整式的运算经典解析

整式的基本概念
1、代数式的有关概念
代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念
（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．
说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如就不是一个单项式． a2是一个单项式，因为a2可以看作是a·a．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0， ，x，等都是单项式
（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x3yz4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．
（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．
说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x3－x2y2＋x中，单项式x3的次数是3，单项式－x2y2的次数是4，单项式x的次数是1，所以多项式x3－x2y2＋x的次数是4．
（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。
说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x2中，二次项是－3x2．
（7）常数项的定义：　在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。
（8）降幂排列：　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．
（9）升幂排列　：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：
x3＋2x4y－7xy3－y4－7＝2x4y＋x3－7xy3－y4－7　　　　　　 　　①
＝－7－y4－7xy3＋x3＋2x4y　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ②
＝－y4－7xy3＋2x4y＋x3－7　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 ③
＝－7＋x3＋2x4y－7xy3－y4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④
其中，①是按x的降幂排列；②是按x的升幂排列；③是按y的降幂排列；④是按y的升幂排列．
（10）整式的定义：　单项式和多项式统称整式．
说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x2，x等都是整式，多项式3－x，－x3－x＋1等都是整式；在整式2x，x4－1中，2x是单项式，x4－1是多项式．
探究引导： 是二次单项式，这里要注意是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b，它的指数是2，就是一个二次单项式。
代数式4a－4b是单项式4a,－4b的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式4a－4b中的项是4a和－4b，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是－4b。
在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. x2y这一项在x2y+2y－1中次数最高，因此我们把x2y的次数3作为多项式x2y+2y－1的次数，即x2y+2y－1是一个三次三项式。
二、方法频道 由解题理解知识，由知识学会解题
1. 对单项式、多项式、整式进行判断
例1　判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．
(1)－3xy2； (2)2x3＋1； (3)(x＋y＋1)； (4)－a2； (5)0；
(6)； (7)； (8)； (9)x2＋－1； (10)；
解：单项式有：(1)－3xy2，(4)－a2，(5)0，(7)；
多项式有：(2)2x3＋1，(3) (x＋y＋1)；
不是整式的有：(6)，(8)，(9)x2＋－1，(10)．
知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x即,或x÷2即这样的式子，那么,是整式吗？可以写成·x,所以是单项式，而是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)；(8)；(9)x2＋－1；(10)；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。
例2、　填空：
（1）多项式2x4-3x5-2π4是 次 项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x升幂排列得 ；
（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母b降幂排列得 .
解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;
（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.
解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。
三、例题频道
（一）题型分类全析
1、与代数式有关的题型
例1. 用代数式表示：
（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。
（3）用字母表示两个连续奇数为___________。
（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________。
（
思维直现：（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；
解：（1）（100－t）
（2）10b＋a
（3）2n－1，2n＋1（n为整数）
　 阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10b＋a；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：要写成的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（＋）平方米。
题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。
建议： 对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。
2、单项式、多项式的概念有关的题型
例2一个五次多项式，它的任何一项的次数都
A．小于5　　　　　B．等于5　　　　　　C．不小于5　　　　　D．不大于5
思维直现：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于五次的．因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的．
解答：选D。
例3说出下列各多项式分别是几次几项式．
(1)3x－23； (2)a2b＋2a－3b－4； (3)；
(4)(a3－b3＋1)×； (5)x6－x5＋3x2－12x＋a； (6)2(xy＋x3－y＋π4)．
思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。
解：(1)多项式3x－23是一次二项式；
(2)多项式a2b＋2a－3b－4是三次四项式；
(3)因为＝x2－x＋4，所以多项式是二次三项式；
(4)因为(a3－b3＋1)×＝a3－b3＋，所以多项式(a3－b3＋1)×是三次三项式；
(5)多项式x6－x5＋3x2－12x＋a是六次五项式；
(6)因为2(xy＋x3－y＋π4)＝2xy＋x3－2y＋2π4，所以多项式2(xy＋x3－y＋π4)是三次四项式．
阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时，就需要对其整理变形，使其成为标准形式的多项式．如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了．另外，常数项中的指数，不能做为多项式的次数．如第(1)、(6)小题中23、π4，不影响多项式的次数．
题评解说：判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解答时会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加了本题的难度。
建议：要概念清晰，排除干扰。
（二）思维重点突破
例5若－3axym是关于x、y的单项式，且系数为－6，次数为3，则a＝________，m＝________．
思维直现：“关于x、y的单项式”说明只有x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，所以－3a是系数，也就是－6，即－3a＝－6，解得：a＝2．而单项式的次数是x、y的指数和：（1＋m），也就是3．因此1＋m＝3得m＝2．
解：a＝2，m＝2
阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。在本题中x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，这两点一定要理解到位。
例6　当x为何值时，下列多项式可化简为关于y的一次单项式．
(1)x－5y－5； (2) ＋6．
思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0．如(1)中，要使多项式x－5y－5化简为关于y的一次单项式，只保留－5y这一项，其余各项的和为0，即使x－5＝0的x的值即为所要求的x的值．
解：(1)由x－5＝0，即x＝5，得x＝．
所以当x＝时，多项式x－5y－5可化简为关于y的一次单项式．
(2)多项式＋6可化为x＋y＋4．由x＋4＝0，即x＝－4，得x＝－8．
所以当x＝－8时，多项式＋6可化简为关于y的一次单项式．
建议：要多项式可化简为关于y的一次单项式，就要能够将含y的项从多项式中分离出来，其它部分的和是0即可。
整式的运算复习指导
一、知识结构图：
二、有关的运算法则：
一）、幂的运算性质：
（1）am an=_______（m，n都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整数）；
（3）（am）n=______（m，n都是正整数）；
（4）（ab）n=________（n是正整数）
（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．
（6）完全平方公式：（a±b）2=__________．
.
