2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第13讲 函数模型及其运用 教案

第三章
函数的概念及基本初等函数
第13讲
函数模型及其运用
学习要求：
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
知识梳理：
1．常见的函数模型
（1）一次函数模型：．
（2）二次函数模型：．
（3）反比例函数模型：．
（4）指数函数模型：．
（5）对数函数模型：．
（6）幂函数模型：．
（7）双勾函数模型：．
2．指数函数、对数函数、幂函数的比较
（1）三种函数的性质
性质
函数
在区间上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
（2）三种函数之间增长速度的比较
在区间上，函数，，都是增函数，但他们的增长速度不同，随着的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于的增长速度；而的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表现为与轴趋于平行，因此，总会存在一个，当时，就有．
题型总结：
1利用函数图像刻画实际问题
【例1】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（
）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1．1】因市场战略储备的需要，某公司月日起，每月日购买了相同金额的某种物资，连续购买了次．由于市场变化，月日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中赢利，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是（
）
A．①
B．②
C．①②
D．①③
【例2】某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（
）
A．
B．
C．5
D．6
【变式2．1】（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（
）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
【例3】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3．1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（
）
A．
B．C．
D．
2函数模型解决实际问题
【例4】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【变式4．1】在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求的值；
（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．
【例5】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（
）
A．天
B．天
C．天
D．天
【变式5．1】“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（
）小时．
A．72
B．36
C．24
D．16
【例6】核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（
）
(参考数据：，)
A．
B．
C．
D．
【变式6．1】“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强
(约为，单位：)之比的常用对数称作声强的声强级，记作
(贝尔)，即．取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度
(分贝)与喷出的泉水高度
()之间满足关系式，甲?乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为，．若甲同学大喝一声的声强大约相当于个乙同学同时大喝一声的声强，则的值约为（
）
A．10
B．100
C．200
D．1000
【例7】单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（
）
A．135
B．149
C．165
D．195
【变式7．1】某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）．当年产量不小于件时，（万元）．每件商品售价为万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
．
课后作业：
一、选择题．
1．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系，且该食品在的保鲜时间是16小时，已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是（
）
①该食品在的保鲜时间是8小时；
②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而减少；
③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时间内．
A．2
B．3
C．0
D．1
2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某硏究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（
）
A．
B．
C．
D．
3．在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：小时）的变化情况如图所示．在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（
）（参考数值）．
A．42分钟后
B．48分钟后
C．50分钟后
D．60分钟后
4．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（
）（）
A．分
B．分
C．分
D．分
5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（
）
A．
B．C．
D．
6．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（
）
A．1个月
B．3个月
C．半年
D．1年
二、解答题．
7．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元．
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)
（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围．
8．某科技公司生产某种芯片．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y（单位：枚）与销售价格x（单位：元/枚，）：当时满足关系式，（m，n为常数）；当时满足关系式．已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚．
（1）求m，n的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x的值，使公司每日销售该芯片所获利润最大．（x精确到元/枚）
9．经过考察，某公司打算对两个项目进行投资，经测算，投资项目（百万元）与产生的经济效益之间满足：（百万元），投资项目与产生的项目经济效益之间满足：（百万元）．
（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大；
（2）若投资百万元的某项目产生的经济效益为百万元，设投资该项目的边际效应函数为，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目与应如何投资，才能使得经济效益最好？
10．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费t之间的关系为(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．
（1）要使促销后商品的剩余量不大于(万件)，促销费t至少为多少(万元)？
（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
11．上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是元，其中．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．
1利用函数图像刻画实际问题
【例1】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（
）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确，
故选C．
【变式1．1】因市场战略储备的需要，某公司月日起，每月日购买了相同金额的某种物资，连续购买了次．由于市场变化，月日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中赢利，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是（
）
A．①
B．②
C．①②
D．①③
【答案】D
【解析】设公司每月日用于购买某种物资的金额为万元．
图①中四次购买的物资为（份），
月日一次卖出物资，公司得到，公司盈利，故①满足条件；
图②中四次购买的物资为（份），
月日一次卖出物资，公司得到，公司亏本，故②不满足条件；
图③中四次购买的物资为（份），
月日一次卖出物资，公司得到，公司盈利，故③满足条件，
故选D．
【例2】某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（
）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题意，当时，函数图象是一个线段，
由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，
此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得，
故函数的解析式为，．
所以．
令，即，解得，
，
服药一次治疗疾病有效的时间为小时，故选B．
【变式2．1】（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（
）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
【答案】CD
【解析】由图可知，过，所以，，
对A，由为指数函数，为爆炸式增长，
取前三个月浮萍面积，，，故增长率逐月增大，故A错误；
对B，第一个月为，第二个月为，第三个月为，
浮萍每月增加的面积不相等，
对C，，，故C正确；
对D，，，，
所以，，
所以，故D正确，
故选CD．
【例3】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；
B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；
C选项容器中水的高度是匀速增加；
D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快，
故选A．
【变式3．1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（
）
A．
B．C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，当时，；
当时，；
当时，，
所以只有A选项符合，故选A．
2函数模型解决实际问题
【例4】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）将这批香菇存放天后出售；（3）存放天后出售可获得最大利润为元．
