4.3
正弦定理和余弦定理
一、整合教材知识，落实基本能力
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R．
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
c2＝a2＋b2－2ab·cosC
变形形式
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝
cos
A＝
cos
B＝
cos
C＝
解决问题
1已知两角和任一边，求另一角和其他两边
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
2．三角形常用面积公式
S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A=ah
(h表示边a上的高)；
在△ABC中，(1)
A＞B?a＞b?sin
A＞sin
B；(2)
sin
(A＋B)＝sin
C；(3)
cos
(A＋B)＝－cos
C．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题．
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
1．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝____．
2．已知在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角是( )
A．135°
B．90°
C．120°
D．150°
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos
B等于( )
A． B． C． D．
4．(2016·兰州一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin
B，则A＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2a
sin
B＝b，则角A＝________．
6．（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin
B=___________，c=___________．
7．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2
，cos
A＝且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2 C．2
D．
8．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos
C＝－，3sin
A＝2sin
B，则c＝________．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcos
C＋csinBcos
A＝b，且a>b，则B＝( )
A．
B．
C．
D．
10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos
B＝acos
C＋ccos
A，则B＝________．
11．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a
sin
B
cos
C＋c
sin
B
cos
A＝b，且a＞b，则B＝( )A．
B．
C．
D．
12．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b
sin
A＋a
cos
B＝0，则B＝________．
13．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝( )
A．
B．
C．2
D．3
14．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B＝( )
A．
B．
C．
D．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos
C＝( )
A．
B．－
C．
D．－
16．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
sin
A－b
sin
B＝4c
sin
C，cos
A＝－，则＝( )A．6
B．5
C．4
D．3
17．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________．
18．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A．
B．
C．
D．3
19．[多选]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bc
cos
A
B．a
sin
B＝b
sin
A
C．a＝b
cos
C＋c
cos
B
D．a
cos
B＋b
cos
A＝sin
C
20．(2016·兰州双基测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝．(1)求b的值；(2)求sin
C的值．
21．(2016·山师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
A＝acos
B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin
C＝2sin
A，求a，c的值．
22．(2020·全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
角度2
与三角恒等变换相结合
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sin
B－sin
C)2＝sin2A－sinB
sin
C．
①求A；②若a＋b＝2c，求sin
C．
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
2．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；(2)若sin
A＋sin
C＝，求C．
3．(2021·天津)在，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
4．（2018年天津卷理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值．
5．（2018年天津卷文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–)．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
角度3
与多个三角形相结合
1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
2．（2018年北京卷理）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=
–．
（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．
3．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．
求；若，求BC．
4．如图所示，在四边形ABCD中，，且，，．
求的面积；若，求AB的长．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin
A＋cos
A＝0，a＝2，b＝2．
(1)求c；(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
考点二
利用正、余弦定理判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中考查频率不高，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．
判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
1．(教材改编)在△ABC中，acos
A＝bcos
B，则这个三角形的形状为________．
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin
Acos
B＝sin
C，那么△ABC一定是( )A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋b2－c2＝ab，且2cos
A
sin
B＝sin
C，则△ABC的形状为
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
考点三
与三角形面积有关的问题
正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与求三角形面积或取值范围结合进行考查．有时是求三角形面积，有时是以三角形面积作为已知条件出现，求与三角形有关的量的取值范围，此时难度较大．有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能考查，属于中档题．
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
1．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为________．
2．（2018全国I）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
3．(2016·长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )A．
B．1 C．
D．2
4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝( )A．
B．
C．
D．
5．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
6．(2016·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m＝与n＝平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
7．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin
Asin
C．
(1)若a＝b，求cos
B；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos
