高中函数综合复习

(共60张PPT)
函数（三）
例1 已知函数 (a ＞0 且a ≠1) 在其定义域 [－1, 1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是___________.
六、幂函数、指数函数与对数函数
【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数；
另外， x [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值：
x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0，
则a＜3，综上知1＜a＜3．
例2 如果不等式 x2－ ＜0
在区间 上恒成立，那么实数a
的取值范围是___________．
【讲解】 设y＝x2 ①
y＝ ②
当a＞1时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有x2＜ 成立．
在 上函数①的最大值是 ，
在 上，当0＜a＜1时，②的最小
值是 ，
在 上，x2＜ 恒成立
当0＜a＜1时，由 ，
得
∴
例3.化简
(1)
　 (2)
(3)
略解：(1)x的指数是0,所以原式=1
(2)x的指数是=0所以原式=1
(3)原式=
　　　　　　
例4.若
，求
解：因为
所以f(x)+f(1-x)=1
解：令121995=a>0则

所以
例6.已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R+)若
x1,x2∈R+,试比较
与
的大小
例7.已知y1=
，y2=
当x为何值时
(1)y1=y2　　　　 (2)y1>y2　　　　 (3)y1例8.对于自然数a,b,c (a≤b≤c)和实数x,y,z,w若
(1)ax=by=cz=70w (2)
求证：a+b=c
例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足
q-p=29，求证：3证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg1984
1000<1984<10000　故3例10.设f(x)=logax (a>0,a≠1)且
(θ为锐角)，求证：1证明：∵θ是锐角，∴
从而a>1又f(15)=
=sinθ+cosθ
故a<15　 综合得：1证：因为00,ay>0由平均值不等式
故
例11.已知0解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3　 log2a+2b=2yM=3
例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
例13 已知函数 f (x)＝|2x －1 －1 |, a＜b＜c 且 f (a)＞f (c)＞f (b) ，则必有
(A) a＜b，b＜1，c＜1
(B) a＜1，b≥1，c＞1
(C) 2－a＜ 2c
(D) 2a＋2c＜4．
【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x－1 ，再下移1个单位得y = 2x－1 －1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x－1－1|，图像如下图
由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上．
故必有a＜1且c＞1．
从而2a－1＜1，2c－1＞1
∴ f (a)＝1－2a－1，f (c)＝2c－1－1
∵ f (a) ＞f (c)
∴ 1－2a－1＞2c－1－1
∴ 2a＋2c＜4．
故选（D）．
例14 设 m R，关于x 的方程
(a＞0且a≠1) 有几个实根？证明你的结论．
【解】设y＝ax，则y＞0，且
(y + m)(y2+my+1) = 0
∴ y =－m ① 或y2+my+1=0 ②
令 ， 则m≤－2
(1) 当m＜－2 时，
① 有正实根，②有两个不等正实根．
∴ 原方程有三个实根；
(2) 当m＝－2 时，
① 有正实根，②有一个正实根．
∴ 原方程有两个实根；
(3) 当－2＜m＜0 时，
① 有正实根，②无实根．
∴ 原方程有一个实根；
(4) 当m≥0 时，
① 只有负根，而②无实根或实根为负．
∴ 原方程无实根．
综上所述，知
m的值 m＜－2 －2 －2＜m＜0 m≥0
方程实根个数 3 2 1 0
例15.解方程
(1)x+log2(2x-31)=5 　
(2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0
例16.设a>0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0　 (1)
由Δ=4a2-4>0得a2>1,即a>1
令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0
下略
例16.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]≤x，
故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2≤0即-1≤lgx≤2
当-1≤lgx<0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg2x=1
当0≤lgx<1时，[lgx]=0，原方程为
lg2x=2，
均不符合[lgx]=0
当1≤lgx<2时，[lgx]=1，原方程为
lg2x=3，所以
当lgx=2时，x=100　　　
所以原方程的解为
解：易知：a>0且a≠1，
设u=x2+ax+5，原不等式可化为
例18.当a为何值时，不等式
有且只有一解
