(共14张PPT)
北师版·九年级下册
5
三角函数的应用
第1课时
方向角问题
情景导入
东
北
探索新知
A
B
C
25°
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55?的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25?的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
55°
探索新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
解:
过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x.
x
探索新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x=
≈20.79
海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
方法归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
随堂练习
1.
已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（
）
D
2.
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是（
）
A.2海里
B.2sin55°海里
C.2cos55°海里
D.2tan55°海里
P
A
B
北
55°
2海里
55°
C
3.
如图，C，D分别是某一湖的南、北两端A和B的正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°的方向上，则AB=_____
km
.
6km
30°
E
4.
[贺州中考]如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20n
mile/h的速度行驶3h到达港口B.求A，B间的距离.（
，结果精确到0.1
n
mile
）
北
东
A
B
C
60°
D
解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°.
在Rt△BCD中，
4.
[贺州中考]如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20n
mile/h的速度行驶3h到达港口B.求A，B间的距离.（
，结果精确到0.1
n
mile
）
北
东
A
B
60°
D
在Rt△ACD中，
即A，B间的距离约为114.7n
mile.
C
5.
如图，某同学在河东岸点A处测得河对岸边的一点C在A的北偏西31°的方向上，沿河岸向北前进21m到达B处，测得C在B的北偏西45°的方向上.请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度.（结果精确到0.1m.参考数据:
sin
31°≈0.52，cos
31°≈
0.86，tan31°≈
0.60）
31°
21m
45°
D
解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
设CD=x
m.
∵∠CBD=45°，∴CD=BD=x
m.
在Rt△ACD中，
解得x=31.5
故这条河的宽度约为31.5
m.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
实际问题
画出平面图形
生活问题数学化
数学问题
（作辅助线，构造直角三角形）
设未知量
建立方程
（构造三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
解答问题
课后练习
习题1.6
4(共14张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时
仰角
俯角问题
情景导入
如图，小明想测量塔CD的高度.
他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°,
30?
再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°，那么该塔有多高?（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）
60?
50
m
探索新知
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角;
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高DC=x
m.
Rt△ADC中,
.
Rt△BDC中,
.
∴AB=AC－BC=
.
∴x=
≈43(m).
30?
60?
50
m
步骤小结
首先要弄清题意,结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论.
找出问题中有几个直角三角形,或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
方程思想、转化思想的运用.
随堂练习
1.
如图，小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为30°，A
处到地面B处的距离AB=30
m，则两栋楼之间的距离BC为（
）
A.30
m
B.
m
C.
m
D.
60
m
30
m
30?
C
2.
如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100
m，则乙楼的高CD为_________（结果保留根号）.
45?
100
m
100
m
3.[内江中考]如图，有两座建筑物DA
与CB，其中
CB的高为120
m，从DA
的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
E
解：如图所示，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC.
设BE=x
.
在Rt△ABE中，∠BAE=30°,
3.[内江中考]如图，有两座建筑物DA
与CB，其中
CB的高为120
m，从DA
的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
E
4.
如图，为了测量一座大桥的长度，在一架水平飞行的无人机AB的尾端A点测得桥头Р点的俯角∠α=74°，前端B点测得桥尾Q点的俯角∠β=30°，此时无人机的飞行高度AC=868
m.已知AB=1m，求这座大桥PQ的长度.（结果保留整数.参考数据:cos
74°≈0.3
，tan74°≈
3.5，
≈1.7，
≈1.4）
M
解：如图所示，过点B作BM⊥CQ，垂足为M.
在Rt△ACP中，∠APC=∠α=74°，
4.
如图，为了测量一座大桥的长度，在一架水平飞行的无人机AB的尾端A点测得桥头Р点的俯角∠α=74°，前端B点测得桥尾Q点的俯角∠β=30°，此时无人机的飞行高度AC=868
m.已知AB=1m，求这座大桥PQ的长度.（结果保留整数.参考数据:cos
74°≈0.3
，tan74°≈
3.5，
≈1.7，
≈1.4）
M
在Rt△BMQ中，∠BQM=∠β=30°，
答：这座大桥PQ的长度约为1229m.
4.
如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m.在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0.01m）
解：在Rt△CBD中，∵BC=5tan40°≈4.195（m），
∴EB=EC+CB=2+4.195=6.195（m）.