A＝acos
C．
(1)求角A的大小；(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sinBsin
C；(2)若6cos
Bcos
C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
考点四
与三角形有关的最值(范围)问题
解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
1．在钝角△ABC中
，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若a
cos
A＝b
sin
A，则sin
A＋sin
C的最大值为( )A． B． C．1 D．
2．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________．
3．（2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos
2A＋＝2cos
A．
(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
5．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C．
(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
6．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsin
A－a＝0．
(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．4.3
正弦定理和余弦定理
一、整合教材知识，落实基本能力
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R．
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bc·cosA
b2＝c2＋a2－2ca·cosB
c2＝a2＋b2－2ab·cosC
变形形式
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝
cos
A＝
cos
B＝
cos
C＝
解决问题
1已知两角和任一边，求另一角和其他两边
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
2．三角形常用面积公式
S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A=ah
(h表示边a上的高)；
在△ABC中，(1)
A＞B?a＞b?sin
A＞sin
B；(2)
sin
(A＋B)＝sin
C；(3)
cos
(A＋B)＝－cos
C．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题．
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
1．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝____．
解析：由正弦定理，得sin
B＝＝＝，
因为0°＜B＜180°，所以B＝45°或135°．
因为b＜c，所以B＜C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°．
答案：75°
2．已知在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角是( )
A．135°
B．90°
C．120°
D．150°
解析：选C 由sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C．由余弦定理得cos
C＝－，∴C＝120°．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos
B等于( )
A． B． C． D．
解析：选C 因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cos
B＝．
4．(2016·兰州一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin
B，则A＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：选A 因为在锐角△ABC中，b＝2asin
B，由正弦定理得，sin
B＝2sin
Asin
B，所以sin
A＝，又0°
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2a
sin
B＝b，则角A＝________．
解析： [因为2a
sin
B＝b，所以2sin
A
sin
B＝sin
B，得sin
A＝，所以A＝或A＝．因为△ABC为锐角三角形，所以A＝．]
6．（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin
B=___________，c=___________．
解析：由正弦定理得,所以
由余弦定理得（负值舍去）．
7．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2
，cos
A＝且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2 C．2
D．
解析：选C 由a2＝b2＋c2－2bccos
A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4．又b＜c，∴b＝2．
8．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos
C＝－，3sin
A＝2sin
B，则c＝________．
解析：∵3sin
A＝2sin
B，∴3a＝2b．又a＝2，∴b＝3．
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4．
答案：4
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcos
C＋csinBcos
A＝b，且a>b，则B＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由正弦定理得，sin
Asin
Bcos
C＋sin
Csin
Bcos
A＝sinB，
所以sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin
B＝．
已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝．
10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos
B＝acos
C＋ccos
A，则B＝________．
解析：法一：由2bcos
B＝acos
C＋ccos
A及正弦定理，得2sin
Bcos
B＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A．
∴2sin
Bcos
B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B．
∴2sin
Bcos
B＝sin(π－B)＝sin
B．又sin
B≠0，∴cos
B＝．∴B＝．
法二：由2bcosB＝acos
C＋ccos
A及余弦定理，得2b·＝a·＋c·，
整理得，a2＋c2－b2＝ac，所以2accosB＝ac＞0，cosB＝．又0＜B＜π，所以B＝．
法三：∵在△ABC中，acos
C＋ccos
A＝b，∴条件等式变为2bcos
B＝b，∴cos
B＝．
又0＜B＜π，∴B＝．
11．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a
sin
B
cos
C＋c
sin
B
cos
A＝b，且a＞b，则B＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：A [由正弦定理得，sin
A
sin
B
cos
C＋sin
C
sin
B
cos
A＝sin
B，因为sin
B≠0，所以sin
A
cos
C＋sin
C
cos
A＝，即sin
(A＋C)＝，所以sin
B＝．已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝．]
12．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b
sin
A＋a
cos
B＝0，则B＝________．
解析： [∵b
sin
A＋a
cos
B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos
B＝sin
B，∴tan
B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．]
13．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝( )
A．
B．
C．2
D．3
解析：由余弦定理得5＝b＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．
14．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以cos
B＝＝＝．故选A．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos
C＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选B 由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a，∴cos
C＝＝＝－．
16．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
sin
A－b
sin
B＝4c
sin
C，cos
A＝－，则＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：A [∵a
sin
A－b
sin
B＝4c
sin
C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2．
由余弦定理得cos
A＝＝＝＝－，∴＝6．故选A．]
17．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________．
解析：在△ABC中，∵cos
A＝，cos
C＝，
∴sin
A＝，sin
