(共18张PPT)
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新课件人教A版必修5《余弦定理》精品教学课件
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深圳市第二实验学校 林 伟
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实际测量中，由于无法接近墙角,测量人员在如图所示位置取点C，用皮尺测得AC=8米，BC=5米，∠ACB= 。由此测量人员可以得到AB的长度。
因为某种实际需要，需测量左图中A、B二点间的距离。如何测量？
问：怎么样算AB的长度？
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实际问题数学化
如图，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c，
已知a,b和∠C,求边c.
A
B
C
b
c
a
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探索研究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
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如图，
设
由向量减法的三角形法则得
﹚
B
A
C
c
b
a
向量法
同理可证：
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余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
你能用文字说明吗？
C
B
A
a
b
c
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对余弦定理还有其他证明方法吗
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如图，以C为原点，CB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为（a,0)、点A坐标为（bcosC,bsinC),根据两点间距离公式：
b
A
a
c
C
B
y
x
同理可得：
解析法
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几何法
如图：在三角形ABC中，设BC=a,AB=c,AC=b,试根据b,c,A来表示a. 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
D
A
B
C
c
b
a
同理有：
另外，当A为钝角,直角时也可证得上述结论
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想一想： 余弦定理能够解决什么问题？
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
方程思想：
四个量，知三求一
1、 已知两边和它们的夹角求另一边（直接用）
2、已知三边求角（变形）
变形
变一变乐在其中
b2+c2 - a2
2bc
cosA=
c2+a2 - b2
2ca
cosB=
a2+b2 - c2
2ab
cosC=
C
B
A
a
b
c
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理解定理
从而知余弦定理及其变形的基本作用为：
1、已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边。
2、已知三角形的三条边就可以求出其它角。
3、已知三角形的三条边判断三角形形状。
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思考：勾股定理与余弦定理之间的关系.
若三角形ABC中，C为直角，则cosC=0,这时，
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，
勾股定理是余弦定理的特例。
已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？
设a是最长边,则
△ABC是直角三角形 a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形 a2
△ABC是钝角三角形 a2>b2+c2
cosC=0
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例1．在 ABC中，已知 , , 求b及A.
例题分析
⑴解：
=
=
∴
∵
=
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理
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⑵解法一：
∵cos
0解法二：
∵sin
又∵
＞
＜
∴
＜A
＜
＜ c,即
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
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例2．在
ABC中，
；
已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状。
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课堂练习(在三角形ABC中,解三角形)
1、基础过关：
（1）已知a=3√3，c=2,B=150°,求b；
（2）已知a=2,b=√2,c= √3+1,求A.
，求角A
3、思维拓展：
（2）在三角形ABC中，若
（1）已知三角形ABC的三边为√7、2、1，求它的最大内角；
（1）已知a=12,b=13,c=5,求B；
（2）已知c=8,b=3,B=60°，求a；
2、能力提升：
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课时小结
1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2、余弦定理的应用范围：
（1）已知三边求三角；
（2）已知两边及它们的夹角，求第三边。
（3）已知三边判断三角形的形状。
3．思考本节学到的探究方法，定性发现-----定量探讨-----得到定理。
课后作业
1、课后阅读：课本第8页[探究与发现]
2、课时作业：第10页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
3、补充作业：已知向量 夹角为120°， 且| | ＝5，| |＝4，
求| | 、| | 及 与 的夹角.
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谢谢专家指导