5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件（1）(共27张PPT)

(共26张PPT)
人教2019A版必修
第一册
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章
三
角
函
数
学习目标
提出问题
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和
（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和
（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题．
问题探究
１.两角差的余弦公式
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、
余弦之间的关系
不妨令kπ＋β，k∈Z．
如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β，
它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα），
（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点
重合．根据圆的旋转对称性可知，
与重合，从而，
所以AP＝
根据两点间的距离公式，得
+=+，
化简得:
=+
当kπ＋β
（k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
=+
（Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，
称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
证明:
(1)=
+
=0＋1×
=．
(2)==
+
=(-1)×．
＝－
．
例１
利用公式证明：
（１）=
（２）=
．
典例解析
解：由，∈(,),得
又由，是第三象限角，得．
所以=+
=()
×()+()
×()
=
例２
已知，∈(,),
，是第三象限角，求的值．
由公式
出发
，
你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
下面以公式
为基础来推导其他公式
．
例如
，
比较
与
，并注意到
α
＋
β
与
之间的联系
：＝则由公式
，
有=
＝+
=
于是得到了两角和的余弦公式
，
简记作
C（α
＋
β
）
．
=．
问题探究
上面得到了两角和与差的余弦公式
．
我们知道
，
用诱导公式五
（
或六
）
可以实现正弦
、
余弦的互化
．
你能根据
Ｃ
（α
＋
β
）
，
Ｃ
（
α
－
β
）
及诱导公式五
（
或六
），
推导出用任意角α
，
β
的正弦
、
余弦表示
sin
（
α
＋
β
），
sin（
α
－
β
）
的公式吗
？
＝
，（
S（α
＋
β
）
）
＝
;
（
S（α
－
β
）
）
通过推导
，
可以得到
：
公式推导
你能根据正切函数与正弦函数
、
余弦函数的关系
，
从
Ｃ(α
±
β
)
，
Ｓ(
α
±
β
)
出发
，
推导出用任意角
α
，
β
的正切表示
，
的公式吗
？
通过推导
，
可以得到
：
T(α
+
β
)
T(α
β
)
和
（
差
）
角公式中
，
α
，
β
都是任意角
．
如果令
α
为某些特殊角
，
就能得到许多有用的公式
．
你能从和
（
差
）
角公式出发推导出诱导公式吗
？
你还能得到哪些等式
公式
Ｓ
(α
＋
β
)
，
Ｃ(α
＋
β
)
，
Ｔ(α
＋
β
)
给出了任意角
α
，
β
的三角函数值与其和角
α
＋
β
的三角函数值之间的关系
．
为方便起见
，
我们把这三个公式都叫做
和角公式
．
类似地
，
Ｓ(α
－
β
)
，
Ｃ(α
－
β
)
，
Ｔ(α
－
β
)都叫做
差角公式
．
问题探究
例3.
已知，，求的值
．
解
：
由
，，
得
所以
=
=
-
于是有
)=
典例解析
)=
7
由以上解答可以看到
，
在本题条件下有
．
那么对于任意角
α
，
此等式成立吗
？
若成立
，
你会用几种方法予以证明?
例
４　
利用和
（
差
）
角公式计算下列各式的值
：
（
１
）sin72°cos42°－
cos72°sin42°
;
（
２
）
cos20°cos70°－
sin20°sin70°
;
（
3
）
;
解
：（
１
）
由公式
S（α
－
β
）
，
得
sin72°cos42°－
cos72°sin42°
=Sin(72°－
42°)
=sin30°
=
分析
：
和
、
差角公式把
α
±
β
的三角函数式转化成了
α
，
β
的三角函数式
．
如果反过来
，
从右到左使用公式
，
就可以将上述三角函数式化简
．
（2）
由公式
C（α
+β
）
，
得
cos20°cos70°－
sin20°sin70°
=
cos(20°+70°)
=cos90°
=0
（3）
由公式
T（α
+β
）及，
得
=
=
=
=
达标检测
课堂小结