2021-2022学年北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程知识点分类训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》知识点分类训练（附答案）
一．一元二次方程的定义
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0
B．x+y＝5
C．x+＝5
D．x2+2x＝3
2．若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）
A．m≥2
B．m≤2
C．m≤2且m≠1
D．m≠1
3．关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±3
B．a＝3
C．a＝﹣3
D．a＝±3
二．一元二次方程的一般形式
4．把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣x﹣2＝0
B．x2+5x﹣2＝0
C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
5．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣1，2
B．x，﹣2
C．﹣x，2
D．3x2，2
三．一元二次方程的解
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣3
四．解一元二次方程-直接开平方法
8．方程（x+3）2＝4的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5
B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1
D．x1＝﹣1，x2＝5
9．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0
B．m≤0
C．m＞0
D．m≥0
五．解一元二次方程-配方法
10．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　）
A．3，12
B．﹣3，12
C．3，6
D．﹣3，6
11．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　）
A．（x+）2＝1
B．（x﹣）2＝1
C．（x+）2＝
D．（x﹣）2＝
12．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（　　）
A．（x﹣）2＝
B．（x+）2＝
C．（x﹣9）2＝62
D．（x+9）2＝62
六．解一元二次方程-公式法
13．用公式法解一元二次方程3?x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）
A．3，﹣4，8
B．3，﹣4，﹣8
C．3，4，﹣8
D．3，4，8
14．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2+3x+1＝0
B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0
D．2x2﹣3x﹣1＝0
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长
B．线段AD的长
C．线段EC的长
D．线段AC的长
16．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
七．解一元二次方程-因式分解法
17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
18．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0
B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1
D．x1＝﹣1，x2＝0
19．一元二次方程x2+3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3
B．x1＝x2＝﹣3
C．x1＝3，x2＝0
D．x1＝﹣3，x2＝0
八．换元法解一元二次方程
20．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
21．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（　　）
A．4
B．2
C．4或﹣2
D．4或2
22．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　
　．
九．根的判别式
23．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠2
C．k≥
D．k≥且k≠2
24．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
25．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
26．若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
十．根与系数的关系
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
28．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．12
29．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
30．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（　　）
A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800
D．968（1+x）2＝800
31．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x﹣1）＝15
B．x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15
D．x（x﹣1）＝15
32．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程是（　　）
A．2（1+x）3＝8.72
B．2（1+x）2＝8.72
C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.72
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72
33．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（　　）
A．250（1+x）＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x）+250（1+x）2＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
34．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
35．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝242
B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242
D．（1+2x）2＝242
36．原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．（30+2x）（20+2x）＝1200
B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600
D．（30+x）（20+x）＝600
37．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931
B．n（n﹣1）＝931
C．1+n+n2＝931
D．n+n2＝931
十二．一元二次方程的应用
38．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）
A．24
B．25
C．26
D．27
39．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
40．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　）
A．10%
B．15%
C．18%
D．20%
41．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
42．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　
　．
43．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
十三．配方法的应用
44．一同学将方程x2﹣4x﹣3＝0化成了（x+m）2＝n的形式，则m、n的值应为（　　）
A．m＝﹣2，n＝7
B．m＝2．n＝7
C．m＝﹣2，n＝1
D．m＝2．n＝﹣7
45．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　
　．
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：A、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
故选：D．
3．解：∵关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2且a﹣3≠0，
解得：a＝﹣3，
故选：C．
二．一元二次方程的一般形式
4．解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，
故选：A．
5．解：将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式3x2﹣x+2＝0后，一次项和常数项分别是﹣x，2．
故选：C．
三．一元二次方程的解
6．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
7．解：方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2＝﹣a+1，
∴a3＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1，
∴2a3+a2﹣3a＝2×（2a﹣1）﹣a+1﹣3a＝4a﹣2﹣a+1﹣3a＝﹣1．
故选：B．
四．解一元二次方程-直接开平方法
8．解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故选：A．
9．解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由x2﹣m＝0知m≥0，
故选：D．
五．解一元二次方程-配方法
10．解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
∴x＝﹣3，b＝6，
故选：D．
11．解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
12．解：∵x2﹣9x+19＝0，
∴x2﹣9x＝﹣19，
∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，
故选：A．
六．解一元二次方程-公式法
13．解：∵3?x2﹣4x＝8，
∴3?x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，
故选：B．
14．解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；
B．此方程的解为x＝，不符合题意；
C．此方程的解为x＝，符合题意；
D．此方程的解为x＝，不符合题意；
故选：C．
15．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
故选：B．
16．解：这里a＝3，b＝5，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴x＝＝，
故选：A．
七．解一元二次方程-因式分解法
17．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
18．解：x2＝﹣x，
x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
所以A、B、C错误，
故选：D．
19．解：x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x+3＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
故选：D．
八．换元法解一元二次方程
20．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
21．解：设m2+n2＝t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8＝0，
整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
所以m2+n2＝4．
故选：A．
22．解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
九．根的判别式
23．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，
解得k≥且k≠2，
故选：D．
24．解：∵1☆x＝2，
∴1?x2﹣1?x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
25．解：∵b＞0，c＜0，
∴Δ＝b2﹣4c＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
26．解：由题意可知：Δ＝4﹣4×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：D．
十．根与系数的关系
27．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
28．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
29．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
30．解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
31．解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝15．
故选：A．
32．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝8.72．
故选：B．
33．解：设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1+x）万只，3月份生产口罩250（1+x）2万只，
依题意得：250+250（1+x）+250（1+x）2＝910．
故选：D．
34．解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
35．解：依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
36．解：依题意，得（30+2x）（20+2x）﹣30×20＝30×20，
即（30+2x）（20+2x）＝1200．
故选：A．
37．解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
十二．一元二次方程的应用
38．解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，
解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．
故选：A．
39．解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
40．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选：A．
41．解：设这个航空公司有机场n个
＝10
n＝5或n＝﹣4（舍去）
故选：B．
42．解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
43．（1）解：根据题意得：BC＝（24﹣2x）m，
则（24﹣2x）x＝70，
解得：x1＝5，x2＝7，
当x1＝5时，BC＝14x2＝7时，BC＝10，
墙可利用的最大长度为13m，BC＝14舍去．
答：BC的长为10m．
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：（24﹣3x）x＝78，
即x2﹣8x+26＝0，Δ＝82﹣4×1×26＝﹣40＜0，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
十三．配方法的应用
44．解：∵（x+m）2＝n可化为：x2+2mx+m2﹣n＝0，
∴，解得：．
故选：A．
45．解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式＝0+0+3＝3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3．