B．
C．m＞-且m≠0
D．m≤且m≠0
【答案】C
【解析】∵原函数是二次函数，∴m≠0，∵二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m-1的图象与x轴有两个交点，
则△＝b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4m×（m-1）＞0，4m2+4m+1-4m2+4m＞0，8m+1＞0．∴m＞．
故选：C．
8、如图，关于x的二次函数y＝x2-x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，
y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a-1）x+m的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】把x＝a代入函数y＝x2-x+m，得y＝a2-a+m＝a（a-1）+m，
∵x＝a时，y＜0，即
a（a-1）+m＜0．由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，即a（a-1）＜0．
x＝a时，y＜0，∴a＞0，a-1＜0，∴一次函数y＝（a-1）x+m的图象过一二四象限，
故选：A．
9、若关于x的二次函数y=x2-ax+1，当x≤-2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程
有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【答案】B
【解析】∵二次函数y=x2-ax+1的对称轴为：x=-=，当x≤-2时，y随着x的增大而减小，∴≥-2，
∴a≥-4；方程两边同时乘（x-2）得：-1=2（x-2）+1-ax，解得：x=，∴＞0，且≠2，
∴a＜2且a≠1，∴-4≤a＜2且a≠1，∵a为整数，∴a=-4，-3，-2，-1，0．
故选：B．
10、新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=x2-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）A．-2
B．14
C．-2或2
D．2
【答案】C
【解析】二次函数的解析式为y=mx2+（2m+4）x+2m+4，根据题意得△=（2m+4）2-4m（2m+4）=0，
解得m1=-2，m2=2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11、已知抛物线y=x2-3x-2020与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2-3a-2021的值为
．
【答案】-1
【解析】∵抛物线y=x2-3x-2020与x轴的一个交点为（a，0），∴a2-3a-2020=0，∴a2-3a=2020，
∴a2-3a-2021=-1
故答案为-1．
12、如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围
成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：
（并写出自变量的取值范围）
【答案】s=-4x2+24x（0＜x＜6）
【解析】根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24-4x），则：s=（24-4x）x=-4x2+24x
由图可知：，所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s=-4x2+24x（0＜x＜6）．
13、如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2-mx+c＞n的解集是
．
【答案】-1＜x＜2
【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，∴ax2+c＞mx+n的解集是-1＜x＜2，∴ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2，
故答案为：-1＜x＜2．
14、在平面直角坐标系中，关于x的函数y=-x+3a+2和y=x2-ax的图象相交于点P、Q。
（1）若点P的横坐标为1，则a=
。
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是
【答案】（1）0；（2）a>
0或<
a<
0
【解析】（1）令-x+3a+2=x2-ax，把x=1代入，得-1+3a+2=1-a，解得a=0.
（2）函数y=x2-ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为（0，0）和（a，0）。
①当a>
0时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图1：此时当x=a时，y=-x+3a+2=-a+3a+2=2a+2>
0，
解得a>
-1，故a>
0；
图1
②当a<
0时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2：此时当x=0时，y=-x+3a+2=3a+2>
0，解得a>，
故<
a<
0，
:
综上，实数a的取值范围是a>
0或<
a<
0。
故答案为a>
0或
0.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，
且AB=0C，求二次函数的表达式。
【答案】
【解析】∵A（-1，0），B（4，0）∴AO=1，OB=4，AB=AO+OB=1+4=5，∴OC=5，即点C的坐标为（0，5），
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵二次函数图象过A，C，B三点，∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+5．
16、已知二次函数y＝x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【答案】
【解析】（1）∵a=＞0，∴抛物线开口向上，∵，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵当x=-1时，y=∴顶点坐标为（-1，）；
（2）∵抛物线开口向上且对称轴为x=-1，∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，当x≥-1时，y随x的增大而增大．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知关于x的函数y=2x2-（3-k）x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
【答案】
【解析】∵函数y=2x2-（3-k）x+k2-3k-10的图象经过原点，∴0=k2-3k-10，解得k1=-2，k2=5.
18、已知抛物线y=x2+4x+k-1。
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值。
【答案】
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+4x+k-1与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac=42-4×1×（k-1）=20-4k>
0.
解得k<
5，故k的取值范围为k<
5.
（2）根据题意，得，解得k=5.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】
【解析】（1）根据一次函数的定义，得：m2-m＝0；解得m＝0或m＝1；又∵m-1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0；解得m1≠0，m2≠1；∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
20、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，
其中S1=S2=S3=S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE=a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；
（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．
【答案】
【解析】（1）∵S1=S2=S3=S4，∴NC=2BH=2NN，设EG=b，则EF=4b，∵S2=S1，∴BE?b=a?4b，
∴BE=4a（0＜a＜5）；
（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD=5a+4a+4a+5a=18a，∴BC==45-9a，
∴y=5a（45-9a）=-45a2+225a=-45（a?）2+，∵-45＜0，∴当a=时，y有最大值，此时最大值为m2．
六、（本题满分12分）
21、如图所示，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过点A（-1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当
m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
【答案】
【解析】（1）A（-1，0），B（4，0）分别代入y=ax2+bx+4（a≠0），得，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）由抛物线的表达式y=-x2+3x+4得C（0，4），由B（4，0），C（0，4）得直线BC的表达式为y=-x+4，
设M（m，0），则D（m，-m2+3m+4），E（m，-m+4），∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m，∵OB=OC=4，OC⊥OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，又∵DM⊥x轴，∴∠DEF=∠BEM=45°，又∵DM⊥x轴，∴∠DEF=∠BEM=45°，
又∵DF⊥BC，∴DF=DE=（-m2+4m）=（m-2）2+2，∵＜0，
∴当m=2时，DF有最大值为2；
七、（本题满分12分）
22、某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】
【解析】（1）根据题意得：y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：y=-10x2+130x+2300=-10（x-6.5）2+2722.5，∵a=-10＜0，∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
八、（本题满分14分）
23、已知抛物线y=ax2-2x+1（a≠0）的对称轴为直线x=1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，
并说明理由；
（3）设直线y=m（m＞0）与抛物线y=ax2-2x+1交于点A、B，与抛物线y=3（x-1）2交于点C，D，求线段AB与线
段CD的长度之比．
【答案】
【解析】（1）根据题意可知，抛物线y=ax2-2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x===1，∴a=1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y=x2-2x+1=（x-1）2，∵a=1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1-x1＜2，0＜x2-1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，∴y1＞y2．
（3）联立y=m（m>
0）与y=x2-2x+1=（x-1）2，可得A（1+，m）、B（1-，m），∴AB=2，
联立y=m（m>
0）与线y=3（x-1）2，可得C（1+，m）、D（1-，m），∴CD=2×=，
∴