答案：（1）am+n；（2）am-n；（3）amn
（4）an bn ；（5）（a+b）（a-b）=a2-b2;(6) （a±b）2=a2±2ab+ b2;
二）、整式的乘法法则：
（1）单项式相乘法则：把单项式的系数与相同的字母分别相乘、对于只在一个单项式中含有的字母则连同它的次数作为积的一个因式；
（2）多项式相乘，把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，可以参考单项式的乘法法则，把所得到的积相加减，有同类项的要合并同类项；
（3）运算技巧的运用：整体求值、联系待定系数法求未知的系数、次数和其中含有的字母的值；
三、考点例析：
一）、考查基本运算法则、公式等：
例1、（11佛山）计算： .
答案：；
例2、（11孝感）下列运算中正确的是（ ）
A．；B．；C．； D．
答案：D；
例3、（11广州）下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． B．； C．； D． ；
答案：D．
点评：对照完全平方公式：可以看出：；
而其它三个选项都是错误的；
二）、同类项的概念
例4、 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．
【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 ( http: / / www. / ) 解出即可；求出：
所以：
三）、整式的化简与运算
例5、(11江西)先化简，再求值：
， 其中．
解：
．
当时，原式．
四）、定义新运算：
例6、（08孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：，
则方程的解为 ．17．
点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）；
（2），所以：，求出：；
例7、（08 宿迁）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则．
（1）由：得出： ( http: / / www. / )，
所以：（2）
五）整体思想的运用：
例8、计算：
分析：这里的底数为：、，而这两个式子恰为相反数，我们可以把看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化：、两项的底数为，所以有：
解：原式===；
点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数，这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用；
拓展思维：
六）巧妙变化幂的底数、指数
例9、已知：，，求的值；
点评：根据现有的知识水平，很难求出、的值来，所以我们可以把：、中的分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：
；
例10、 计算：；
分析：显然：-0.125与8的乘积是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案来：①（-1）的偶次方是1；②(-1)的奇次方是（-1）；所以变化为：；则有
原式===(-1) =-;
真题训练
1、（11南京）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2、（11上海）下列运算中，计算结果正确的是（ ）
（A）x·x3＝2x3； （B）x3÷x＝x2； （C）（x3）2＝x5； （D）x3+x3＝2x6 ．
3、（11益阳市）下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、（11宿迁）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、（08 徐州）下列运算中，正确的是（ ）
A.x3+x3=x6 B. x3·x9=x27 C.(x2)3=x5 D. xx2=x－1
6、（11菏泽）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．=
C． D．
7、（11四川乐山市）下列计算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、（11山东威海）下列计算正确的是（ ）
A．　　　B． C． D．
9、（11泉州）计算：
A、 B、 C、 D、
10、（11福建三明市）（本小题满分6分）
先化简，再求值：（2a+b）(2a-b)+b(2a+b)-4a2b÷b，其中a=-,b=2.
11、（11聊城）计算： ．
12、试观察下列各式的规律，然后填空：
……
则_______________。
13、计算：
参考答案：1、D．2、（B）；3、D. 4、B．5、D.6、C．7、D；8、D．9、D.10、A；11、3；12、；13、；14、4；