沪教版（上海）数学高三上册-15.2 多面体的直观图 （教案）

多面体的直观图
【教学目标】
知道平行投影原理，会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、正方体、三棱柱、棱锥）；掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力。
【教学重难点】
掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，掌握正棱柱、正棱锥的直观图的画法。
【教学准备】
三角板、圆规、彩色粉笔。
【教学过程】
一、情景引入
1．观察课本正方体的直观图，理解不同视角，所得不同图形。
2．引出斜二测作图法及其规定。
[说明]在此要对平行透视的方法进行适当的介绍。
二、学习新课
1．斜二测作图法
（1）规定按图15-8所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做轴、轴、轴；
（2）规定在轴和轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一、
2．例题分析
例1．画水平放置的边长为和的矩形的直观图。
画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的
轴，
轴，使
。
（2）在轴上截取，在轴上截取，过点作
，连
，则
就是矩形OABC的直观图。
[说明]（1）原矩形的放置也可以是，那么直观图的图形也会随之变化。（可由学生操作）
（2）在作图过程中，主要体会“斜二测”作图过程中，原图中的点、线在直观图中如何寻求。
例2．画水平放置的边长为2cm的正六边形的直观图。（如图7）
画法：（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴。画对应的x’轴、y’轴，使∠x’O’y’=45°。
（2）在x’轴上截取O’A’=OA，截取O’D’=OD，对于不在x轴、y轴上的顶点B，C，E，F，都向x轴作垂线，它们的垂足为M，N。在x’轴上截取O’M’=OM，截取O’N’=ON，过M’，N’作与y’轴平行的直线，在这两直线上截取。
（3）连A’B’，B’C’，C’D’，D’E’，E’F’，则所得的六边形就是正六边形ABCDEF的直观图。
[说明]
在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：
第一，保平行。在正六边形ABCDEF中，AB∥FE∥BC，BE∥AF∥CD，FC∥ED∥AB，在直观图六边形A’B’C’D’E’F’中A’D’∥F’E’∥B’C’，B’E’∥A’F’∥C’D’，F’C’∥E’D’∥A’B’。
第二，保共点、共线。在正六边形ABCDEF中，A，O，D三点共线，B，O，E三点共线，C，O，F三点共线；AD，BE，CF三线共点。在直观图六边形A’B’C’D’E’F’中，A’，O’，D’三点共线，B’，O’，E’三点共线，C’，O’，F’三点共线；A’D’，B’E’，C’F’三线共点。
第三，保平行线段的比不变。在正六边形ABCDEF中，AD∶FE∶BC=2∶1∶1．BE∶AF∶CD=2∶1∶1，CF∶ED∶AB=2∶1∶1．在直观图六边形A’B’C’D’E’F’中，A’D’∶F’E’∶B’C’=2∶l∶l，
B’E’∶A’F’∶C’D’=2∶l∶1，
C’F’∶E’D’∶A’B’=2∶1∶l。
正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质。
例3．画正三棱柱的直观图，使它的底面是边长为的正三角形，高度是。
例4．画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为，且垂直于底面。
[说明]（1）直棱柱的作图，是在平面正多边形的直观图的基础上，使它沿轴正方向平移相应的长度，然后联结各定点所得。所以关键还是在于掌握平面多边形的直观图作法。
（2）棱锥的作图，主要是顶点的位置，顶点在底面上的射影沿轴正方向平移相应长度就能得到顶点。
3．问题拓展
例5．矩形的面积是，求用斜二测画法得到的直观图的面积。
[说明]由斜二测作法的线段比例关系以及角度的关系，我们可以得到多边形的直观图的面积是原图面积的倍。
三、巩固练习
1．在水平放置的平面上，作一个边长为的正三角形的直观图。
2．作正六棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是。
四、课堂小结
（1）平面多边形的水平放置图的画法；
（2）直棱柱和棱锥的直观图的作法。
【作业布置】
1．在水平放置的平面上，作满足下列条件的等腰直角三角形ABC及其重心M：
（1）一条直角边平行于轴
（2）斜边平行于轴。
2．作正五棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是。
3．作正四棱锥的直观图，使它的高为，且底面边长为。
4．应用斜二测画法得到的正三角形的直观图的面积为，求原正三角形的边长。
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