在Rt△EBD中，
∴钢缆ED的长度约为7.96m.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
数学源于生活
又服务于生活
课后作业
习题1.6
2(共14张PPT)
北师版·九年级下册
第3课时
坡度问题
情景导入
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01m).
A
D
C
B
40?
35?
4
m
？
探索新知
请与同伴交流你是怎么想的?
准备怎么去做?
A
D
C
B
40?
35?
4
m
？
解：如图∠ACD=40°,∠ABD=35°,
AC=4m.
Rt△ACD中,
∴AD=4sin40°
A
B
C
坡角
铅直高度h
水平宽度l
α
坡度或坡比
坡角越大，斜坡越陡
坡度越大，斜坡越陡
深化拓展
随堂练习
1.
如图，一条斜坡长130
m，坡顶离水平地面的距离为50
m，那么这条斜坡的坡度是（
）
A.
B.
C.
D.
120
m
B
2.
[十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD
，AD=
3
m，坝高AE=DF=6
m，坡角∠α=45°，∠β=30°，求BC的长.
解：∵AD∥BC，且AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形.
∴AE=DF=6m，AD=EF=3m.
∵∠α=45°，∠β=30°，
∴BE=AE=6m，
3.
如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2
m，斜坡AB的坡度i=
，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD=_____m.
E
B′
∵∠CBD+∠ABE=90°，∠ABE+∠A=90°.
∴∠CBD=∠A.
当D点和C点重合时，B′C=BD.
∠B′CB=∠CBD=∠A.
3.
如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2
m，斜坡AB的坡度i=
，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD=_____m.
E
B′
设BB′=x，则B′C=3x.
在Rt△B′CB中，
x2+（3x）2=22，
4.
如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD=6m，坡长CD=8m，坡底BC=30m，∠ADC=135°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需要多少土石料？（结果精确到0.01m3）
A
D
B
C
A
D
B
C
解：（1）如图，过点A，D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.易得EF=AD=6m.
∵∠ADC=135°，AD∥BC，
∴∠C=45°，∴DF=8sin45°=
FC=8cos45°=
∴BE=BC-EF-FC=
m.
∵AE=DF=
m，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABC=
∴∠ABC≈17?8′21″.
A
D
B
C
（2）建筑这个大坝共需土石料
∴建筑这个大坝共需约10182.34
m3土石料.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
数学源于生活
又服务于生活
课后练习
习题1.6
1、2(共8张PPT)
习题1.6
北师版·九年级下册
1.
如图，有一斜坡AB长
40
m，坡顶离地面的高度为20
m，求此斜坡的倾斜角.
2.
有一座建筑物，在地面上A
点测得其顶点C的仰角为30°.向建筑物的方向前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1
m
）.
3．如图，燕尾槽的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=DC，燕尾角∠B=55°，外口宽AD
=180
mm，燕尾槽深度是70
mm，求它的里口宽BC（结果精确到1mm
).
4.
如图，一艘货轮以36
kn的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40
min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到0.01
n
mile
).
○○
B
A
C
解:在R△ACB中,
BC201
AB402
∠A=30°
此斜坡的倾斜角为30°
解:如图所示,在R△ADC中,
aD
在Rt△BDC中
tan30°
CD
30°45°
Bl
CD
D
tan45°
50m→B
CD
AD-BD=50m,‘tan30°
CD=50
50
解得CD
68.3(m)
建筑物的高度约为68.3m.
东
18
(第3题)
(第4题)
解:如图所示,过点A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分
别为E,F,连接AD,则∠AEB=∠DFC=90°
AD∥BC,AE=DF
在Rt△ABE和R△DCF中,AB=DC,AE=DF,
Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)…∴BE=CF
AE
70
在Rt△ABE中,BE
≈49.0(mm)
tan55°tan55
BC=2BE+EF=49.0×2+180=278(mm)
燕尾槽的里口宽BC约为278mm
180
D
B
E
北
东
75
B
45
东
7山
5A
解:如图所示,过点B作BD⊥AN于点D
∠4=45°
.AD=BD=
BC
sin75°,DC=
BC
COS75°
AC=AD-DC=
BC
sin75°-
BC
cos75°=36×
解得BC≈33.94
n
mile,
此时货轮与灯塔B的距离约为33.94
n
mile
