4.2
三角函数图象与性质、三角恒等变换
一、整合教材知识，落实基本能力
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
x≠kπ＋
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
增减区间
增
减
增[2kπ－π，2kπ]
减[2kπ，2kπ＋π]
增
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心(kπ，0)
对称中心
对称中心
对称轴：x＝kπ＋
对称轴：x＝kπ
无对称轴
周期
2π
2π
π
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念：振幅A，周期：T＝
3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
4．由y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
[知识拓展] (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋，k∈Z.
②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.
5．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinα
cosβ
±
cosα
sinβ；
(2)cos(α±β)＝cosα
cosβ
?
sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
6．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sinα
cosα；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
7．有关公式的变形、逆用
(1)
①sin2α＝(1－cos
2α)；
②cos2α＝(1＋cos
2α)．
(2)①1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2；
②sin
α±cos
α＝sin.
8．半角公式
9．辅助角公式
a
sinα＋b
cos
α＝sin
(α＋φ)(其中sin
φ＝，cos
φ＝.)
1．公式的常用变式：sin
2α＝＝；
cos2α＝＝．
2．降幂公式：sin2α＝；
cos2α＝；
sin
αcos
α＝sin
2α.
3．升幂公式：1＋cos
α＝2cos2；
1－cos
α＝2sin2；
4．半角正切公式：tan
＝＝.
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
三角函数的单调性
三角函数的单调性是高考对三角函数性质考查的一个重要方面，几乎每年必考，其考查角度为求已知函数的单调区间或讨论其单调性，三角函数的单调性在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，多为中档题.
(1)形如y＝A
sin
(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin
x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
角度1 求三角函数的单调性
1．(2021·全国Ⅰ卷)下列区间中，函数单调递增的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
解：因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
故选：A.
2．(2016·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A．
(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．
(k∈Z)
[解析] 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.
3．函数f(x)＝sin的单调减区间为________.
[解析] 由y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．
4．函数f(x)＝cos
x－sin
x的单调递增区间为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以当k＝1时，f(x)的单调递增区间为.
5．已知函数f(x)＝sin＋cos
2x，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意得f(x)＝sin＋cos
2x＝sin
2x＋cos
2x＋cos
2x＝sin，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得函数y＝f(x)的一个单调递减区间为，故选A．
角度2 根据函数的单调性求参数
1．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos
x－sin
x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
解析：f(x)＝cos
x－sin
x＝－sin
，
当x－∈，即x∈时，sin
单调递增，－sin
单调递减，
∴是f(x)在原点附近的单调递减区间，结合条件得[0，a]?，
∴a≤，即amax＝，故选C.]
2．(2012·新课标全国理)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，]
B．[，]
C．(0，]
D．(0,2]
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及间接法解题．
ω＝2?ωx＋∈[，]不合题意，排除D，ω＝1?(ωx＋)∈[，]合题意，排除B，C.
[由＜x＜π，ω＞0得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意结合选项，令?，
所以所以≤ω≤.]
考点二
三角函数的周期性、奇偶性及对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性是高考对三角函数性质考查的重要内容，并且这三种性质的考查往往融合为一体，多以“小而活”的客观题形式出现，题目难度不大，多为中低档题.常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的应用。
求解三角函数y＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sin
x的对应性质，利用整体代换的思想求解．
角度1 三角函数的周期性
1．(2017·全国卷Ⅱ
)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π
D.
解析：选C 函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.
2．(2016·漳州二模)函数y＝3cos的最小正周期是( )
A.
B.
C．2π
D．5π
解析：选D T＝＝5π.
角度2 三角函数的奇偶性
1．函数y＝1－2sin是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：y＝1－2sin＝cos
2＝－sin
2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．
2．(2015·吉林模拟)函数f(x)＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A ∵f(x)＝2cos2－1＝cos
2＝cos＝sin
2x.
∴T＝＝π，f(x)＝sin
2x是奇函数．故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．
3．已知函数f(x)＝3sin
(2x－＋φ)，φ∈(0，π).
(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；
(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________．
解析：(1)π (2) [(1)因为f(x)＝3sin
(2x－＋φ)为偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝3sin
(2x－＋φ)为奇函数，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝.]
若f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
4．(2015·昆明模拟)若函数f(x)＝cos
(2x＋φ－)，φ∈(0，π)是奇函数，则φ＝________.
解析：若f(x)＝cos(2x＋φ－)是奇函数，则φ－＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0<φ<π，∴当k＝0时，φ＝.答案：
5．函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
角度3 三角函数的对称性
1．(2012·福建)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，x＝－π＋＝－.
