2020-2021学年河南省南阳市高三（上）3月月考考试数学（理）试卷（Word含答案解析）

2020-2021学年河南省南阳市高三（上）3月月考考试数学（理）试卷
一、选择题
?
1.
若集合，，则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
2.
若，则（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知，，则“且”是“”的?
?
?
?
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
?
4.
某几何体的三视图如图所示（单位：），若该几何体的表面积是，则的值是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知，为自然对数的底数，则，，的大小关系为?
?
?
??
A.
B.
C.
D.
?
6.
某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量（单位：千瓦时）与当天平均气温（单位：），从中随机选取了天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：?
由表中数据的线性回归方程为，则的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
在边长为的菱形中，，，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
函数的图象可能是（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则周长的取值范围是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知函数的部分图象如图所示，若，则(?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，若，则内切圆的半径为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
12.
定义在上的函数满足，当时，，若存在使得对一切?，成立，则实数的取值范围是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
若实数，满足不等式组则的取值范围是________.
?
若，则________.
?
过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于，两点，若以为直径的圆的半径为，则直线的倾斜角为________.
?
如图，在棱长为的正方体中，若点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，则动点的轨迹长度为________.
三、解答题
?
已知在数列中，，.
求证：数列是等比数列；
求数列的前项和.
?
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人（男、女各人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
已知某人一天的走路步数超过步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
若小王以这位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选人，其中每日走路不超过步的有人，超过步的有人，设，求的分布列及数学期望．
附：，．
?
如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结
．
证明：平面；
在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值．
?
已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，分别是椭圆的右顶点、上顶点，且的边上的中线长为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．
?
已知函数
.
当时，讨论函数的单调性；
若对任意?成立，求实数的取值范围
?
已知在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
求直线与曲线的直角坐标方程；
若点的直角坐标为，直线交曲线于两点，求的值.
?
已知函数
.
当??时，求函数??的最小值；
若存在?使成立，求实数的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）3月月考考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
分别求出集合，，由此能法出．
【解答】
解：∵
集合，
，
∴
．
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：等式化为，所以，．
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的可加性，可由前推后；但反之不成立，可举＝，＝，当然满足，显然不满足且，由充要条件的定义可得答案．
【解答】
解：当且时，由不等式的可加性可得，
而当时，不能推出且，
比如取，，当然满足，显然不满足且，
由充要条件的定义可得“且”是“”的充分不必要条件.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：
，
解得：.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
指数函数单调性的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，为单调递减函数，
∴
.
令，，
则，
又，
，
即.?
故选.
6.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值．
【解答】
解：回归直线过样本中心，样本中心坐标为，
，，
代入方程，得到，
解得.
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
向量的减法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若使函数有意义，
则
即
∴
函数的定义域为.
当时，，，
此时.
故选.
9.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：∵
，
∴
，∴
．
又∵
，∴
．
∵
，
∴
，，
∴
的周长
．
又，∴
，
∴
，
∴
．
故选．
10.
【答案】
C
【考点】
三角函数的化简求值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象可得，
解得，则，
代入点可得：
，故，
则，
∴
，结合，
可得，∴
.
∵
，
∴
，
∴
故选.
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的特性
余弦定理
【解析】
先由双曲线的方程求出，再由，求出，，由此能求出的面积．
【解答】
解：在
中，设?，内切圆半径为，
由余弦定理，得|
?，
即，
又
,
所以
解得，.
?，
解得，
，
，
解得，??.
故选.
12.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，当时，，
∴
，
∴
．
又∵
时，，
∴
当时，，
∴
当时，．
若存在使得对一切，成立，
等价转化为存在使得成立，
即存在，使成立．
设，
则，
当时，
∴
在）上单调递增；
当时，，
∴
在上单调递减，
即?在点处取极大值，且为最大值，
∴
，
∴
．
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
简单线性规划
求解非线性目标函数的最值-有关斜率
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的取值范围．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
∵
，
∴
表述过两点直线的斜率，
分析知，当，时，取得最小值，且；
当，时，取得最大值，且，
∴
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
由二项展开式的通项公式，，，
可知都小于，则
，
在原二项展开式中令，
可得.
故答案为：.
【答案】
或
【考点】
抛物线的求解
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
所以当直线斜率不存在时，以为直径的圆的半径为，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入，得.
设，，
则，
解得：，
所以直线的倾斜角为或
故答案为：或
【答案】
【考点】
轨迹方程
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接，，.
在正方体中，易得，，
则平面．
要保持，则平面．
又点在侧面及其边界上运动，
则点的轨迹为平面与平面的交线段，长度为
故答案为：.
三、解答题
【答案】
证明：??，
又∵
，
∴
数列是以为首项，为公比的等比数列.
解：由知，
即，，
则
.