【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为：
．
（2）由题意得，
化简得，解得，（不合题意，舍去），
因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售．
（3）设利润为，则由（2）得
，
因此当时，，
又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元．
【变式4．1】在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求的值；
（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．
【答案】（1）；（2）当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．
【解析】（1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得．
（2）当时，利润为，
因为对称轴，在上为增函数，
所以当时，万元；
当时，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．
【例5】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（
）
A．天
B．天
C．天
D．天
【答案】D
【解析】把，代入，可得，
，
当时，，则，
两边取对数得，解得，故选D．
【变式5．1】“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（
）小时．
A．72
B．36
C．24
D．16
【答案】A
【解析】当时，；当时，，
则，整理可得，于是，
当时，，
故选A．
【例6】核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（
）
(参考数据：，)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
即，
所以，解得，
故选C．
【变式6．1】“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强
(约为，单位：)之比的常用对数称作声强的声强级，记作
(贝尔)，即．取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度
(分贝)与喷出的泉水高度
()之间满足关系式，甲?乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为，．若甲同学大喝一声的声强大约相当于个乙同学同时大喝一声的声强，则的值约为（
）
A．10
B．100
C．200
D．1000
【答案】B
【解析】设甲同学的声强为，乙同学的声强为，则，，
两式相减即得，即从而，所以的值约为100，
故选B．
【例7】单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（
）
A．135
B．149
C．165
D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，
当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149，故选B．
【变式7．1】某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）．当年产量不小于件时，（万元）．每件商品售价为万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元．
【解析】（1）当时，；
当时，，
所以．
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值万元．
当时，，
此时，当时，即时，取得最大值万元，，
所以年产量为件时，利润最大为万元．
课后作业：
一、选择题．
1．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系，且该食品在的保鲜时间是16小时，已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是（
）
①该食品在的保鲜时间是8小时；
②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而减少；
③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时间内．
A．2
B．3
C．0
D．1
【答案】A
【解析】由题意可得，当时，保鲜时间是16小时，即，解得，
①当时，，故保鲜时间是8小时，故①正确；
②当时，为减函数，则该食品的保鲜时间t随着x增大而减少，故②正确；
③在某日上午10时，温度为8度，此时保鲜时间为小时，到了此日15时，已经过了保鲜时间，所以甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③不正确，
故选A．
2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某硏究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且，，
故选B．
3．在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：小时）的变化情况如图所示．在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（
）（参考数值）．
A．42分钟后
B．48分钟后
C．50分钟后
D．60分钟后
【答案】B
【解析】把点代入中，，解得．
所以当时，，
因为当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，
所以，解得．
至少需要经过分钟后，学生才能回到教室，
故选B．
4．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（
）（）
A．分
B．分
C．分
D．分
【答案】B
【解析】由题意得：，，
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分，故选B．
5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（
）
A．
B．C．
D．
【答案】B
【解析】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，
对比四个选项的图象可得结果，故选B．
6．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（
）
A．1个月
B．3个月
C．半年
D．1年
【答案】C
【解析】由题可知：，∴，
∴，∴（天），
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，
故选C．
二、解答题．
7．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元．
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)
（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）答案不唯一．构造出一个函数；说明是单调增函数；函数的取值满足要求．
如，，就是符合企业奖励的一个函数模型．
理由：
根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数；
当时，，
当时，，即奖金金额且不超过20万元．
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．
（2）当时，易知是增函数，且当时，，当时，，即满足奖金且不超过20万的要求；
故当时，符合企业奖励要求．
当时，函数是增函数，即对任意，且时，成立．
故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数．
由，得；进一步可知，，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求．
依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，
于是，有，解得，
综上，所求实数的取值范围是．
8．某科技公司生产某种芯片．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y（单位：枚）与销售价格x（单位：元/枚，）：当时满足关系式，（m，n为常数）；当时满足关系式．已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚．
（1）求m，n的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x的值，使公司每日销售该芯片所获利润最大．（x精确到元/枚）
【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）因为时，；时，，
所以，解得，，
每日的销售量．
（2）由（1）知，当时：每日销售利润
，．
则，
当或时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
是函数在上的唯一极大值点，；
当时：每日销售利润，
在有最大值，且．
综上，销售价格元/枚时，每日利润最大．
9．经过考察，某公司打算对两个项目进行投资，经测算，投资项目（百万元）与产生的经济效益之间满足：（百万元），投资项目与产生的项目经济效益之间满足：（百万元）．
（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大；
（2）若投资百万元的某项目产生的经济效益为百万元，设投资该项目的边际效应函数为，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目与应如何投资，才能使得经济效益最好？
【答案】（1）A、B项目各6百万，收益最大为3400万；（2）A、B项目各550万．
【解析】（1）投资项目（百万元），则投资项目（百万元），
投资收益总额
，时取最大值，
即投资项目6百万，投资项目6百万，收益总额最大为万元．
（2）若投资项目（百万元），则，解得，
投资项目万元；
若投资项目（百万元），则，
解得，
应投资项目万元，
即两个项目各投资550万元时，经济效益最好．
10．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费t之间的关系为(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．
（1）要使促销后商品的剩余量不大于(万件)，促销费t至少为多少(万元)？
（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
【答案】（1）(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为(万件)．
【解析】（1）由，当时，，得，∴，
由，解得，
所以促销费至少为19万元．
（2）网店的利润y(万元)，
由题意可得
，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为
(万件)．
11．上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是元，其中．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．
【答案】（1）；（2），4575元．
【解析】（1），即，
整理可得，解得或
(舍去），
所以．
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，
，
，所以当，取最大值为4575元．
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