第一章 §3 3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120
km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10
m，则用不等式表示为( B )
A．v≤120
km/h或d≥10
m
B．
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
[解析] 考虑实际意义，知v≤120
km/h，且d≥10
m．
2．已知0＜a＜1,0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( C )
A．M＜N
B．M＝N
C．M＞N
D．不确定
[解析] ∵0＜a＜1,0＜b＜1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)＞0，∴M＞N．
3．已知a＋b＜0，且a＞0，则( A )
A．a2＜－ab＜b2
B．b2＜－ab＜a2
C．a2＜b2＜－ab
D．－ab＜b2＜a2
[解析] 方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，而B、C、D都不成立，∴选A．
方法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b．因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A．
4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是( C )
A．a＞b＞－b＞－a
B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a
D．a＞b＞－a＞－b
[解析] 因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a．
5．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有( C )
A．a＞b＞0
B．0＞＞
C．a＞0＞b
D．＞＞0
[解析] 若a＞b＞0，则＜，同理0＞a＞b时，＜，所以只有当a＞0＞b时，满足＞．
6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( C )
A．xy＞yz
B．xz＞yz
C．xy＞xz
D．x|y|＞z|y|
[解析] 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0．所以由可得xy＞xz．
二、填空题
7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__．
8．已知2b＜a＜－b，则的取值范围为__(－1,2)__．
[解析] ∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b．∴b＜0．
∴＜＜，即－1＜＜2．
三、解答题
9．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．
[证明] ∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．∴－ac＜－bc．
又e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc．
10．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较与的大小．
[解析] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴＞＞0，
又a＞b＞0，∴＞．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是( A )
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
[解析] ∵－1＜β＜1，
∴－1＜－β＜1，－2＜α－β＜2，
又∵α＜β，
∴α－β＜0，－2＜α－β＜0．
2．(多选题)设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是( ABD )
A．ab＜b2＜1
B．＜＜1
C．1＜＜
D．a2＜ab＜1
[解析] 取a＝，b＝验证可得A，B，D不正确．
3．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是( A )
A．p＜q
B．p＝q
C．p＞q
D．由a的值决定
[解析] 由题意知p－q＝＋－(＋)，
∵(＋)2－(＋)2
＝2－2，
且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，
∴2－2＜0，
即(＋)2－(＋)2＜0，
∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q．
4．(多选题)下列说法中正确的是( AC )
A．若a＞b，则＞
B．若－2＜a＜3,1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
[解析] 对于A，∵c2＋1＞0，∴＞0，∵a＞b，
∴＞，故A正确；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B中说法错误；对于C，因为a＞b＞0，所以＜，又因为m＞0，所以＜，故C中说法正确；对于D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，故D中说法错误，故选AC．
二、填空题
5．给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则＜；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则＞．
其中正确命题的序号是__④__．
[解析] ①当ab＜0时，＜不成立，故①不正确；
②当c＜0时，a＜b，故②不正确；
③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；
④a＞b＞0?－a＜－b＜0?0＜c－a＜c－b，
两边同乘以，得0＜＜，
又a＞b＞0，∴＞，故④正确．
6．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c．则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是__a＜c＜d＜b__．
[解析] 由a－d＝c－b，a＋d＜b＋c相加得a＜c；
又b－d＝c－a＞0，得b＞d，
又d＞c，故a＜c＜d＜b．
三、解答题
7．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．
[解析] 设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则
t1＝，t2＝＋．
因为t1－t2＝－＝＝－＜0，所以t1＜t2，所以甲先到达B地．
8．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
[解析] 因为f(x)＝ax2－c，
所以即
解得
所以f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．
又因为－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
所以≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，
所以－1≤f(2)－f(1)≤20，
即－1≤f(3)≤20．(共40张PPT)
第一章 预备知识
§3 不等式
3.1 不等式的性质
【素养目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【学法解读】
在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．
基础知识
比较两个实数a，b大小的基本事实
知识点1
文字语言
符号表示
如果a－b是________，那么a＞b，反过来也成立
a＞b?_____________
如果a－b等于0，那么a＝b，反过来也成立
a＝b?_____________
如果a－b是________，那么a＜b，反过来也成立
a＜b?_____________
正数
a－b＞0
a－b＝0
负数
a－b＜0
思考1：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：(1)是 (2)b＞a
不等式的性质
知识点2
序号
性质内容
1
如果a＞b，且b＞c，那么__________
2
如果a＞b，那么a＋c＞b＋c
3
(1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
(2)如果a＞b，c＜0，那么______________
a＞c
ac＜bc
序号
性质内容
4
如果a＞b，c＞d，那么__________________
5
(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么______________
特殊地，当a＞b＞0时，__________，其中n∈N＋，n≥2
6
当a＞b＞0时，__________，其中n∈N＋，n≥2
a＋c＞b＋d
ac＜bd
an＞bn
思考2：(1)性质2的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质5时，要注意什么条件？
提示：(1)移项法则．
(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
(3)各个数均为正数．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2．
( )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．
( )
(3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3．
( )
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d．
( )
×
×
√
×
2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是
( )
A．a－c＞b－d
B．ac＞bd
C．a＋c＞b＋d
D．a＋d＞b＋c
3．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是
( )
A．a＞ab＞ab2
B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
[解析] 由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，
又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故选D．
C
D
4．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系
( )
A．T＜40
B．T＞40
C．T≤40
D．T≥40
C
＞
＜
＜
＜
[解析] (1)∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，
∴a－c＞b－d．
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．∵a＞b＞0，
∴－ac＞－bd，∴ac＜bd．
题型探究
题型一
作差法比较大小?
[分析] 作差?化简?判定差的符号?确定大小关系
例
1
【对点练习】? 当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解析] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1＞0．
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1．
题型二
不等式性质的应用?
[分析] 通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误．
例
2
C
[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
C
题型三
证明不等式?
[分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．
例
3
[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
误区警示
例
4
[错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．
[方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
不等关系的实际应用
不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．
学科素养
有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是
( )
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．
例
5
B
[解析] 方法一：因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz．又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx．
综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx．
方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13．由此可知最低的总费用是az＋by＋cx．
方法三：根据实际意义．
[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则
( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a≥b
D．a≤b
[解析] a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．
C
B
3．(2021·湖北省宜昌市七校期末联考)已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是
( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
[解析] 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B，
C．由不等式的性质4知，D一定成立．
D
B
＜
