第一章 §1 1.3 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA等于( B )
A．{1,2}
B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．?
[解析] ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}．
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B等于( A )
A．{－2，－1}
B．{－2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
[解析] 因为集合A＝{x|x＞－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( C )
A．A∩B
B．A∪B
C．B∩(?UA)
D．A∩(?UB)
[解析] 题图阴影部分表示由所有属于B且不属于A的元素组成的集合，故为B∩(?UA)．
4．已知集合U＝(0，＋∞)，?UA＝(0,2)，那么集合A＝( C )
A．(－∞，0]∪[2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(2，＋∞)
[解析] 利用数轴分析，可知A＝[2，＋∞)．
5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若?UM＝{－1,1}，则实数p＋q的值为( D )
A．－1
B．－5
C．5
D．1
[解析] 由已知可得M＝{2,3}，
则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根，
则p＝－(2＋3)＝－5，
q＝2×3＝6，故p＋q＝－5＋6＝1．故选D．
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩(?UA)≠?，则( C )
A．k＜0或k＞3
B．2＜k＜3
C．0＜k＜3
D．－1＜k＜3
[解析] ?UA＝{x|1＜x＜3}，借助于数轴可得
∴0＜k＜3．
二、填空题
7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(?RB)＝__{x|3＜x＜4}__．
[解析] ∵B＝{x|－1≤x≤3}，
则?RB＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}．
8．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有__2__人．
[解析] 设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示．
则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥}，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．
[解析] 将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
∵?UB＝{x|x≤－1或x＞3}，
∴(?UB)∪P＝，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1＜x＜2}∩＝{x|0＜x＜2}．
10．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝?，且A∩(?UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B．
[解析] ∵A∪B＝U，A∩B＝?，
∴A＝?UB，又A∩(?UB)＝{1,2}，
∴A＝{1,2}，∴B＝{3,4,5}．
B 组·素养提升
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则?UA的所有非空子集的个数为( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析] ∵?UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．
2．设P＝(4，＋∞)，Q＝(－2,2)，则( D )
A．P?Q
B．Q?P
C．P??RQ
D．Q??RP
[解析] ∵Q＝(－2,2)，
而?RP＝(－∞，4]，
∴Q??RP．
3．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x?P}，则M－(M－P)等于( C )
A．P
B．M
C．M∩P
D．M∪P
[解析] 当M∩P＝?时，由于对任意x∈M都有x?P，所以M－P＝M，因此M－(M－P)＝M－M＝?＝M∩P；当M∩P≠?时，作出Venn图如图所示，
则M－P表示在M中但不在P中的元素构成的集合，因而M－(M－P)表示由在M中但不在M－P中的元素构成的集合．由于M－P中的元素都不在P中，所以M－(M－P)中的元素都在P中，所以M－(M－P)中的元素都在M∩P中，反过来M∩P中的元素也符合M－(M－P)的定义，因此M－(M－P)＝M∩P，故选C．
4．(多选题)已知集合U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，下列集合运算正确的是( BC )
A．?UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B．?UB＝{x|x＜2或x≥5}
C．A∩(?UB)＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}
D．(?UA)∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}
[解析] 由?UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}知选项A错误；
由?UB＝{x|x＜2或x≥5}知选项B正确；
由A∩(?UB)＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}∩{x|x＜2或x≥5}＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}知选项C正确；
由(?UA)∪B＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}∪{x|2≤x＜5}＝{x|x＜1或2≤x＜5或x≥6}知选项D错误．
二、填空题
5．已知集合A＝{x|m－4＜x＜2m}，B＝{x|－1＜x＜4}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__{m|2≤m≤3}__．
[解析] ∵A∩B＝B，∴B?A，∵A＝{x|m－4＜x＜2m}，B＝{x|－1＜x＜4}，
∴解得2≤m≤3，
即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}．
6．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(?UA)∩B＝__{(2,3)}__．
[解析] ∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴?UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}．
又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，
∴(?UA)∩B＝{(2,3)}．
三、解答题
7．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，?IA＝{2，y}，求实数x、y的值．
[解析] 因为A＝{5}，?IA＝{2，y}．
所以I＝{2,5，y}，
又I＝{2,3，x2＋2x－3}，
所以，
所以或．
故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3．
8．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[解析] ∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4－2a＋b＝0．①
又∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，
∴16＋4a＋2b＝0．②
联立①②，得解得
经检验，符合题意：∴a＝－1，b＝－6．(共40张PPT)
第一章 预备知识
§1 集 合
1.3 集合的基本运算
第2课时 全集与补集
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
基础知识
全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的________，这个给定的集合叫作全集．
(2)表示方法：常用符号U表示．
子集
知识点1
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
知识点2
子集
A?U
不属于A
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
思考2：怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
补集的性质
对任何集合A，有A∪(?UA)＝______，A∩(?UA)＝______，?U(?UA)＝______．
U
知识点3
?