C＝，∴sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝．
又∵＝，∴b＝＝＝．
18．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A．
B．
C．
D．3
解析：选B 由题意得cos
A＝＝＝，
∴sin
A＝
＝，∴边AC上的高h＝ABsin
A＝．
19．[多选]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bc
cos
A
B．a
sin
B＝b
sin
A
C．a＝b
cos
C＋c
cos
B
D．a
cos
B＋b
cos
A＝sin
C
解析：ABC [由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：
在A中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，故A正确；
在B中，由正弦定理得：＝，∴a
sin
B＝b
sin
A，故B正确；
在C中，∵a＝b
cos
C＋c
cos
B，∴由余弦定理得：a＝b×＋c×，整理，得2a2＝2a2，故C正确；
在D中，由余弦定理得a
cos
B＋b
cos
A＝a×＋b×＝c≠sin
C，故D错误．故选ABC．]
20．(2016·兰州双基测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝．(1)求b的值；(2)求sin
C的值．
解：(1)因为b2＝a2＋c2－2accos
B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝．
(2)因为cos
B＝，所以sin
B＝，由正弦定理＝，得＝，所以sin
C＝．
21．(2016·山师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
A＝acos
B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin
C＝2sin
A，求a，c的值．
解：(1)∵bsin
A＝acos
B，由正弦定理得sin
Bsin
A＝sin
Acos
B．
在△ABC中，sin
A≠0，即得tan
B＝，∴B＝．
(2)∵sin
C＝2sin
A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，
解得a＝，∴c＝2a＝2．
22．(2020·全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
角度2
与三角恒等变换相结合
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sin
B－sin
C)2＝sin2A－sinB
sin
C．
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin
C．
[解] ①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB
sin
C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc．
由余弦定理得cos
A＝＝．
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°．
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin
A＋sin
(120°－C)＝2sin
C，
即＋cos
C＋sin
C＝2sin
C，
可得cos
(C＋60°)＝－．
由于0°＜C＜120°，
所以sin
(C＋60°)＝，
故sin
C＝sin
(C＋60°－60°)＝sin
(C＋60°)cos
60°－cos
(C＋60°)sin
60°＝．
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
2．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin
A＋sin
C＝，求C．
解 (1)由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos
150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2．
因此△ABC的面积为×2×2×sin
150°＝．
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin
A＋sin
C＝sin(30°－C)＋sin
C＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝．
而0°所以30°＋C＝45°，故C＝15°．
3．(2021·天津)在，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
4．（2018年天津卷理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值．
解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
5．（2018年天津卷文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–)．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．因为a所以，
角度3
与多个三角形相结合
1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
解析：（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
2．（2018年北京卷理）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=
–．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
解析：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．
由正弦定理得
=，∴sinA=．
∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．
3．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．
求；若，求BC．
【答案】解：在中，，，，
可得，即有，
可得锐角ADB为；
在中，，，，
可得，
可得．
【解析】在中，运用正弦定理，计算可得所求角；
在中，运用余弦定理计算可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．如图所示，在四边形ABCD中，，且，，．
求的面积；若，求AB的长．
【答案】解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，，面积；
在中，，所以，
因为，，
所以，?
所以
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin
A＋cos
A＝0，a＝2，b＝2．
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：(1)由已知条件可得tan
A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c
cos
，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4．
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，又△ABC的面积为×4×2sin
∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为．
法二：由余弦定理得cos
C＝，在Rt△ACD中，cos
C＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin
C＝×＝．
法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos
C＝，所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin
∠DAB＝．
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
考点二
利用正、余弦定理判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中考查频率不高，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．
判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
1．(教材改编)在△ABC中，acos
A＝bcos
B，则这个三角形的形状为________．
解析：等腰三角形或直角三角形 由正弦定理，得sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，即sin
2A＝sin
2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由正弦定理得sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin
A＝sin2A．
∵A∈(0，π)，∴sin
A>0，∴sin
A＝1，即A＝．故△ABC是直角三角形．
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin
Acos
B＝sin
C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：B 法一：由已知得2sin
Acos
B＝sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B．
法二：由正弦定理得2acos
B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a＝b?a＝b．
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋b2－c2＝ab，且2cos
A
sin
B＝sin
C，则△ABC的形状为
[解] ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos
C＝＝，
又0＜C＜π，∴C＝，
又由2cos
A
