沪教版（上海）数学高三上册-16.4 组合_8（课件）(共52张PPT)

(共52张PPT)
组合
教学目标
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
情境创设
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组
问题二
从已知的3
个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.
问题一
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
概念讲解
组合定义:
?
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义:
一般地，从n个不同元素中取出m
(m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列.
共同点:
都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:
排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
思考一:aB与Ba是相同的排列
还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
概念理解
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
有多少种不同的火车票价？
组合问题
排列问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次??
组合问题
组合问题
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
1.从
a
,
b
,
c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab
,
ac
,
bc
2.已知4个元素a
,
b
,
c
,
d
,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b
c
d
b
c
d
c
d
ab
,
ac
,
ad
,
bc
,
bd
,
cd
(3个)
(6个)
概念理解
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
如:从
a
,
b
,
c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:
如:已知4个元素a
、b
、
c
、
d
,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：
概念讲解
组合数
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
1.写出从a,b,c,d
四个元素中任取三个元素的所有组合
abc
，
abd
，
acd
，bcd
.
b
c
d
d
c
b
a
c
d
练一练
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc
bac
cab
acb
bca
cba
abd
bad
dab
adb
bda
dba
acd
cad
dac
adc
cda
dca
bcd
cbd
dbc
bdc
cdb
dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
你发现了什么?
对于
，我们可以按照以下步骤进行
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数
．
根据分步计数原理，得到：
因此：
这里m,n是自然数，且
m?n
，这个公式叫做组合数公式．
概念讲解
组合数公式:
从
n个不同元中取出m个元素的排列数
例1、计算：⑴
⑵
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
（1）
甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
解：
例题分析
（3）已知：
，求n的值
⑴
35
(2)
120
例3、
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
●思悟小结
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
（1）有序与无序的区别
2.理解组合数的的定义与公式
（1）
（2）
3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同
的分工方
法有
种；
组合应用
【练习】
1.用m、n表示
2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共
有
种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有
种方法.
例1
在产品检验中，常从产品中抽出一部分
进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件
正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，
各有多少种不同的抽法？
(1)无任何限制条件；
(2)全是正品；
(3)只有2件正品；
(4)至少有1件次品；
(5)至多有2件次品；
(6)次品最多.
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
，或
（5）
（6）
1.有10道试题，从中选答8道，共有
种选法、又若其中6道必答，共有
不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学
参加某科课外小组，在下列各种情况中
，各有多少种
不同的选法？
（1）无任何限制条件；
（2）正、副班长必须入选；
（3）正、副班长只有一人入选；
（4）正、副班长都不入选；
（5）正、副班长至少有一人入选；
（5）正、副班长至多有一人入选；
练习：
小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
例2
从数字1,2,5,7中任选两个
练习
有不同的英文书5本,不同的中文书7本,
从中选出两本书.
(1)若其中一本为中文书,一本为英文书.
问共有多少种选法?
(1)
可以得到多少个不同的和?
(2)可以得到多少个不同的差?
(2)若不限条件,问共有多少种选法?
6个
12个
35种
66种
例4
有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,
4人只会划右舷,
其它5人既会划左舷,
又会划
右舷,
现要从这12名运动员中选出6人平均分
在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
例3
在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,
ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为
顶点,可以得到多少个三角形?
N
O
M
A
B
C
D
E
F
G
H
I
·
·
·
·
·
·
·
·
·
练习
如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点C1,
C2
,C3
,
C4
,C5
,C6
,
AB上有异于A,
B的四个点D1
,
D2
,
D3
,
D4,问
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?
(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边形?
A
B
D1
D2
D3
D4
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
C1
C2
C3
C4
C5
C6
练习（1）求
的值
组合数的性质
（1）
（2）
（2）求满足
的x值
（3）求证：①
②
（4）求
的值
161700
5或2
511
1.
排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
2.理解组合数的性质
3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.
●思悟小结
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的公式及其性质：
组合数性质1：
2：
特别地：
7
0
1,或5
练习一
（5）求
的值
（1）
（2）
（3）
（4）
511
求证：
例题解读
证明：
因为
左边=
注意阶乘的变形形式：
=左边，
评注：
所以等式成立
练习精选：
证明下列等式
：
（1）
（2）
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
例题解读：
解：（1）根据分步计数原理得到：
种
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(2)分为三份，每份2本；
解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有
种
方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每
份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、
丙三名同学有
种方法．根据分步计数原理所以．
可得：
例題解读：
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法
所以．
点评：
本题是分组中的“均匀分组”问题．
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有
种方法
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法：
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，
一人3本；
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
种方法．
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同
的选法：
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
解：（5）可以分为三类情况：
①“2、2、2型”
的分配情况，有
种方法；
②“1、2、3型”
的分配情况，有
种方法；
③“1、1、4型”，有
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
例题解读：
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
　　一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少
一个，共有多少种不同的分配方法？
（2）10个优秀指标分配到1、2、
3三个班，若名
额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可
构造数学模型
，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
既有
种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有
种分法.
例题解读：
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，
然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有
种分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有
种分法.
例题解读：
例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共
有多少种不同的放法？
（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空
盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
“捆绑”在一起看成一个元素有
种方法；第二步：从
四个不同的盒中任取三个将球放入有
种方法，所以，
一共有
＝144种方法
例题解读
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路
灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯
关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在
两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的
关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为
种方法
例题解读：
例5．
（辽宁卷9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（
）
A．24种
B．36种
C．48
D．72种
B
例题解读：
例6．（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（
）
A.
20种
B.
30种
C.
40种
D.
60种
A
例7．（重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
种（用数字作答）.
216
1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且
票必须分完，那么不同的分法种数是
．
2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中
有2位同学要么都请，要么都不请，共有
种邀请方法.
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有
个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成
个平行四边形
.
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
个平行六面体
98
30
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，
使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位
不变，共有
种不同的调换方法
7.某兴趣小组有4名男生，5名女生：
（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男
生，3名女生，且女生甲必须在内，有
种选派方法；
（2）从中选派5名学生参加一次活动，
要求有女生但人
数必须少于男生，有____种选派方法；
（3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.
36
45
280
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三
张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问
可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有
种方法；
②若不取6，则有
种方法，
根据分类计数原理，一共有
+
＝602
种方法
课堂练习：
9.
某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种.(结果用数值表示)
7
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2－n－40≥0求解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法.
10.
某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是(
)
(A)60
(B)120
(C)240
(D)270
C
11.
某次数学测验中，学号是i
(i=1、2、3、4)的四位同学的考试成绩
f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜
f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学的成绩可能情况有(
)
(A)5种
(B)12种
(C)15种
(D)10种
C
B
12.表达式
可以作为下列哪一问题的答案
(
)
(A)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数
(B)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子空着的方法数
(C)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数
(D)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子空着的方法数
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；
3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；
4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.
课堂小结
5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是
种,一般地，将m、n个不同元素均匀分成n组，有
种分法；