[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点．
2．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选D A、B项明显不正确，C项的对称轴为x＝＋，k∈Z，D项中函数的最小正周期为π，对称轴为x＝＋，k∈Z.故y＝sin的最小正周期为π，图象关于x＝对称．
3．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．答案：kπ＋(k∈Z)
4．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：由题意得＝2，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，又0＜φ＜π，∴φ＝，故选A．
5．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2
B.
C.1
D.
解析 由题意及函数y＝sin
ωx的图象和性质可知，T＝－，
∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
6．已知函数f(x)＝2sin
(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点(，0)对称
B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
解析：因为函数f(x)＝2sin
(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin
(＋).
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z).
故f(x)的对称中心为(－＋2kπ，0)
(k∈Z)，对比选项可知B正确．
7．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且?x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A．(－，0)
B．(－，0)
C．(，0)
D．(，0)
解析：A [由f(x)＝sin
(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f()恒成立，所以f(x)max＝f()，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin
(x＋).
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(2kπ－，0)(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－，0).]
角度4
三角函数性质的综合应用
1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
2．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：选D f(x)＝sin＝－cos
2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确，由函数y＝cos
x的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误．
3．(2018·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的周期为π，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
解析：因为ω＝＝2，所以f(x)＝2sin.由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，所以函数f(x)的图象关于点对称，故选B．
4．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(，0)对称；
②图象关于点(，0)对称；
③在[0，]上是增函数；
④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．
[答案] ②④
[解析] 由最小正周期为π得，＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)，当x＝时，f()＝≠0，故①错；当x＝时，f()＝0，故②正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ＋，令k＝0得，－≤x≤，故③错，④正确，∴正确结论为②④.
考点三
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
根据三角函数的图象(或性质)求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面，主要考查由图象(或性质)求解析式；由图象(或性质)求解析式中参数的值；由图象(或性质)解决相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中低档题.
确定y＝A
sin
(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析 由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A．
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D 由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
3．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0，所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝.故选C.
4．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.
解析：依题意得
＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin
φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.
答案：sin
5．(多选题)(2021·菏泽联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
B.函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－
D.函数g(x)在区间上单调递增
答案 ABD
解析 由图知，A＝2，＝π，∴T＝4π＝，得ω＝.故f(x)＝2sin.∵点(0，1)在函数图象上，∴2sin
4φ＝1，即sin
4φ＝.又∵0＜φ＜，∴0＜4φ＜，∴4φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，故A正确.将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得y＝2sin的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin的图象，故B正确.当x＝－时，f＝2sin
0＝0，不是最值，故直线x＝－不是f(x)图象的一条对称轴，故C不正确.当x∈时，2x－∈，则g(x)＝2sin在上单调递增，故D正确.故选ABD.
考点四
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
三角函数图象的变换多出现在选择题中，以y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象为基础，进行横向伸缩变换及纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象为基础进行逆向变换.属于必得分题.
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝A
sin
(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A 函数y＝2sin＝2sin，可由函数y＝2sin
2x的图象向右平移个单位长度得到．故选A.
2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选D 函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
3．要得到函数y＝sin
x的图象，只要将函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选A y＝cos向右平移个单位得y＝cos＝cos＝sin
x.
4．(多选题)(2020·长沙联考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
解析 (1)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可知B正确；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递减区间为，k∈Z，令k＝－1，可知C正确，故选BC.
5．(2016·湖北八校第二次联考)把函数y＝sin
x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
[解析] 把函数y＝sin
x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为y＝sin(x∈R)．选C
6．(2012·浙江质检)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象可以由函数y＝2sin2x的图象经哪种平移得到( )
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)＝2sin2(x＋)，∴f(x)的图象可以由函数y＝2sin2x向左平移个单位得到，故应选B.
7．(2018·呼和浩特一调)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位长度后得到的函数是一个偶函数，则φ＝________.
[解析] 由题意得y＝sin是一个偶函数，因此＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－.
8．(2017·郑州二次质量预测)将函数f(x)＝－cos
2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
解析：B [由题意得函数g(x)＝－cos＝－sin
2x，易知其为奇函数，由－＋2kπ＜2x＜＋2kπ，k∈Z得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin
2x的单调递减区间为，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin
2x在上单调递减，故选B.]
