沪教版（上海）数学高三上册-16.4 组合_(1)（教案）

组合
第一课时
教学目标：
理解组合及组合数的意义，掌握组合数与排列数的联系，掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单的组合问题．
教学过程：
［设置情境］
问题：有5本不同的书
（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？
（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题，而在问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是排列问题，它就是我们这一节要研究的组合问题．
［探索研究］
1．复习
问题1
什么叫做排列？排列的特征是什么？
问题2
什么叫做排列数？它的计算公式是怎样的？
（由一名学生回答，教师补充或纠正）
2．组合
看下面的问题
引例1
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
很明显，从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：
甲、乙
乙、丙
丙、甲
所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法．
引例2
从不在同一条直线上的三点、、中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？
根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过、两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：、、，直线与直线是一条直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序．
以上两个引例所研究的问题是不同的，但是，它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：
从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
从排列与组合的定义可知，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．因此，如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
3．组合数及其公式
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
这里要注意是一个数，应该把它与“组合”区别开来．例如，从3个元素，，中每次取出2个元素的所有组合是、、，而组合数是．
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．
第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到
因此
．
这里、，且，这个公式叫做组合数公式．
上面的公式还可以写成
．
上面第一个公式一般用于计算，但当、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
4．例题分析
例1
（出示投影）下面的问题是排列问题？还是组合问题？
（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？
（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？
（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？
（由一名学生口答．）
例2
计算：（1）
（2）
解：（1）
（2）
例3
求证：．
证明：右边
左边
所以原式得证．
［演练反馈］
1．解方程：．
（一名学生板演后，教师讲评，应强调解组合数方程要验根）
2．已知，求、的值．
（一名学生板演后，教师讲评）
［参考答案］
1．解：原方程可化为
整理得
解得或（不合题意舍去）．
经检验是原方程的根．
2．解：依题意得
整理得
解得
［总结提炼］
组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组，与排列是有区别的．但事物总是一分为二的，排列与组合也有一定的联系，从两者的联系中推导出组合数公式，要能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式．
板书设计：
组合（一）
（一）设置情境问题（二）导入新课1．组合
2．组合数及其公式（三）例题与练习例1例2例3
练习（四）小结