4.4.2 对数函数的图象和性质课件-人教A版（2019）必修第一册第四章(共31张PPT)

(共31张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
4.4.2
对数函数的图象和性质
教学目标
掌握对数函数的图像和性质（重点）
01
能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题（重点、难点）
02
03
04
对数函数的图象和性质
学科素养
对数函数的性质
数学抽象
对数函数图像
直观想象
类比法学习对数函数性质
图像对称问题
逻辑推理
求函数的定义域与值域
数学运算
数据分析
在实际问题中建立指数函数模型
数学建模
对数函数的图象和性质
01
知
识
回
顾
Retrospective
Knowledge
指数函数的图象和性质
1.
指数函数概念：形如y
=
ax(a?0，且a
?1)的函数叫做指数函数.
2.
指数函数的图像与性质:
对数函数的概念
对数函数的概念：
一般地，函数y
=
logax
，(a>0，且a≠1)
叫做对数函数，其中x是自变量，
定义域是（0，+∞）．
研究函数的一般方法：
背景
概念
图像与性质
应用
02
新
知
探
索
New
Knowledge
explore
与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y
=
log2x的图像．
x
y
=
log2x
0.5
1
2
4
6
8
16
-1
0
1
2
2.6
3
4
对数函数的图像
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，
比如
和
，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
x
y
o
1
对数函数的图像
完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y
=
log0.5x的图像，能否看出两个函数的图像有什么关系？
x
y
=
log2x
y
=
log0.5x
0.5
-1
1
0
2
1
4
2
6
2.6
8
3
16
4
1
0
-1
-2
-2.6
-3
-4
两个图像关于x轴对称
对数函数的图像
对数函数的图像
选取底数a
(a>0，且a≠1)
的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax
，(a>0，且a≠1)
的值域和性质吗？
探究
选取底数a
(a>0,且a≠1)
的若干个不同的值，发现对数函数y
=
logax
,(a>0,且a≠1)
的图象按底数a的取值，可分为01两种类型，因此，对数函数的性质可以分为01两种情况进行研究．
对数函数的性质
a>1
0图
像
定义域
值
域
过定点
性质
单
调
性
取值分布
奇
偶
性
(0,+∞)
R
(1,0)
在(0,+∞)上是增函数
既不是奇函数也不是偶函数
当x>1时y>0；当0当x>1时y<0；当00.
在(0,+∞)上是减函数
对数函数的性质
底数越大，函数在第一象限的图象越靠右边.
练习1
函数y
=
logax，y
=
logbx，y
=
logcx，y
=
logdx的图像如图所示，则
a，b，c，d的大小关系为:
．
【答案】b练习2
函数的
f
(x)=loga(x－2)－2x的图象必经过定点
．　　　　　
根据loga1=0，知无论a(a>0，且a≠1)取何值，对数函数y=logax的图象恒过定点(1，0).
【解析】令x－2=1，得x
=
3，
所以f
(3)=loga(3－2)－2×3=－6，
即函数的
f
(x)=loga(x－2)－2x的图象必经过定点(3，－6)．
例3
比较下列各组中，两个值的大小：
（1）
log23.4与
log28.5
；
（2）
log
0.3
1.8与
log
0.3
2.7
；
（4）
log
a
5.1与
log
a
5.9
(a＞0，且a
≠１)．
（3）
log0.2
3与
log0.3
3；
对数值比较大小的常用方法：
(1)底数相同，真数不同，可根据对数函数的单调性直接进行判断．
(2)底数不同，真数相同，可以用图象法，还可以先比较他们的倒数（底数相同，真数不同的形式）的大小，再利用函数的单调性比较两个分母的大小，来完成比较两对数值的大小．
(3)若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间量间接地比较两对数值的大小,常用的中间量有0，1，－1等．
练习2
比较下列各题中两个值的大小：
⑴
lg6
lg8
⑵
log0.56
log0.54
⑶
log0.10.5
log0.10.6
⑷
log1.51.6
log1.71.6
＜
＜
＞
＞
因此，函数y
=
logax
(a＞0,且a≠1)与指数函数y
=
ax互为反函数.
已知函数y=2x
(x∈R
，y∈(0,+∞))可得到x=log2y，对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x
(x∈R)
的反函数.
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此我们常常对调函数x=log2y
中的字母x,y，把它写成y=log2x
，这样，对数函数y=log2x(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x
(x∈R)的反函数.
从图象中你能发现函数y=2x
与
y=log2x的图象间有什么关系？
两个函数的图象
关于直线y=x对称.
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=x
y=log2x
y=2x
A
A1
B
B1
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=x
图
象
性
质
定义域
值域
过定点
取值
分布
单调性
对数函数y=log
a
x
(a>0,
a≠1)
指数函数y=ax
(a>0,a≠1)
a>1时,
x<0,0x>0,y>1；
01；x>0,0a>1时,
0x>1,y>0；
00;
x>1,y<0；
a>1时,
在R上是增函数；
0在R上是减函数.
a>1时,
在(0,+∞)是增函数；
0(0,1)
(1,0)
R
(0,+∞)
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax
(0x
y
o
1
R
(0,+∞)
03
拓
展
提
升
Expansion
And
Promotion
【例题4】
解下列不等式
⑴
ln(2x)
<0;
⑵
log2x
<
2;
⑶
lg(1-x)>lg(x+1);
⑷
log0.5x2
>
log0.5(x+2).
利用对数函数的单调性解不等式：
(1)形如loga
f
(x)＞loga
g(x)的不等式，借助y＝logat的单调性求解，如果
a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
若loga
f
(x)＞loga
g(x)则
：
?当a>1时，有f
(x)>g(x)>0
；
?当0(x)(2)形如loga
f
(x)＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，
再借助y＝logat的单调性求解．
强调：真数一定要大于0
例
求函数
的值域;
函数y=loga
f
(x)的值域的求法如下：
①换元：令
t
=
f
(x)；
②求出新元的取值范围，即求t=f(x)的值域t∈M；
③利用y=loga
t的单调性求
y
=
loga
t
(t∈M)的值域.
利用对数函数的单调性求值域的方法：
04
归
纳
总
结
Sum
Up
图
象
性
质
定义域
值域
过定点
取值
分布
单调性
对数函数y=log
a
x
(a>0,
a≠1)
指数函数y=ax
(a>0,a≠1)
a>1时,
x<0,0x>0,y>1；
01；x>0,0a>1时,
0x>1,y>0；
00;
x>1,y<0；
a>1时,
在R上是增函数；
0在R上是减函数.
a>1时,
在(0,+∞)是增函数；
0(0,1)
(1,0)
R
(0,+∞)
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax
(0x
y
o
1
R
(0,+∞)
05
课
后
作
业
Homework
After
Class
2.
比较下列各题中两个值的大小:
1.
函数y=loga(2x-1)+1
(a>0且a≠1)的图像必过定点：
.