2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第12讲 函数与方程 教案

第三章
函数的概念及基本初等函数
第12讲
函数与方程
学习目标：
1．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根存在性及实根的个数，
了解函数的零点与方程根的关系．
2．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
3．结合具体连续函数及其图象特点，理解函数零点存在定理．
1．函数零点定义
对于函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．
2．几个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3．零点存在定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间上有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
4．二分法
对于区间上连续不断的且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
注意：（1）函数的零点不是一个点，而是一个实数，是方程的实数根，也是函数的图象与轴的交点的横坐标．
（2）①零点存在性定理能确定在上有零点，但零点不一定只有一个；
②如果在上的图象是连续不断的，且是单调函数，，则在内有唯一的零点．
【例1】函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数为单调递增函数，且，，
所以零点所在的区间是，故选B．
【变式1．1】函数的零点一定位于区间（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，，
根据零点存在性定理，
所以零点一定位于区间，故选C．
【变式1．2】已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，
则等于（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】依题意，
当时，根据等比数列求和公式，有，
故函数在上为增函数．
，，
故函数零点在区间内，所以零点在内，
故当取最小值时，，所以，故选C．
【例2】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，是上的增函数，在和上都是减函数，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，
，，所以在上有零点．
所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为，
故选B．
【变式2．1】设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于函数与的图象的交点为，
则所在的区间是函数的零点所在的区间，
因为函数与都是增函数，
所以函数为增函数，
又因为，，
所以，，故选C．
零点存在区间的判断方法：
1．零点存在性定理
首先满足零点存在性定理的两个条件，即：①函数在所给的区间上连续；②在给定的区间端点处的函数值符号相反．若函数在给定区间上还是单调的，则函数在给定区间上存在唯一的零点．
2．数形结合判断零点所在的区间
当函数由两个函数的和或差构成时，则可以考虑使用图象分析，将零点问题，转化成两个函数的交点问题，判断交点的位置，即可得到零点所在的区间．
【例3】函数在区间上的零点个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由，得或．
其中，由，得，故．
又因为，所以，所以零点的个数为个，
故选D．
【变式3．1】函数在的零点个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，
，，在的零点个数是，故选B．
【例4】函数的图象与函数的图象的交点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图象，可知有两个交点．
【变式4．1】函数的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】函数的零点，即令，
根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B．
【例5】设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】因为当时，，所以当时，，．
当时，；当时，，注意到函数，都是偶函数，且，，，
作出函数，的大致图象，函数除了这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B．
【变式5．1】函数的零点个数为_________．
【答案】
【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数．
于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．
【变式5．2】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】求导得，显然是方程的两个不等实根，
不妨设，于是关于的方程的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A．
函数零点个数的判断方法：
1．解方程
当方程可解，那么方程的解得个数就是函数零点的个数．
2．零点存在性定理
若函数在给定的区间上满足零点存在性定理的条件且是单调的，则函数在给定的区间上有唯一的零点．
3．数型结合的方法
将求函数的零点个数的问题，转化成两个函数图象交点个数的问题，交点的个数即为函数零点的个数．
【例6】已知函数，若满足，（，，互不相等），则的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意，作出函数图象，不妨设，
如图，根据三角函数的对称性得与关于对称，
所以，
另一方面，，即，
所以，故答案为．
【变式6．1】设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】作出函数的图象，设，如下图所示：
二次函数的图象关于直线对称，则，
由图可得，可得，解得，
所以，故答案为．
【例7】（多选）已知函数，若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】当时，．
设函数，则有，，
，故是偶函数，且最小值为0．
当时，，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以在上单调递减，
把的图象向右平移一个单位长度，
得到函数的图象，
故函数的图象关于直线对称，
故可得到函数在上的图象．
又，故函数的图象与轴的交点为．
作平行于轴的直线，
当时，直线与函数的图象有四个交点，
数形结合可知，故A正确；
由，得，
又根据题意知，所以，
即，即，所以，故B正确；
令，则，，
得，，
因此，故C正确；
又时，，
且函数在上单调递增，
所以，故D错误，
故选ABC．
【变式7．1】已知，若，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先画出的图象，如图：
∵，，，互不相同，不妨设．
且，，．
∴，，即，，
故，由图象可知：，