【考点】
等比关系的确定
数列的求和
【解析】
本题第（1）题利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列；第（2）题先根据第（1）题的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前项和．
【解答】
证明：??，
又∵
，
∴
数列是以为首项，为公比的等比数列.
解：由知，
即，，
则
.
【答案】
解：根据题表中的数据完成列表如下：
，
没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步的概率为，
当或时，，
；
当，或，时，，
；
当，或，时，，
，
则的分布列为
.
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）根据题设数据完成列联表，代入公式计算即得解；
（2）可能的取值为，，，根据独立和互斥事件的概率公式求解对应的概率得到分布列，计算期望，即得解．
【解答】
解：根据题表中的数据完成列表如下：
，
没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步的概率为，
当或时，，
；
当，或，时，，
；
当，或，时，，
，
则的分布列为
.
【答案】
证明：在四棱锥中，取的中点，连结，．
因为，分别为，的中点，，
所以，．
因为平面，平面，
所以平面，
同理，平面.
又因为，，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为在等腰直角三角形中，，
所以，即在四棱锥中，，
因为，所以，.
因为，，平面，
所以平面，所以
又因为，，，
所以，
所以，
所以
以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设为平面的一个法向量，
则即
令，得；
设为平面的一个法向量，
则即
令，得，
所以.
因为二面角是钝角，
所以二面角的余弦值是．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
?
?
【解答】
证明：在四棱锥中，取的中点，连结，．
因为，分别为，的中点，，
所以，．
因为平面，平面，
所以平面，
同理，平面.
又因为，，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为在等腰直角三角形中，，
所以，即在四棱锥中，，
因为，所以，.
因为，，平面，
所以平面，所以
又因为，，，
所以，
所以，
所以
以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设为平面的一个法向量，
则即
令，得；
设为平面的一个法向量，
则即
令，得，
所以.
因为二面角是钝角，
所以二面角的余弦值是．
【答案】
解：由题意可得：
，，，
联立解得：，，
∴
椭圆的标准方程为：．
设，，
过点的直线方程为，代入椭圆方程中，
消可得，
则，
解得或，
∴
，，
∴
，
.
∵
，
∴
，
∴
，
即，
解得，
故直线的方程的方程为，即.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
【解析】
由题意可得：，＝，，解得即可，
设，，过点的直线方程为＝，根据韦达定理即可求出，，再根据，即可求出的值．
【解答】
解：由题意可得：
，，，
联立解得：，，
∴
椭圆的标准方程为：．
设，，
过点的直线方程为，代入椭圆方程中，
消可得，
则，
解得或，
∴
，，
∴
，
.
∵
，
∴
，
∴
，
即，
解得，
故直线的方程的方程为，即.
【答案】
解：当时，，
，
∴
当时，，
∴
当
时，函数
在定义域上单调递增.
据题意，得
对任意
恒成立
引入，则，
讨论：当时，若
?，则在上单调递减，
在
上单调递增，且当时，.
∴
不满足条件；
若，则在
上单调递增，
且当时，，
不满足条件；
当时，，
∴
当时，，
在
上单调递减.
又，
当
时，
.
满足条件；
当时，
对任意
成立，
在上单调递减.
又，
∴
当时，，
满足条件
综上，所求实数的取值范围是.
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，，
，
∴
当时，，
∴
当?时，函数?在定义域上单调递增.
据题意，得??对任意??恒成立
引入，则，
讨论：当时，若??，则在上单调递减，
在?上单调递增，且当时，.
∴
不满足条件；
若，则在?上单调递增，
且当时，，
?不满足条件；
当时，，
∴
当时，，
在?上单调递减.
又，
当?时，?.
满足条件；
当时，?对任意?成立，
在上单调递减.
又，
∴
当时，，
满足条件
综上，所求实数的取值范围是.
【答案】
解：直线的直角坐标方程是.
，
.
.
，即曲线的直角坐标方程为
分析知，点在直线上，
将
代入并化简，
得.
据的几何意义可知，.
【考点】
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线的直角坐标方程是.
，
.
.
，即曲线的直角坐标方程为
分析知，点在直线上，
将
代入并化简，
得.
据的几何意义可知，.
【答案】
解：据实数绝对值的几何意义知，""表示数轴上代表数的点到代表数的点之间的距离.
""表示数轴上代表数的点到代表数的点之间的距离.
所以“"表示数轴上代表数的点分别到代表数点的距离的和，
所以.
据题意知，存在使成立.
又因为，
所以，
所以.
所以，即所求实数的取值范围是.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：据实数绝对值的几何意义知，""表示数轴上代表数的点到代表数的点之间的距离.
""表示数轴上代表数的点到代表数的点之间的距离.
所以“"表示数轴上代表数的点分别到代表数点的距离的和，
所以.
据题意知，存在使成立.
又因为，
所以，
所以.
所以，即所求实数的取值范围是.
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