sin
B＝sin
C得sin
(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
考点三
与三角形面积有关的问题
正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与求三角形面积或取值范围结合进行考查．有时是求三角形面积，有时是以三角形面积作为已知条件出现，求与三角形有关的量的取值范围，此时难度较大．有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能考查，属于中档题．
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab
sin
C＝ac
sin
B＝bc
sin
A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
1．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为________．
解析：∵cos
C＝，0＜C＜π，∴sin
C＝，∴S△ABC＝absin
C＝×3×2×＝4．
2．（2018全国I）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
解析：根据题意，结合正弦定理可得，即，
结合余弦定理可得，
所以A为锐角，且，从而求得，
所以△的面积为，故答案是．
3．(2016·长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A．
B．1 C．
D．2
解析：选C ∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos
A＝，∴A＝．又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsin
A＝，故选C．
4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 因为a2＋b2－c2＝2abcos
C，且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin
C，所以tan
C＝1．又C∈(0，π)，故C＝．
5．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
解析：6 [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c
cos
，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝ac
sin
B＝×4×2×sin
＝6．
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c
cos
，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6．]
6．(2016·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m＝与n＝平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解析：(1)因为m∥n，所以asin
B－bcos
A＝0，
由正弦定理，得sin
Asin
B－
sin
Bcos
A＝0，又sin
B≠0，从而tan
A＝．
由于0＜A＜π，所以A＝．
(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A，而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0．因为c＞0，所以c＝3．
故△ABC的面积为bcsin
A＝．
法二：由正弦定理，得＝，从而sin
B＝．
又由a＞b，知A＞B，所以cos
B＝．
故sin
C＝sin(A＋B)＝sin＝sin
Bcos＋cos
Bsin＝．
所以△ABC的面积为absin
C＝．
7．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin
Asin
C．
(1)若a＝b，求cos
B；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac．
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c．由余弦定理可得cos
B＝＝．
(2)由(1)知b2＝2ac．因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝．所以△ABC的面积为××＝1．
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos
A＝acos
C．
(1)求角A的大小；(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2b－c)cos
A＝acos
C，
由正弦定理得2sin
Bcos
A＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A，
即2sin
Bcos
A＝sin(A＋C)，所以2sin
Bcos
A＝sin
B，
因为0B≠0，所以cos
A＝，因为0(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)知A＝，
所以cos
A＝＝＝，解得c＝，所以b＝2．
所以S△ABC＝bcsin
A＝×2××＝．
9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sinBsin
C；(2)若6cos
Bcos
C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解：(1)由题设得acsin
B＝，即csin
B＝．
由正弦定理得sin
Csin
B＝．故sin
Bsin
C＝．
(2)由题设及(1)得cos
Bcos
C－sin
Bsin
C＝－，即cos(B＋C)＝－．
所以B＋C＝，故A＝．由题设得bcsin
A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周长为3＋．
考点四
与三角形有关的最值(范围)问题
解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
1．在钝角△ABC中
，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若a
cos
A＝b
sin
A，则sin
A＋sin
C的最大值为( )
A． B． C．1 D．
解析 B [∵a
cos
A＝b
sin
A，由正弦定理可得，sin
A
cos
A＝sin
Bsin
A，∵sin
A≠0，∴cos
A＝sin
B，又B为钝角，
∴B＝A＋，sin
A＋sin
C＝sin
A＋sin
(A＋B)＝sin
A＋cos
2A＝sin
A＋1－2sin2A＝－2(sinA－)2＋，
∴sin
A＋sin
C的最大值为.]
2．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________．
答案 9
解析 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos
A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝．
法一 ∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin
B，c＝2sin
C，
则a＋b＋c＝3＋2sin
B＋2sin
C＝3＋2sin
B＋2sin
＝3＋3sin
B＋3cos
B＝3＋6sin，
∵B∈，∴当B＝时，周长取得最大值9．
法二 ∵a＝3，∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·，∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c＞0，∴0＜b＋c≤6，当且仅当b＝c时取“＝”，
∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9．
3．（2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
解析：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos
2A＋＝2cos
A．
(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
解：(1)由题意，得2cos2A＋＝2cos
A，即4cos2A－4cos
A＋1＝0，解得cos
A＝．
因为0(2)根据正弦定理：＝＝，得b＝sin
B，c＝sin
C，
所以l＝1＋b＋c＝1＋(sin
B＋sin
C)．因为A＝，所以B＋C＝，
所以l＝1＋＝1＋2sin．
因为05．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C．
(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解析：(1)由正弦定理和已知条件得 用正弦定理化角为边
BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A．②
由①②得cos
A＝－． 用余弦定理化边为角
因为0(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin
B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos
B－sin
B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin
B＋3cos
B＝3＋2sin． 两角和正弦公式的逆用
又06．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsin
A－a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．
解析：(1)由正弦定理，得2sin
Bsin
A＝sin
A，故sin
B＝，由题意得B＝．
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．
由△ABC是锐角三角形，得A∈
．由cos
C＝cos＝－cos
A＋sin
A，得
cos
A＋cos
B＋cos
C＝sin
A＋cos
A＋＝sin＋∈．
故cos
A＋cos
B＋cos
C的取值范围是．