第一章 §3 3.2 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( D )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
[解析] a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( B )
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x＞2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x＜2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( D )
A．10
B．25
C．5
D．2
[解析] a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．
4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．
5．设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是( B )
A．
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
[解析] ∵ab＜2，∴ab＜，∴2ab＜．
∵＞＞0，a＋b＝1，
∴＞，∴a2＋b2＞．
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．
6．已知a＞0，b＞0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为( D )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
[解析] 由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．
二、填空题
7．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是__a＋≤－1__．
[解析] 因为a＜1，即a－1＜0，
所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1．
8．设x＞0，则的最小值为__2－1__．
[解析] 由x＞0，可得x＋1＞1．
令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
三、解答题
9．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？
[解析] x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．
∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2．
10．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋＞2；
(2)＜．
[证明] (1)∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0，
∴＋≥2＝2，∴＋≥2．
由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．
∴＋＞2．
(2)∵x＞0，y＞0，x≠y，∴x＋y＞2，∴＜1，
∴＜，
∴＜．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( B )
A．
B．2
C．
D．5
[解析] ∵x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，
∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋≥＋2·＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，
∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B．
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由x2＋3xy－1＝0可得y＝．
因为x＞0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(当且仅当＝，即x＝时，等号成立)．故x＋y的最小值为．
3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ABC )
A．ab＜1
B．1＜
C．ab＜
D．＜ab
[解析] ∵ab≤2，a≠b，∴ab＜1，
又∵＞，a＋b＝2，
∴＞1，∴ab＜1＜．
4．(多选题)下列结论正确的是( AD )
A．当x＞0时，＋≥2
B．当x＞2时，x＋的最小值是2
C．当x＜时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x＞0，y＞0时，＋≥2
[解析] 在A中，当x＞0时，＞0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x＞2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x＜，所以5－4x＞0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．
二、填空题
5．当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__．
[解析] ∵a＞0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，
∴＝3，解得a＝18．
6．已知3a＋2b＝1，a＞0，b＞0，则＋的最小值为__8＋4__．
[解析] ∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．
三、解答题
7．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1．证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1．
[解析] 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，
即＋＋≥a＋b＋c．
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1．
8．已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
[解析] ∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
令a＋1＝p，b＋1＝q，则p＞1，q＞1，
∴a＝p－1，b＝q－1，p＋q＝4，
∴＋＝＋
＝p＋q－4＋＋＝≥＝1，
∴m≤1，所以实数m的最大值为1．(共33张PPT)
第一章 预备知识
§3 不等式
3.2 基本不等式
【素养目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)
2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)
5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
第1课时 基本不等式
基础知识
基本不等式
知识点1
思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
(2)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明．
基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值______．
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值_______．
知识点2
思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？
提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．
基础自测
×
√
√
C
a＝1
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
利用基本不等式判断命题真假?
例
1
C
[归纳提升] 利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立．
[解析] 对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a＜0，b＜0时，选项B，C不成立，故选D．
D
题型二
利用基本不等式求最值?
[分析] (1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值．
(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．
例
2
[归纳提升] 利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
1
题型三
利用基本不等式证明不等式?
例
3
[归纳提升] 利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【对点练习】? 已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz．
[解析] x2＋y2＝4≥2xy，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，故选C．
C
C
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__________．
4．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为______．
A≥G
20
