第一章 §3 3.2 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．若x∈{x|－2＜x＜0}，则x(2＋x)的最小值是( C )
A．－2
B．－
C．－1
D．－
[解析] 因为x∈{x|－2＜x＜0}，所以2＋x＞0，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－2＝－1，当且仅当x＝－1时，等号成立．
2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝
B．x≤
C．x＞
D．x≥
3．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．a≤2
B．a≥2
C．a≥3
D．a≤3
[解析] 由于x＞1，所以x－1＞0，＞0，
于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当＝x－1即x＝2时等号成立，
即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，故选D．
4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( B )
A．6
B．9
C．12
D．15
[解析] x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时等号成立．选B．
5．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( A )
A．
B．2
C．2
D．8
[解析] 因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＝
≤＝·，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以使得x＋y≤a对所有正数x，y都成立的a的最小值是．故选A．
6．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( C )
A．2
B．4
C．8
D．16
[解析] 因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1．
因为m＞0，n＞0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C．
二、填空题
7．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是__2__；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是____．
[解析] (1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是．
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
8．已知正数a、b满足＋＝3，则ab的最小值为__4__．
[解析] ＋＝3≥2?≥2?ab≥4．
当且仅当＝，即a＝6，b＝时取等号．
三、解答题
9．若正数a、b满足：＋＝1，求＋的最小值．
[解析] 正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，由正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，＋＝＋≥
2＝2，当且仅当a＝b＝3时取等号，故＋的最小值为2．
10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y＝(x＞0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)
[解析] 依题意得y＝(x∈N
)．
因为x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝40时上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(万件)．
所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，则mn的最大值是( B )
A．100
B．50
C．20
D．10
[解析] 由m2＋n2≥2mn得mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．
2．已知0＜x＜1，a，b为常数，且ab＞0，则y＝＋的最小值为( A )
A．(a＋b)2
B．(a－b)2
C．a＋b
D．a－b
[解析] y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号．
3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( B )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，
当且仅当＝，即y＝x时取等号．
依题意得1＋a＋2≥9，
即(－2)(＋4)≥0，又＋4＞0，
∴≥2，解得a≥4，故a的最小值为4，故选B．
4．(多选题)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a＞2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，则下列正确的是( ABD )
A．A∩B＝{x|4≤x≤8}
B．A∪B＝R
C．A?B
D．?UA?B
[解析] 由a＞2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时取等号．
所以A＝{p|p≥4}，B＝{q|q≤8}．故选ABD．
二、填空题
5．已知x≥，则f(x)＝的最小值是__1__．
[解析] f(x)＝＝＋
＝＋
≥2＝1．
当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．
6．(2021·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h．
[解析] 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了＝小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要＋小时，结合基本不等式，计算最值，可得＋≥2＝10，故最小值为10小时．
三、解答题
7．(2020·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋．
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
[解析] 由a＋b＝＋＝，且a＞0，b＞0，得ab＝1．
(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．
(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①
假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则a2＋b2＋a＋b＜4，②
①②两式矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
8．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解析] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5·(元)，
∴2020年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．(共28张PPT)
第一章 预备知识
§3 不等式
3.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
题型探究
题型一
利用基本不等式求参数范围?
例
1
[归纳提升] 1．恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax．将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
题型二
基本不等式的实际应用?
如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
例
2
[分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值．
(2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[归纳提升] 在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题
(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．
(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值．
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
【对点练习】?
如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
误区警示
例
3
B
[方法点拨] 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
基本不等式求最值
基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．
学科素养
例
4
[归纳提升] 利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值．
C
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为__________元．
1
760