A
基础自测
1．已知集合A＝{x|x＜－5或x＞7}，则?RA＝
( )
A．{x|－5＜x＜7}
B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x＜－5}∪{x|x＞7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
[解析] ∵A＝{x|x＜－5或x＞7}，∴?RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
B
2．(2021·全国高考乙卷文科)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,5}，则?U(M∪N)＝
( )
A．{5}
B．{1,2}
C．{3,4}
D．{1,2,3,4}
[解析] 由题意可得：M∪N＝{1,2,3,4}，则?U(M∪N)＝{5}．故选A．
A
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝
( )
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析] ∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
A
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是______________．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
[解析] 解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又∵?UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
题型探究
题型一
补集的运算?
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝__________________．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则?UA＝____________________________．
[分析] (1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
例
1
{2,3,5,7}
{x|x＜－3，或x＝5}
[归纳提升] 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】? (1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝
( )
A．?
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____．
B
2
题型二
交集、并集、补集的综合运算?
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[分析] 对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出?UA及?UB，再求解．
例
2
[解析] 如图，
[归纳提升] 求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】? (1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝_______________；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝
( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析] (1)?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
{1,2,3}
B
题型三
根据集合运算结果求参数的值或范围?
已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，且(?UA)∩B＝?，求实数k的取值范围．
[分析] 求?UA，然后根据(?UA)∩B＝?分类讨论．
[解析] 因为全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，
所以?UA＝{x|1＜x＜3}，
因为集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，(?UA)∩B＝?，
例
3
[归纳提升] 由集合运算结果求参数的方法
(1)利用Venn图分析．
当集合中元素个数有限时，可根据集合运算结果，利用Venn图直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
(2)利用数轴分析．
当集合中元素个数无限时，可根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系，通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
【对点练习】? 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__________________．
忽视空集的特殊性
已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为________________________．
误区警示
{a|a＜1或a＞3}
例
4
[错因分析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪?＝A，所以错解忽略了B＝?时的情况．
[方法点拨] ?有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩?＝?；(2)对于任意集合A，皆有A∪?＝A，因此，如果A∩B＝?，就要考虑集合A或B可能是?，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是?．
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
学科素养
已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．
[分析] 要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．
[解析] 若B∪A＝A，则B?A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；
例
5
[归纳提升] 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．
1．(2021·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝
( )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
[解析] A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}．
D
2．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为
( )
A．{x|－2≤x＜1}
B．{x|－2≤x＜3}
C．{x|x≤2或x＞3}
D．{x|－2≤x≤2}
[解析] 由题意得阴影部分集合为?U(M∪N)．
∵M∪N＝{x|x≥1或x＜－2}，
∴?U(M∪N)＝{x|－2≤x＜1}．故选A．
A
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝____________．
[解析] 由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,
10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．
{7,9}
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(?UB)，(?UA)∩(?UB)．
[解析] ?UA＝{1,3,6,7}，?UB＝{2,4,6}，
∴A∩(?UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，
(?UA)∩(?UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．
5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，?SB，?SA．
[解析] B∩C＝{x|x是正方形}，?SB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，?SA＝{x|x是梯形}．