9．[多选]若把函数y＝sin
(ωx－)的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos
ωx的图象重合，则ω的可能取值是( )
A．2 B．4
C．－4 D．
[解析] AC [y＝sin
(ωx＋π－)和函数y＝cos
ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴－4，2是ω的可能取值．故选AC.]
考点五
三角函数公式的基本应用
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三角函数求值中.
1．(2019·全国Ⅰ卷)tan
255°＝( )
A.－2－
B.－2＋
C.2－
D.2＋
答案 D
解析 tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.故选D.
3．(2020·全国Ⅱ卷)若sin
x＝－，则cos
2x＝________.
解析 因为sin
x＝－，所以cos
2x＝1－2sin2x＝.答案
4．已知cos
α＝－，α是第三象限角，则cos的值为( )
A. B．－ C.
D．－
解析：选A ∵cos
α＝－，α是第三象限的角，∴sin
α＝－＝－＝－，
∴cos＝cos
cos
α－sin
sin
α＝×－×＝.
5．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan
θ－tan＝7，则tan
θ＝( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 D
解析 2tan
θ－tan＝2tan
θ－＝7，解得tan
θ＝2.故选D.
6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan
α＝2，则cos＝________.
解析：cos＝cos
αcos
＋sin
αsin
＝(cos
α＋sin
α)．
又由α∈，tan
α＝2，知sin
α＝，cos
α＝，∴cos＝×＝.
7．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin
2α＝( )
A．
B．
C．－
D．－
解析：因为cos＝，
所以sin
2α＝cos＝cos
2＝2cos－1＝2×－1＝－.
8．已知sin
α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－
B. C. D．－
解析：选A 因为sin
α＝，α∈，所以cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tan
β，所以tan
β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
9．(2016·山西四校联考)已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是( )
A.
B. C．－
D．1
解析：选C 由已知得cos
α＝，sin
α＝－，cos＝cos
α＋sin
α＝－.
10．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
解析：∵sin
α－cos
α＝，∴(sin
α－cos
α)＝1－2sin
αcos
α＝1－sin
2α＝，∴sin
2α＝－.故选A．
11．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，)，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝( )
A.
B．
C.
D．
解析：B [由二倍角公式可知4sin
αcos
α＝2cos2α.
∵α∈(0，)，∴cos
α≠0，∴2sin
α＝cos
α，∴tan
α＝，∴sin
α＝.故选B.]
考点六
三角函数公式的逆用与变形用
主要考查对三角函数公式的熟练掌握程度，对公式结构的准确理解和记忆.
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
1．＝________.
解析：＝＝＝＝.
答案：
2．计算：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
解析：∵tan
60°＝＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan
20°＋tan
40°＝(1－tan
20°tan
40°)．
∴tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝(1－tan
20°tan
40°)＋tan
20°tan
40°＝.
考点七
角的变换与名的变换
三角函数公式中角的变换与名的变换在三角函数求值中经常考查，题目难度不大，属于中低档题.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(＋α)＋(－α)＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
1．(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，则cos
β＝( )
A．
B．
C．或－
D．或
解析：因为α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，所以sin
α＝，cos(α－β)＝，从而cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝，故选A．
2．(2018·南宁)若锐角α，β满足sin
α＝，tan(α－β)＝，则tan
β＝________.
解析：因为锐角α满足sin
α＝，所以cos
α＝＝，则tan
α＝＝，
tan
β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.
3．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos
β的值．
解析： (1)∵α，β∈，从而－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，且sin
α＝，∴cos
α＝.
∴cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．
考点八
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形等知识综合命题，难度中等.
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝a
sin
x＋b
cos
x化为y＝sin
(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
1．(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)(cos
x－sin
x)的最小正周期是( )
A．
B．π
C．
D．2π
解析：法一：∵f(x)＝(sin
x＋cos
x)(cos
x－sin
x)
＝4＝4sincos
＝2sin，∴T＝＝π.
法二：∵f(x)＝(sin
x＋cos
x)(cos
x－sin
x)＝3sin
xcos
x＋cosx－sinx－sin
xcos
x
＝sin
2x＋cos
2x＝2sin，∴T＝＝π.故选B．
2．(2018·长春模拟)设函数f(x)＝sin
xcos
x＋cos2
x＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值．
解：(1)因为f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x＋a＝sin
2x＋(1＋cos
2x)＋a＝sin
2x＋cos
2x＋a＋
＝sin＋a＋.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
当2x＋＝－时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝－＋a＋＝a；
当2x＋＝时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝1＋a＋＝a＋.
所以a＋a＋＝，所以a＝0.