由二次函数的知识可知：，
即，∴的范围为，故选C．
【例8】（多选）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】函数有五个零点等价于与有五个不同的交点，作出图象可知，当时，，
若与有五个不同的交点，则，
，
故选CD．
【变式8．1】已知函数，方程有四个不同的实数根，则a的取值范围是___________．
【答案】或
【解析】∵，
∴在和上递增，
在，，上递减，
且，，，
作出函数的图象，作出直线，由图可得当或时，它们有四个交点，即方程有四个不等实根．
故答案为或．
【例9】已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，
由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确，
故答案为①②④．
【变式9．1】已知函数，若有2个零点，则________．
【答案】
【解析】令，则，问题转化为函数与的图象有两个交点，易知函数与的图象在上有1个交点，
由，得，
由，解得（舍去），
故答案为．
【例10】已知，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】当时，，，
令，得．
当时，；当时，，
所以当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，时，，
当时，，，所以当时，在上单调递增；
当时，，时，，时，，
故的大致图象如下：
令，则关于的方程有四个不等实根，转化为关于的方程有2个不等实根，且两个根满足，，
所以，解得，则实数的取值范围为，
故答案为．
【变式10．1】已知函数，若函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数，
当时，．
作出的图象如图所示：
令，因为有且只有一个根，
所以，当时，对应的x只有一个解，此时，即；
当时，对应的x只有一个解，此时，即，
综上所述：实数a的取值范围是，故选C．
【例11】（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】构造函数，
的定义域为，且，即是偶函数，
故关于的方程有4个不同的实数根等价于在上有两个零点．
当时，，则等价于，
令，则．
令，则，故在区间上单调递增．
又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得极小值且．
当时，；当时，，
故当时，关于的方程在区间上有两个不同的实数根，即关于的方程有个不同的实数根．
对照四个选项：A、B符合，故选AB．
【变式11．1】若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对(M，N)为函数的一个“配合点对”(点对(M，N)与点对(N，M)为同一“配合点对”)．现给定函数(e为自然对数的底数)，若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，
的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点．
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且时，，时，，
所以，
如图，函数图象与函数图象有两个交点，
则，解得，
故选B．
一、选择题．
1．函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由为增函数，为增函数，
故为增函数，
由，，
根据零点存在性定理可得使得，故选B．
2．若曲线与轴有且只有2个交点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】作出函数与的图象，
当时，只有B一个零点；
当时，有A，B两个零点；
当时，有A一个零点；
当时，有A，C两个零点；
综上，实数的取值范围是：或，故选D．
3．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，
设，，
当时，；当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故，，
因为函数有三个零点，故，故选B．
4．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】方程，即为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以函数与的图象有两不同的交点，
在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线过点时，，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
所以实数的取值范围是，故选D．
5．已知函数，若函数的图象与的图象有3个交点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，当时，二者有1个交点；
由，得，
即曲线在点处的切线的斜率为；
当时，二者若有2个交点，必须，解得，故选C．
6．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．
画出的大致图象，如图所示．
由图可知．不妨设，
则，且，所以，
所以，
则，
因为，所以，
所以，所以，
所以，故选A．
7．（多选）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】当时，，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
作出的图象，如图所示，
令，则，
令，由题意得方程有两个不同的根：
①有两个不同的根，，且，，
则有，解得；
②有两个不同的根，，且，，
则有，则，
方程为，得，，满足条件；
③有两个不同的根，，且，，
因为，则，
方程为，得，，不符合题意，舍去，
综上所述，实数，故选BCD．
二、填空题．
8．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当时，由，得．
函数有两个不同的零点，
当时，函数还有一个零点，
令，得，
，，
实数的取值范围是，
故答案为．
9．方程的两实根一个大于2，另一个小于2，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】记函数，
因为方程的两实根一个大于2，另一个小于2，
所以只需，即，解得，
所以实数的取值范围是，故答案为．
10．已知函数，设，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为方程有两个不相等的实数根，
所以方程有两个不相等的实数根，
在同一坐标系中画出函数，的图象，
如图所示：
由图象知，解得，
所以实数的取值范围是，故答案为．
11．已知函数，若且，则的最小值是________．
【答案】
【解析】作出函数的大致图象如图所示，
设，则．
由，可得；由，可得．
令，其中，则．
由，得．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，即的最小值为，
故答案为．
12．已知函数，若有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】定义域为R，令，两边同除以可得，
令，则，设，
构造函数，，
所以当时，，单调递增，则，
由于函数有两个不同的零点，则关于t的二次方程两根均满足，，
则有，解得，
故答案为．