高中数学函数复习二（新课标A版）

(共72张PPT)
三.函数的周期性
函数的周期性 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
例1 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）；
（2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；
（3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）
【例题讲解】
（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）
其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______．
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，
且2a是周期；
考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函数f ( x )的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数；
考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明自变数相差a－b时， 函数值相等， 即
f ( x ) = f (a－b+x)
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数，且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3），（4）．
例2 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x∈(0，1)时， 则f ( x ) 在（1，2）上
（A）是增函数，且f ( x )＞0
（B）是减函数，且f ( x )＞0
（C）是增函数，且f ( x )＜0
（D）是减函数，且f ( x )＜0
【讲解】认识f ( x )在（1，2）上的性质，可以把f ( x )在（1，2）上的解析式求出来，或者由f ( x )的性质去推断：
∵ f ( x )的周期是2．
∴ f ( x )在（1，2）和（－1，0）的性质一致，
∵ f ( x )是奇函数，
∴ f ( x )在（－1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反．
因此，函数 f (x)在（0 , 1）上与
（1，2）上的增减性相同，而符号相反．
【解法1】0＜x＜１ 0＜１－x＜１
在（0，1）上，1－x是减函数，
是增函数
是增函数，
于是，f ( x )在（1，2）上是增函数，且f ( x )＜0．
故选（C）．
【解法2】设x∈(1，2)
则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，
∵ －1＜x－2＜0,
∴ 0＜2－x＜1
于是，
∵ f (x) 是奇函数，
∴ f (2－x)＝－f (x－2)，
∴
可见，f (x) 在（1，2）上是增函数，且f (x )＜0
故选（C）．
例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝－f(x) 所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝f(x－m) 令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m 于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立， 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有
f(x＋m)＝
,求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
＝f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)
＝－ ,求证:4m是f(x)的一个周期.
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
于是f(x＋4m) ＝－ ＝ f(x)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数.
例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x), 求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
证明：不妨设a＞b 于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b)) ＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x) ＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b))
＝f(x) ∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期 当a＜b时同理可得 所以，2|a－b|是f(x)的周期
例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x) ∴ f(x＋6)＝f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334 ∴ f(2004)＝f(0)＝2004
例9 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x [0，1]时，f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为 ．
【解】∵ f (x+2)＝－f (x)，
∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)，
∴ f (x)是周期函数，4是周期．
∵ f (－x)＝－f (x)．
∴ f (x+2)＝f (－x)，
∴ f (x)的图像关于x＝1对称，
由上述这些性质，及x [0，1]时，y=x，
得知f (x)的图像如下：
其中斜率为1的线段过点（4m，0），
其中斜率为－1的线段过
点（4m+2，0）．
故解析式为
例10.已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0 ⑴求证：f(x)是偶函数； ⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)
⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去) 又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) 所以，f(x)为偶函数 ⑵令a＝x＋m，b＝m 得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0 所以f(x＋2m)＝－f(x) 于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m] =－f(x＋2m) ＝f(x) 即T＝4m(周期函数)
例11.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，
且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)
①求a100； ②求S100.
解：由已知a1＝a，a2＝b， 所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，
a7＝a，a8＝b，…… 由此可知，{an}是以6为周期的周期数列， 于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a 又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0
S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)
例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.
解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1 再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2 所以f(－1)＝－2 又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1 令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4 令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2 即f(x＋1)－f(x)＝x＋2 ①
当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0 又f⑴＝1＞0所以f(x)＞0 于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1 即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t 在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，
进一步可得f(－4)＝1
注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2) 所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0 即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞……＞f(－4)＝1 所以x≤－4时，f(x)＞x 综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－2
例13.设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且
f(x)+
求证:f(x)是周期函数.
证明：由已知f(x)+
所以
①
(2)
于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，
记这个差为d 同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d …… f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1) ＝…… ＝f(x＋1)－f(x)＝d
即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列 因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，而对于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0
即f(x＋1)＝f(x) x∈R 所以f(x)是周期为1的周期函数.
例14 设 f (x)的定义域为R，其图像关于直线 x＝2 和 x＝0对称，且x [4，6]时， f ( x )＝2 x + 1，那么在区间[－2，0]上，f －1( x )的解析式为
（A）y＝log2(x－4)
（B）y＝4－log2(x－1)
（C）y＝4+log2(x－1)
（D）y＝－log2(x－1)
【分析】如何用好x＝2，x＝0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？
这就要想到：
y＝f (x)图像关于x＝a对称

x R时有f (x)＝f (2a－x)
【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6]
∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）．
1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且
an＋2＝an＋1－an(n∈N＋) ①求a100；②求S100. 解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，
a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，…… 由此可知，{an}是以6为周期的周期数列， 于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a 又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0 S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100
＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)
＝2b－a
2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004) 解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)
练习.1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋) ①求a100；②求S100.