因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1
所以(1)等价于u>4,即x2+ax+5>4
此不等式有无穷多解
(1)当0(1)
由于当u>0时，　　　　　　　
均为单调增函数，所以它们的乘积
　　　　　　　　　　　　　　
也是单增函数
由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4，
即0≤x2+ax+5≤4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解
即Δ=a2-4=0，a=2时，
不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
(2)当a>1时，不等式化为
(2)
例19.已知a>0且a≠1，试求使方程
有解的k的取值范围
解：原方程即
即
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，
故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)
分别解关于　的不等式、方程得：
(k≠0时）
所以　　　　　
解得k< -1或0解：易知f(x)的定义域为(0,+∞)
∵y1=3+　　　　在(0,+∞)上是减函数，
y2=log2x在(0,+∞)上是增函数，
而当y1=y2，即
例20.设f(x)=min(3+ ， ),其中min(p,q)表
示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
七.函数的最值与函数的值域
f(x)=log2x　 (2)
(1)×2+(2)消去log2x，
得3f(x)=6，f(x)=2
又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
另解：f(x)=3+ =3- (1)
3+　　　=log2x时，x=4，
故当x=4时，得f(x)的最大值是2
例21.求函数
的最小值
解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-∞,0)
令3x=t,则t∈(0,1)，于是
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
例22 已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，且 F(x) =a · f (x)+b · g(x)+2 ，若在 (0, +∞)上F(x)有最大值8, 则在(－∞, 0)上F(x) 有
(A) 最小值－8 (B) 最小值－4
(C) 最小值－6 (D) 最大值－8
【解】设x＜0，则－x＞0，
依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8
∵ f (x) 和g(x)是奇函数
∴－af (x)－bg (x)+2≤8
∴ a · f (x)+bg (x)≥－6
∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4．
故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4．
应选（B）．
例23 求函数 的值域．
【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．
据这个特点可以演变出下面多种解法．
【解法1】易知定义域为 0≤x≤1，
0≤x≤1 －x2+x 的值域是 [0， ]
的值域是 [0， ]
∴ 的值域是[1， ]．
∵
≤1+x－x+1
＝2
∴ 且 时，
等号成立．
【解法2】
又由0≤x≤1知x2≤x , ∴
， ∴
且x＝1或0 时等号成立．
综合以上结果知， 的值域是 [1， ]．
【解法3】 设 ， t [0，1]
则
整理，得2t 2－2yt + y 2 －1=0
由于该方程有非负实根，
所以
解之，得 ．
当y＝1时x＝1或0，
时，
故两个等号皆成立，故值域为
【解法4】 ∵
且
∴ 设 ，
则 ．
∵ ∴
∴ ∴值域为[1， ]．
例24 已知函数 , 定义域为 , 且a＜b，求函数的最小值．
【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，x＝b时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于是猜想，在 上函数递减，当然在 上也是减函数．于是有下面的解法1和2．
∵ 0＜x≤a＜b
∴ a · x－b2＜0 且 x－a＜0
∴ ．且 x＝a 时，
等号成立．故y 的最小值为 ．
【解法1】
【解法2】 令0＜x1＜x2≤a＜b，
则x1－x2＜0 且x1 · x2＜b2，
f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)
∴ f (x1) ＞ f (x2)
即 f (x) 在 上是减函数，
∴ x＝a 时，y 最小且 ．
【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法．
【讲解3】 函数式化为
x2－yx + b2＝0
依题意，该方程在 上有实根，于是
△= y2－4b2≥0，即y≥2b．
而函数 (x)＝x2－yx+b2图像的对称轴为
．
因此，函数 (x) 在 上递减，故只能有一个实根，该实根存在的充要条件是 (a) ≤0
即a2－ay + b2≤0，
y≥ 且x＝a 时，等式成立，
故 ．
∵ ，x＝a 时等号成立，
而 在 上是减函数, x＝a 时,
其值最小，
故x＝a 时, y 有最小值， ．
【解法4】
【解法5】
由0＜x≤a＜b 得
且b－x≥b－a＞0
∴
∴
当x＝a 时， ．
【解法6】
令 = tan ，
∵ 0＜x≤a＜b ， ∴
∴ ．
且 时， ．
即