2021-2022学年北师大版九年级数学上册 2.5一元二次方程的根与系数的关系同步达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．5
D．﹣5
2．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
3．若方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．若2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．5
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2
B．﹣4，﹣2
C．4，2
D．﹣4，2
6．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
7．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2
B．x1+x2＞0
C．x1?x2＞0
D．x1＜0，x2＜0
8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为（　　）
A．﹣10
B．4
C．﹣4
D．10
10．若方程4x2+（a2﹣3a﹣10）x+4a＝0的两根互为相反数，则a的值是（　　）
A．5或﹣2
B．5
C．﹣2
D．非以上答案
二．填空题（共4小题，满分20分）
11．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为
　
　．
12．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，且1﹣x1﹣x2﹣x1x2＝0，则a＝　
　．
13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　
　．
14．已知a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0（a≠b），则a2b+ab2＝　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
15．已知关于x的一元二次方程x2+kx+6＝0一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
16．已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
17．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且＝x1x2﹣1，求实数k的值．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
19．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1?x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
20．先阅读，再解决问题：
阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．
∵α＞β，∴α﹣β＞0．
∴α﹣β＝＝＝＝＝．
显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．
问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．
（1）x2+x＝0；
（2）4x2+16x+15＝0．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
∴x1+x2+x1x2＝2﹣3＝﹣1．
故选：B．
2．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
3．解：∵方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2）2﹣2×1＝6．
故选：B．
4．解：∵2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，
∴，（2+）（2﹣）＝n，
∴m＝﹣4，n＝1，
∴m+n＝﹣3．
故选：B．
5．解：由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，
解得：x2＝﹣4，m＝2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选：D．
6．解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：C．
7．解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1?x2＝﹣2，结论C错误；
D、∵x1?x2＝﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
8．解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
9．解：根据题意得：m+n＝3，mn＝a，
∵（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝﹣6，
∴a﹣3+1＝﹣6，
解得：a＝﹣4．
故选：C．
10．解：根据方程4x2+（a2﹣3a﹣10）x+4a＝0的两根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣＝0，x1×x2＝a＜0，
解得：a＝5（舍去）或a＝﹣2，
所以a＝﹣2．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分）
11．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣2，
所以原式＝＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．解：根据题意得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2，
∵1﹣x1﹣x2﹣x1x2＝0，
∴1﹣（x1+x2）﹣x1x2＝0，
∴1﹣a﹣（﹣2）＝0，解得a＝3．
故答案为3．
13．解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∵m2+2m﹣5＝0
∴m2＝5﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
14．解：∵a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0（a≠b），
∴a、b可看作方程x2+x﹣1＝0的两个解，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣1×（﹣1）＝1．
故答案为1．
三．解答题（共6小题，满分60分）
15．解：设关于x的一元二次方程x2+kx+6＝0的另一根为m，
根据根与系数的关系得，2+m═﹣k，2m＝6，
∴m＝3，k＝﹣5，
即：k的值为﹣5，方程的另一个根为3．
16．解：∵a，b是的两个根，
∴，，，
∴．
（1）＝
＝
＝
＝8；
（2）＝
＝
＝
＝6．
17．解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣1，
∴＝x1x2﹣1，
∴＝k+1﹣1，
解得k＝﹣5或k＝4，
经检验，k＝﹣5或k＝4都是原方程的根，
由（1）可知：k＝4舍去，
∴k＝﹣5．
18．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
19．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1?x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
20．解：（1）x2+x＝0．
这里a＝1，b＝1，c＝0，
∵，
∴x2+x＝0是邻根方程．
（2）4x2+16x+15＝0．
这里a＝4，b＝16，c＝15，
∵，
∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．