2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) ,f(0)＝2004，求f(2004)
3.函数f(x) 是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=|x-1|；
当x∈[2k,2k+2]( k∈Z)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。
例15 已知 ，函数g(x)的图像与函数y＝f －1(x+1)的图像关于直线 y＝x 对称，则 g ( 5 )＝ ．
【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来．
【解法1】y＝f －1(x+1)
f (y)＝f [f －1(x+1)]＝x+1
x＝f (y)－1
∴ y＝f －1(x+1)的反函数是y＝f (x)－1
即 g (x)＝f (x)－1
∴
【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略．
练习．1．已知函数 ，函数y=g(x)
的图像与y=f -1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则
g(11)的值为：
A． B．1 C． D．
2．已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f -1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)
3.对于任意的 ,函数f(x)表示
x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2)
五、一元二次函数
例15 如果 是函数 y＝(m－1) x2－(m2+m－2) x－1递增区间的子集，那么m 的取值范围是___________．
【解】依题意
解之，得－4≤m＜1．
例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2 ， ，an ，共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从 a1，a2 ， ，an 推出的a=_______．
【讲解】 用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？
依题意，这个最佳近似值a，应当使函数
y＝(x－a1)2+(x－a2)2+ +(x－an)2
取最小值．
【解】
设x是该物理量的一个近似值，建立函数
即
依题意
时，取最小值．
该函数，当
．
【例17】 已知函数
，
的最小值为m2+1，求函数
f (x) 的最大值及取得最大值时的x 值．
－2cos2x
【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x 要化为1－sin2x，若再设t＝sinx，则y＝2t2 +2mt + m2－4m+1，t∈[－1，1]．
问题转化为求闭区间[－1，1]上的一个二次函数的最值问题．
这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置．
m值
对称轴
位 置
对称轴位置
【解】设t = sin x，则
对称轴方程为 ,
∵ m≤2,
∴
t∈[－1, 1]．
，
（1）0≤m≤2时， ．
当0≤m≤2时， ，
这时，
∴ m＝0，
．
取得最大值时， ，k Z．
（2）－2≤m＜0时， ．
当－2≤m＜0时， ．
这时，
∴ m＝0，
取得最大值时， ，k Z ．
（3）m＜－2 时， ．
当m＜－2 时， ．
这时，函数在 [－1，1] 上递减，
∴
∴ m2 + 4m－4＝0
解之， ,
且
，
取最大值时， ，k Z ．
综上所述，得
k Z
k Z
k Z
x 的值
3
3
y 的最大值
[ 0，2 ]
(－∞,－2)
m 的取值
例18 已知f (x)=x2+ax+b (a，b∈R)的定义域为[－1，1]．
(Ⅰ) 记| f (x)|的最大值M，求证：
；
(Ⅱ) 求出(Ⅰ)中的 时，f (x)的表达式．
【讲解】 已知条件是
x∈[－1，1] 且| f (x)|≤M
像这样在一个区间上的所有各点都
满足的性质，在各特殊点上依然成立．
即 | f (1)|＝|1+a+b|≤M
| f (0)|＝|b|≤M
| f (－1)|＝|1－a+b|≤M
接下来就要考虑由形如M≥|m|的三个不等式能否构造出常数 ？或者构造出4M≥2 ？这自然想到绝对值不等式的性质：
| x1|+| x2| + +| xn |≥| x1+ x2+ +xn |
于是，能否巧妙安排x1, x2, x3, x4使其和为2 ？
另一个思路是, 反证法, 即若M＜ , 由三个不等式能否导出矛盾？
(Ⅰ)【证法1】依题意x∈[－1，1]时， 总有| f (x) |≤M，因此有
| f (1) |＝|1 + a + b| ≤M
2 | f (0)|＝|2b|＝|－2b|≤2M
| f (－1) |＝|1－a + b|≤M
相加得
|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|≤4M
∵ |(1 + a + b) +(－2b) +(1－a + b)|
≤|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|
∴ 2≤4M
即 M≥
(Ⅰ) 【证法2】 设 M＜ ．
依题意 | f(x)| ≤M 在 [－1，1] 上成立，
从而有 | f(1)| ≤ M＜
| f (0)| ≤ M＜ ， | f (－1)| ≤M＜
即
①
②
③
由① + ③得
－1＜2 + 2b＜1
即 ④
④与②矛盾．
故 不能成立．因此， ．
(Ⅱ) 解：由 ，有
∴ ⑤
⑥
⑦
同时还有
两式相加，得
⑧
由⑤，⑧知，
把 代入 ⑥，⑦ 得
∴ a＝0
∴ ， ．