1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课件—2021-2022学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
距离问题
根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式
或
(其中
)
，
可将两点距离问题转化为求向量模长问题
两点之间距离
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.则P到直线l的距离如何求呢？
点P到直线l的距离为PQ
=
已知直线l的方向向量为
b,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.
设
,则向量
?
在直线l上的投影向量.
设
,则向量
?
在直线l上的投影向量
=(a·μ)μ.
点P到直线l的距离为PQ
=
点到直线的距离
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,
D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为　　　　　.?
向量法求点到平面的距离：
如图，设P是平面α外一点，点P到α的距离为d,作PO⊥α于O,A是α内任一点,n是平面α的法向量，则
P
A
O
d
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
用向量求直线与平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。
由以上定义可知,直线与平面的距离,本质上是点到平面的的距离,所以，计算公式还是：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是BC和CD的中点,求直线BD与平面C1MN的距离.
x
y
z
解:∵BD//平面C1MN,
∴只需求点B与
　　平面C1MN的距离，
用向量求两个平行平面的距离
★和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平
面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。
★两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。
★两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
★求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。所以计算公式还是:
★所以计算公式还是:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1
的中点.
　　　
(1)求证：平面AEF∥平面BDMN;
(2)求平面AEF和平面BDMN的距离.
x
y
z
O
用向量求异面直线的距离
α
★和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。
★两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。
★两条异面直线的公垂线的长度，
　叫做两条异面直线的距离．
异面直线的距离公式
如图，设CD是异面直线a,b的公垂线段,P是直线a上任意一点,A是直线b上任意一点,
两条异面直线的距离为d,
n是与异面直线a,b都垂直的向量，则
d
A
P
C
D
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
x
y
z
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,
∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),
所以直线A1C1的方向向量
所以点B到直线A1C1的距离
又因为
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.