3．(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sin
xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)f(x)＝2sin
x＝×＋sin
2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，
f(x)∈.
故f(x)的值域为.
4．已知函数f(x)＝5sin
xcos
x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解：(1)因为f(x)＝sin
2x－(1＋cos
2x)＋＝5＝5sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
5．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinx
cos
x(x∈R).
(1)求f()的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] (1)由sin
＝，cos
＝－，得f()＝()2－(－)2－2××(－)＝2.
(2)由cos
2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sin
x
cos
x，
得f(x)＝－cos
2x－sin
2x＝－2sin
(2x＋).
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
考点九
三角函数的定义域与值域
三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常与三角恒等变换结合考查，常见的考查形式有：(1)求已知函数的定义域和值域；(2)由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
三角函数值域的3种求法
(1)直接法：利用sin
x，cos
x的值域．
(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．
1．函数y＝tan
2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以y＝tan
2x的定义域为.
2．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1
B．－ C.
D．0
解析：选B 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－
的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos
x－＝－cos2x＋cos
x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos
x∈[0,1]，因此当cos
x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
4．(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos
2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：∵f(x)＝cos
2x＋6cos＝cos
2x＋6sin
x＝1－2sinx＋6sin
x＝－2＋，
又sin
x∈[－1,1]，∴当sin
x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．
5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin
(2x＋)－3cos
x的最小值为________．
解析：－4 [f(x)＝sin
(2x＋)－3cos
x＝－cos
2x－3cos
x＝－2cos2x－3cosx＋1，
令cos
x＝t，则t∈[－1，1].f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2(t＋)2＋，
易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.]
6．函数y＝sin
x－cos
x＋sin
x
cos
x的值域为________．
[－－，1] [设t＝sin
x－cos
x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cos
x，sin
x
cos
x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为[－－，1].]
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).4.2
三角函数图象与性质、三角恒等变换
一、整合教材知识，落实基本能力
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
x≠kπ＋
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
增减区间
增
减
增[2kπ－π，2kπ]
减[2kπ，2kπ＋π]
增
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心(kπ，0)
对称中心
对称中心
对称轴：x＝kπ＋
对称轴：x＝kπ
无对称轴
周期
2π
2π
π
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念：振幅A，周期：T＝
3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
4．由y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
[知识拓展] (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋，k∈Z.
②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.
5．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinα
cosβ
±
cosα
sinβ；
(2)cos(α±β)＝cosα
cosβ
?
sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
6．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sinα
cosα；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
7．有关公式的变形、逆用
(1)
①sin2α＝(1－cos
2α)；
②cos2α＝(1＋cos
2α)．
(2)①1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2；
②sin
α±cos
α＝sin.
8．半角公式
9．辅助角公式
a
sinα＋b
cos
α＝sin
(α＋φ)(其中sin
φ＝，cos
φ＝.)
1．公式的常用变式：sin
2α＝＝；
cos2α＝＝．
2．降幂公式：sin2α＝；
cos2α＝；
sin
αcos
α＝sin
2α.
3．升幂公式：1＋cos
α＝2cos2；
1－cos
α＝2sin2；
4．半角正切公式：tan
＝＝.
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
三角函数的单调性
三角函数的单调性是高考对三角函数性质考查的一个重要方面，几乎每年必考，其考查角度为求已知函数的单调区间或讨论其单调性，三角函数的单调性在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，多为中档题.
(1)形如y＝A
sin
(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin
x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
角度1 求三角函数的单调性
1．(2021·全国Ⅰ卷)下列区间中，函数单调递增的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
2．(2016·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A．
(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．
(k∈Z)
3．函数f(x)＝sin的单调减区间为________.
4．函数f(x)＝cos
x－sin
x的单调递增区间为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝sin＋cos
2x，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A．
B．
C．
D．
角度2 根据函数的单调性求参数
1．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos
x－sin
x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
2．(2012·新课标全国理)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，]
B．[，]
C．(0，]
D．(0,2]
考点二
三角函数的周期性、奇偶性及对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性是高考对三角函数性质考查的重要内容，并且这三种性质的考查往往融合为一体，多以“小而活”的客观题形式出现，题目难度不大，多为中低档题.常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的应用。
求解三角函数y＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sin
x的对应性质，利用整体代换的思想求解．
角度1 三角函数的周期性
1．(2017·全国卷Ⅱ
)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π
D.
2．(2016·漳州二模)函数y＝3cos的最小正周期是( )
A.
B.
