第一章 §2 2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．a＜b，b＜0的一个必要条件是( A )
A．a＋b＜0
B．a－b＞0
C．＜0
D．＜－1
[解析] a＜b，b＜0?a＜b＜0?a＋b＜0，
则a＋b＜0是a＜b，b＜0的必要条件．
2．已知命题“若p，则q”，假设“若q，则p”为真，则p是q的( B )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[解析] 由题意知q?p，则p是q的必要条件．
3．设x∈R，则“x＞1或x＜－1”是“|x|＞1”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由题意可知，故选C．
4．已知x∈R，则{x|x＜－1}是的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] {x|x＜－1}?，反之不成立，
所以“{x|x＜－1}”是“”的充分不必要条件．故选A．
5．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
[解析] 命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为对所有的x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
6．若a，b为实数，则ab(a－b)＜0成立的一个充要条件是( D )
A．0＜＜
B．0＜＜
C．＜
D．＜
[解析] ab(a－b)＜0?a2b－ab2＜0?a2b＜ab2?＜?＜．故选D．
二、填空题
7．用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的__必要__条件．
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的__充分__条件．
8．下列说法正确的是__②④__．
①x2≠1是x≠1的必要条件；
②x＞5是x＞4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2＜4是x＜2的充分不必要条件．
[解析] 由x2≠1?x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．
9．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为__a＜8__．
[解析] 因为p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，所以a＜8．
三、解答题
10．已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．
[解析] 方法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜．
必要性：由＜，得－＜0，即＜0．
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．
所以＜的充要条件是xy＞0．
方法二：＜?－＜0?＜0．
由条件x＞y?y－x＜0，故由＜0?xy＞0．
所以＜?xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( B )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
2．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( C )
A．0＜a≤1
B．a＜1
C．a≤1
D．0＜a≤1或a＜0
[解析] 解法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则解得a＜0；若方程两根均负，则解得0＜a≤1．综上所述，充要条件是a≤1．
解法二(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B．故选C．
3．(多选题)有以下说法，其中正确的为( ACD )
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件
[解析] x∈Ax∈(A∩B)，故B错，A、C、D都正确，故选A、C、D．
4．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有( BCD )
A．A∪B＝B
B．(?UA)∩B＝?
C．?UA??UB
D．A∪?UB＝U
[解析] 由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD．
二、填空题
5．给出下列四个条件：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0；③a＝3，b＝－2；④a＞0，b＜0且|a|＞|b|，其中__①③④__是a＋b＞0的充分条件．(填序号)
6．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
[解析] A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．
7．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为__－或__．
[解析] p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3．q：ax＋1＝0，即x＝－．由题意知pq，q?p，所以有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝．综上可知，a＝－或．
三、解答题
8．是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] 存在．由4x＋p＜0得x＜－，如图在数轴上
画出不等式x＞2或x＜－1，由数轴可得，当－≤－1时，即p≥4时，由x＜－≤－1?x＜－1?x＞2或x＜－1．故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件．(共52张PPT)
第一章 预备知识
§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
【素养目标】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)
4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
基础知识
必要条件、充分条件和充要条件
知识点1
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是真命题
“若q，则p”是真命题
推出
关系
__________
__________且__________记作__________
条件
关系
q是p的____________
p是q的____________
p是q的__________________
简称p是q的____________
p?q
p?q
q?p
p?q
必要条件
充分条件
充分且必要条件
充要条件
思考1：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
知识点2
思考2：性质定理与必要条件有什么关系？
提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．
基础自测
1．下列命题中是真命题的是
( )
①“x＞3”是“x＞4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
[解析] x＞4?x＞3，故①是真命题；
x＝1?x2＝1，x2＝1
x＝1，故②是假命题；
a＝0?ab＝0，ab＝0
a＝0，故③是假命题．
A
2．“x＝0”是“x2＝0”的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析] 因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．
D
3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是
( )
A．x＜0，y＜0
B．x＜0，y＞0
C．x＞0，y＞0
D．x＞0，y＜0
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x＜0，y＞0．
B
4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q的
( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为{x|－1＜x＜3}?{x|x＜3}，所以p是q的必要不充分条件．
C
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________．
(2)“x＜5”是“x＜3”的__________________．
[解析] (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,
即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为A?B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．
充要条件
必要不充分条件
题型探究
题型一
必要条件?
(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是
( )
A．x＜0
B．x≥0或x≤－1
C．x＞0
D．x≤－1
例
1
B
↓
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
【对点练习】? 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1．
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12．
(3)若a是无理数，则a是无限小数．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
题型二
充分条件?
(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是
( )
A．x＞3
B．x＜3
C．x＞4
D．x＜4
例
2
C
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
【对点练习】? 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0．
题型三
充分条件、必要条件及充要条件的判断?
(1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的
( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例
3
A
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
C
[归纳提升] 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
【对点练习】? 设A、B为两个互不相同的集合，命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B，则p是q的____________条件．
( )
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分又不必要
[解析] 若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．
B
题型四
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围?
已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为
( )
A．(－1,6)
B．[－1,6]
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
[分析] 可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
B
例
4
[归纳提升] 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】? 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0．
若a＜0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] 由p得(x－3a)(x－a)＜0，当a＜0时3a＜x＜a，由q得－2≤x≤3或x＜－4或x＞2，则x＜－4或x≥－2，
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
误将充分条件当作充要条件
给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1．
其中p是q的充要条件的有
( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
误区警示
A
例
5
[错因分析] 误将充分条件当作充要条件，当p?q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p?q与q?p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[方法点拨] 对于两个条件A，B，若A?B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A?B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
充分条件、必要条件的证明
充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．
学科素养
[分析] 本题是关于充分条件、必要条件的证明．由于所学知识有限，只能利用一些等式性质，一次函数，二次函数的基本性质进行论证，本题揭示的是二次函数的最小值问题与系数c的关系．
例
6
[归纳提升] 充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；
②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p．
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(?)，也可以直接证明充要性．
1．“a＋b＞2c”的一个充分不必要条件是
( )
A．a＞c或b＞c
B．a＞c或b＜c
C．a＞c且b＜c
D．a＞c且b＞c
[解析] 由a＞c且b＞c可推得a＋b＞2c，但当a＋b＞2c时，不一定能推得a＞c且b＞c，故选D．
D
2．若“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是
( )
A．a≥3
B．a≤－1
C．－1≤a≤3
D．a≤3
[解析] 因为“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．
B
3．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：
充要条件①____________________
充要条件②______________________
(写出你认为正确的两个充要条件)
4．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是_________．
[解析] 因为“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m＞2．
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
m＞2
5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
[解析] 在(1)中，p?q，所以p是q的充要条件．
在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p
q，所以p不是q的充要条件．
在(3)中，取A＝{1,2}，B＝{3}，显然，A∩B＝?，但A与B均不为空集，因此，p
q，所以p不是q的充要条件．
