2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程 同步测试(word版含答案)

北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程
同步测试
一．选择题
1．用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是（　　）．
A．5、6、﹣8
B．5、﹣6、﹣8
C．5、﹣6、8
D．6、5、﹣8
2．方程（x﹣4）（x+1）=1的根为（　　）．
A．x=4
B．x=﹣1
C．x=4或x=﹣1
D．以上都不对
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）．
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）．
A．k＜
B．k＞
C．k＜且k≠0
D．k＞且k≠0
5．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
6．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（
　）
A．k=﹣4
B．k=4
C．k≥﹣4
D．k≥4
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（
）．
A．且
B．
C．且
D．
8．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　　)．
A．3　　
　B．4　　
　C．3或4　　　D．无法确定
9．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（
）．
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个
10．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m＞
B．m≤且m≠2
C．m≥3
D．m≤3且m≠2
11．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）．
A．x2+x+1=0
B．4x2+2x+1=0
C．x2+12x+36=0
D．x2+x﹣2=0
12．如图，从一块长方形铁片中间截去一个长方形，使剩下部分四周的宽度都等于x
cm，且小长方形的面积是原来长方形面积的一半，则x的值为(　　)．
A．10　
　B．60　
　C．10或60　
　D．20或30
二．填空题
13．
方程（x+1）（x﹣2）=1的根是
14．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b=　
　．
15．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
16．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是　
　．
17．如图，某小区计划在一块长为32
m，宽为20
m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570
m2，则道路宽
为　　　m．?
18．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______．
三．解答题
19．用公式法解一元二次方程
（1）x2﹣3x﹣2=0；
（2）x（x﹣2）=3x+1；
+2x﹣6=0；
(4)2x2－3x＋1＝0．
20．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
21．如图，用长为37
m的篱笆(图中实线部分)，两面利用墙(墙足够长)围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留三个1
m宽的小门，设BC的长为x
m．
(1)AB=　　　　m(用含x的代数式表示)．?
(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150
m2，求BC的长．
(3)矩形鸡舍ABCD的面积是否有可能达到210
m2?若有可能，求出相应的x的值;若不可能，说明理由．
22．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
23．如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
(1)若设计人行通道的宽度为2米，则修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米?
(2)若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度．
24．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4
cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5
cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7
cm2？并说明理由．
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程
答案提示
一．选择题
1．用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是（　　）选C．
A．5、6、﹣8
B．5、﹣6、﹣8
C．5、﹣6、8
D．6、5、﹣8
2．方程（x﹣4）（x+1）=1的根为（　　）选D．
A．x=4
B．x=﹣1
C．x=4或x=﹣1
D．以上都不对
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）选B．
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）选A．
A．k＜
B．k＞
C．k＜且k≠0
D．k＞且k≠0
5．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）选B．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
6．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（　　）选B．
A．k=﹣4
B．k=4
C．k≥﹣4
D．k≥4
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（
）选A．
A．且
B．
C．且
D．
8．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　　)选C．
A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定
9．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（
）选D．
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个
10．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）选B．
A．m＞
B．m≤且m≠2
C．m≥3
D．m≤3且m≠2
11．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）选C．
A．x2+x+1=0
B．4x2+2x+1=0
C．x2+12x+36=0
D．x2+x﹣2=0
12．如图，从一块长方形铁片中间截去一个长方形，使剩下部分四周的宽度都等于x
cm，且小长方形的面积是原来长方形面积的一半，则x的值为(　　)选A．
A．10　
　B．60　
　C．10或60　
　D．20或30
二．填空题
13．
方程（x+1）（x﹣2）=1的根是
14．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b=　3　．
15．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k≥1　．
16．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是　m＞　．
17．如图，某小区计划在一块长为32
m，宽为20
m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570
m2，则道路宽
为　　1　　m．?
18．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为____9___．
三．解答题
19．用公式法解一元二次方程
（1）x2﹣3x﹣2=0；
（2）x（x﹣2）=3x+1；
（3）+2x﹣6=0；
(4)2x2－3x＋1＝0．
（1）解：
这里a=1，b=﹣3，c=﹣2，
∵△=9+8=17，
∴x=
（2）解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
∴
（3）解：∵a=1，b=2，c=﹣6
∴x==
∴=，=﹣3
(4)解：2x2－3x＋1＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝＝，
即x1＝1，x2＝．
20．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，
解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，
即（x+1）2=0，
解得x1=x2=﹣1．
21．如图，用长为37
m的篱笆(图中实线部分)，两面利用墙(墙足够长)围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留三个1
m宽的小门，设BC的长为x
m．
(1)AB=　　　　m(用含x的代数式表示)．?
(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150
m2，求BC的长．
(3)矩形鸡舍ABCD的面积是否有可能达到210
m2?若有可能，求出相应的x的值;若不可能，说明理由．
解：(1)(40﹣2x)
(2)由题意，得(40﹣2x)x=150．
解得x1=15，x2=5．
∴BC的长为15
m或5
m．
(3)不可能．理由如下：
假设矩形鸡舍ABCD的面积能达到210
m2，
则由题意，得(40﹣2x)x=210．
整理，得x2﹣20x+105=0．
∵此方程中Δ<0，∴方程无解．
故矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210
m2．
22．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0．
即b2＋c2＝a2，
∴此三角形是直角三角形．
23．如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
(1)若设计人行通道的宽度为2米，则修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米?
(2)若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度．
解：(1)根据题意，得
两块矩形绿地的长共为30﹣2×3=24(米)，
宽为10﹣2×2=6(米)，
则面积为24×6=144(米2)．
答：修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米．
(2)设人行通道的宽度为x米，
则两块矩形绿地的长共为(30﹣3x)米，
宽为(10﹣2x)米．
根据题意，得(30﹣3x)(10﹣2x)=216．
解得x1=14(不合题意，舍去)，x2=1．
答：人行通道的宽度为1米．
24．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
，
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4
cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5
cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7
cm2？并说明理由．
解：设A，P运动的时间为x
s，则由题意知AP＝x
cm，BP＝(5－x)
cm，BQ＝2x
cm，CQ＝(7－2x)
cm．
(1)S△PBQ＝·PB·BQ＝×(5－x)×2x＝4．
解得x1＝1，x2＝4．
当x＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意；
当x＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题意，舍去．
故1
s后，△PBQ的面积为4
cm2．
(2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2，
若PQ＝5
cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25．
解得x1＝0(舍去)，x2＝2．
故2
s后，PQ的长度为5
cm．
(3)不能．理由如下：仿照(1)，
得(5－x)·2x＝7，
整理，得x2－5x＋7＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0，
∴此方程无实数解．
∴△PBQ的面积不能为7
cm2．