C．2π
D．5π
角度2 三角函数的奇偶性
1．函数y＝1－2sin是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
2．(2015·吉林模拟)函数f(x)＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
3．已知函数f(x)＝3sin
(2x－＋φ)，φ∈(0，π).
(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；
(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________．
若f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
4．(2015·昆明模拟)若函数f(x)＝cos
(2x＋φ－)，φ∈(0，π)是奇函数，则φ＝________.
5．函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A.
B.
C.
D.
角度3 三角函数的对称性
1．(2012·福建)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点．
2．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
3．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
4．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A．
B．
C．
D．
5．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2
B.
C.1
D.
6．已知函数f(x)＝2sin
(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点(，0)对称
B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
7．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且?x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A．(－，0)
B．(－，0)
C．(，0)
D．(，0)
角度4
三角函数性质的综合应用
1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
2．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
3．(2018·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的周期为π，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
4．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(，0)对称；
②图象关于点(，0)对称；
③在[0，]上是增函数；
④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．
考点三
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
根据三角函数的图象(或性质)求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面，主要考查由图象(或性质)求解析式；由图象(或性质)求解析式中参数的值；由图象(或性质)解决相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中低档题.
确定y＝A
sin
(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
4．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.
5．(多选题)(2021·菏泽联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
B.函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－
D.函数g(x)在区间上单调递增
考点四
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
三角函数图象的变换多出现在选择题中，以y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象为基础，进行横向伸缩变换及纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象为基础进行逆向变换.属于必得分题.
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝A
sin
(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin
D．y＝2sin
3．要得到函数y＝sin
x的图象，只要将函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
4．(多选题)(2020·长沙联考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
5．(2016·湖北八校第二次联考)把函数y＝sin
x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
6．(2012·浙江质检)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象可以由函数y＝2sin2x的图象经哪种平移得到( )A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
7．(2018·呼和浩特一调)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位长度后得到的函数是一个偶函数，则φ＝________.
8．(2017·郑州二次质量预测)将函数f(x)＝－cos
2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
9．[多选]若把函数y＝sin
(ωx－)的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos
ωx的图象重合，则ω的可能取值是( )A．2 B．4
C．－4 D．
考点五
三角函数公式的基本应用
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三角函数求值中.
1．(2019·全国Ⅰ卷)tan
255°＝( )
A.－2－
B.－2＋
C.2－
D.2＋
3．(2020·全国Ⅱ卷)若sin
x＝－，则cos
2x＝________.
4．已知cos
α＝－，α是第三象限角，则cos的值为( )
A. B．－ C.
D．－
5．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan
θ－tan＝7，则tan
θ＝( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan
α＝2，则cos＝________.
7．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin
2α＝( )
A．
B．
C．－
D．－
8．已知sin
α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－
B. C. D．－
9．(2016·山西四校联考)已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是( )
A.
B. C．－
D．1
10．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
11．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，)，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝( )
A.
B．
C.
D．
考点六
三角函数公式的逆用与变形用
主要考查对三角函数公式的熟练掌握程度，对公式结构的准确理解和记忆.
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
1．＝________.
2．计算：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
考点七
角的变换与名的变换
三角函数公式中角的变换与名的变换在三角函数求值中经常考查，题目难度不大，属于中低档题.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(＋α)＋(－α)＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
1．(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，则cos
β＝( )
A．
B．
C．或－
D．或
2．(2018·南宁)若锐角α，β满足sin
α＝，tan(α－β)＝，则tan
β＝________.
3．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos
β的值．
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．
考点八
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形等知识综合命题，难度中等.
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝a
sin
x＋b
cos
x化为y＝sin
(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
1．(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)(cos
x－sin
x)的最小正周期是( )
A．
B．π
C．
D．2π
2．(2018·长春模拟)设函数f(x)＝sin
xcos
x＋cos2
x＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值．
3．(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sin
xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
4．已知函数f(x)＝5sin
xcos
x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
5．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinx
cos
x(x∈R).
(1)求f()的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
考点九
三角函数的定义域与值域
三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常与三角恒等变换结合考查，常见的考查形式有：(1)求已知函数的定义域和值域；(2)由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
三角函数值域的3种求法
(1)直接法：利用sin
x，cos
x的值域．
(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．
1．函数y＝tan
2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
2．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1
B．－ C.
D．0
3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－
的最大值是________．
4．(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos
2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin
(2x＋)－3cos
x的最小值为________．
6．函数y＝sin
x－cos
x＋sin
x
cos
x的值域为________．
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
